I f ö r e g å e n d e o m s t ä n d l i g a f r a m s t ä l l n i n g h a r a n m ä l a r e n s ö k t v i s a , a t t de » n y a p r i n c i p e r » , s o m förf. f r a m s t ä l l t i s i t t a r b e t e , ej k u n n a a n v ä n d a s s o m g r u n d v a l för b r å k l ä r a n s b e h a n d l i n g i v å r a s k o l o r . E n a n n a n o m s t ä n d i g h e t , s o m ä f v e n g ö r d e t o l ä m p l i g t för d e t t a ä n d a m å l , t i l l k o m m e r y t - t e r l i g a r e . A r b e t e t , s o m är afsedt a t t v a r a en » l ä r o b o k » , är d ä r j ä m t e en s t r i d s s k r i f t . U n g e f ä r en t r e d j e d e l af l ä r o b o - k e n är n ä m l i g e n u p p t a g e n af k v a s i - v e t e n s k a p l i g a resone- m a n g e r , i h v i l k a a n d r a f ö r f a t t a r e s å s i k t e r »lätteligen» v e - d e r l ä g g a s p å d e t s ä t t , a t t förf. o u p p h ö r l i g e n u t t a l a r p å s t å - e n d e n , s o m äro h v a r a n d r a m o t s ä g a n d e .
S å s o m p r o f m e d d e l a s f ö l j a n d e , s o m är h ä m t a d t från k a p . 2. s i d . 18.
» S v e n s k a s p r å k e t k ä n n e r k n a p p a s t (eller i c k e alls) n å g o t s å d a n t s o m »2/ 3 g å n g e r 5», m e n d e t matematiska s p r å k e t e r k ä n n e r g ä r n a (?) d e t t a u t t r y c k . D e t ä r h e r r a r m a t e m a t i c i , s o m b i l d a s i t t eget f a c k s p r å k l i k s o m a l l a a n d r a y r k e s u t ö f v a r e h a s i t t y r k e s s p r å k . B e g r e p p e n gånger o c h af h a i c k e d e t m i n s t a m e d h v a r a n d r a från b ö r j a n a t t g ö r a , m e n b e g r e p p e t g å n g e r b l i r så s m å n i n g o m språkligt p å v e r k a d t o c h får en u t v i d g a d b e t y d e l s e » .
M o t o f v a n s t å e n d e f r a m g å o t v u n g e t f ö l j a n d e i n v ä n d - n i n g a r :
1:0) V e t e n s k a p s m a n n e n h ä m t a r från f r ä m m a n d e s p r å k ( f ö r e t r ä d e s v i s de d ö d a — l a t i n o c h g r e k i s k a ) o r d o c h u t t r y c k , d å s v e n s k a s p r å k e t s a k n a r s å d a n a , s o m ä r o
l ä m p l i g a för h a n s f o r s k n i n g a r , m e n h a n ä g e r ej r ä t t i g h e t a t t t i l l g r i p a s v e n s k a o r d o c h a n v ä n d a d e m i s t r i d m o t s v e n s k a s p r å k e t s l a g a r . A l l r a m i n s t är e t t d y l i k t s j ä l f s - v å l d t i l l å t e t en s k o l l ä r a r e , s o m h a r t i l l u p p g i f t a t t t i l l h å l l a s i n a l ä r j u n g a r a t t u t t r y c k a sig f ö l j d r i k t i g t i e t t k l a r t o c h t y d l i g t s p r å k .
2 :o) P å s t å e n d e t , a t t e t t s p r å k f e l i c k e b l o t t b l i r språk- ligt b e r ä t t i g a d t g e n o m dess o u p p h ö r l i g a a n v ä n d a n d e u t a n t i l l o c h m e d får en u t v i d g a d b e t y d e l s e , är — m i n s t s a g d t
— b a r o c k t . H u r u s k u l l e förf. s t ä m p l a å s i k t e r n a hos e n per- son, s o m e r k ä n d e , a t t s t ö l d v o r e en o r i k t i g h a n d l i n g , m e n o m d e n f ö r ö f v a d e s f l e r a g å n g e r , så s k u l l e d e n v a r a i c k e b l o t t b e r ä t t i g a d u t a n t i l l o c h m e d få en » u t v i d g a d b e t y - delse»?
3:0) I l o g i k e n i n h ä m t a s f ö l j a n d e s a n n i n g : det, som kan utsågas om det allmänna, kan af ven utsågas om det enskilda, men allt det, som kan utsägas om det enskilda, gäller icke alltid om det allmänna. O r d e t »gånger» a n v ä n d e s m e d för- del efter e t t h e l t t a l , m e n k a n ej a n v ä n d a s efter e t t b r å k . De h e l a t a l e n äro e n s k i l d a f a l l af b r å k e n . F ö r f : n s p å s t å e n d e : e m e d a n o r d e t gånger a n v ä n d e s efter e t t h e l t t a l , så k a n d e t ä f v e n a n v ä n d a s efter e t t b r å k , s t å r i s t r i d m e d o f v a n s t å e n - de s a n n i n g .
L ä g g e s jåmförelseprincipen *) t i l l g r u n d för t a l l ä r a n , så k a n m a n v i d u n d e r v i s n i n g e n i r ä k n i n g a n v ä n d a s v e n s k a o r d o c h u t t r y c k i e n l i g h e t m e d s v e n s k a s p r å k e t s l a g a r o c h ej b e h ö f v a f ö r v a n s k a s i t t m o d e r s m å l , h v i l k e t o f t a b l i r h ä n - delsen, n ä r råkne sätts principen l ä g g e s t i l l g r u n d för s a m m a l ä r a .
D ä r j ä m t e t i l l k o m m e r d e n s t o r a f ö r d e l e n , a t t de m å n g a l a t i n s k a t e r m e r n a m e d n å g r a få u n d a n t a g ( f a k t o r , p r o d u k t , p o t e n s o c h p r o p o r t i o n ) k u n n a k a s t a s ö f v e r b o r d t i l l s t o r l ä t t n a d för l ä r j u n g a r n e — o c h l ä r a r n e , s o m ej b e h ö f v a g i f v a d e f i n i t i o n e r å dessa t e r m e r , h v i l k e t m ö t e r o ö f v e r v i n n e l i g a s v å r i g h e t e r i d e n n u v a r a n d e b r å k l ä r a n . L ä g g e r m a n d ä r e - m o t t i l l g r u n d för b r å k l ä r a n b e g r e p p e t f ö r h å l l a n d e , så är
d e t m y c k e t l ä t t a t t g i f v a e x a k t a d e f i n i t i o n e r å n a m n e n p å r ä k n e s ä t t e n j ä m t e de t i l l h ö r a n d e l a t i n s k a t e r m e r n a . E n s t o r o l ä g e n h e t m e d dessa n a m n är, a t t de ej passa t i l l de m o t s v a r a n d e b e g r e p p e n , h v a d a n de l a t i n s k a n a m n e n b l i f v a vilseledan<le o c h således f ö r k a s t l i g a o c h o b r u k b a r a . D e n n a sak k o m m e r a t t v i d a r e b e h a n d l a s i d e n f ö l j a n d e de- len af u p p s a t s e n .
S å s o m b e k a n t är, l i g g e r j ä m f ö r e l s e p r i n c i p e n t i l l g r u n d för s t u d i e t af m a t e m a t i k e n s a n d r a d e l g e o m e t r i e n s a m t a l l a öfriga v e t e n s k a p e r .
F ö r e år 700 e. K r . l å g ä f v e n d e n n a p r i n c i p t i l l g r u n d för t a l l ä r a n . » Q u a t u o r s p e c i e s » m e d de m å n g a l a t i n s k a t e r m e r n a v o r o o k ä n d a för f o r n t i d e n s m a t e m a t i s k e m ä s t a r e : P y t a - goras, A r c h i m e d e s , E u c l i d e s m . f l .
O m k r i n g år 700 e. K r . i n f ö r d e s af c n h i n d u e t t t e c k e n , som m o t s v a r a r d e n n u b r u k l i g a n o l l a n , b l a n d t a l e n s k o r t - s k r i f t s t e c k e n . M e d d e n n a e p o k g ö r a n d e u p p f i n n i n g f u l l - k o m n a d e s v å r t i d e a l i s k a t a l b e t e c k n i n g s s y s t e m .
D e n s t o r a u p p f i n n i n g e n m i s s b r u k a d e s g r y m t . I s t ä l l e t för a t t v i d u n d e r v i s n i n g e n i t a l l ä r a n först i n p l a n t a t a l b e g i e p - p e t , ( s a k e n först o c h t e c k n e t sedan) b ö r j a d e m a n m e d i n l ä r a n d e t af n a m n e n p å s i f f r o r n a , r ä k n e s ä t t e n o c h de m å n g a t e r m e r n a , m e d d e l a f ö r e s k r i f t e r för u t f ö r a n d e t af r ä k n e s ä t t e n , h v a r v i d d e n s t ö r s t a v i k t lades p å a n o r d n i n g e n af s i f f r o r n a e l l e r p å » u p p s t ä l l n i n g e n » , s o m d e t n u h e t e r . N å g r a f ö r k l a r i n g a r v o r o lönlösa, e m e d a n l ä r j u n g a r n e sak- n a d e de n ö d v ä n d i g a f ö r u t s ä t t n i n g a r n a för deras b e g r i p a n d e .
A f l ä r j u n g a r n e s s j ä l s f ö r m ö g e n h e t e r a n l i t a d e s e n d a s t minnet, s o m f i c k d r a g a h e l a b ö r d a n . F ö l j d e n h ä r a f b l e f , a t t d e n e n k l a o c h k l a r a l ä r a n o m t a l e n b l e f i n s v e p t i e t t m y s t i s k t d u n k e l o c h r ä k n i n g e n b l e f e t t p l å g o r i s för l ä r j u n g a r n e .
J ä m f ö r e l s e n m e l l a n t v e n n e t a l sker i t a l l ä r a n s e l e m e n - t ä r a d e l från t r e s k i l d a s y n p u n k t e r . D e l s för f u l l s t ä n d i g - h e t e n s s k u l l , dels för a t t v i s a d e n »röda t r å d » , s o m g e n o m - g å r d e n e l e m e n t ä r a t a l l ä r a n , h a f v a ä f v e n u p p t a g i t s j ä m f ö - relsesatserna e n l . d e n t r e d j e s y n p u n k t e n .
T a l e n , s o m j ä m f ö r a s m e d h v a r a n d r a , a n t a g a s v a r a sextifyra o c h fyra.
A ) N ä r sextifyra j ä m f ö r e s m e d fyra, så l y d a de t r e j ä m f ö r e l s e s a t s e r n a i f u l l s t ä n d i g s k r i f t o c h i k o r t s k r i f t :
1) Sextifyra är sexti m e r ä n fyra. ( 6 4 = 4 + 6 0 ) . 2) Sextifyra är sexton-ialden af fyra. ( 6 4 = 1 6 . 4 ) . 3) Sextifyra är tre-potens af fyra. (Ö4 = 4S) .
B ) N ä r fyra j ä m f ö r e s m e d sextifyra, så l y d a de t r e sat- s e r n a : .;.
1) Fyra är sexti m i n d r e än sextifyra. (4 = 6 4 — 6 0 ) . 2) Fyra är sexton-delen af sextifyra. (4 = V i 6 . 6 4 ) . 3) Fyra är tredjedels-potensen af sextifyra. (4 = 64-5-).
D e n n a sats får ä f v e n f ö l j a n d e l y d e l s e :
. 8
Fyra är tre-rot t i l l ( u r ) sextifyra. (4—Vö^)-
C) D ä r t i l l k o m m a f ö l j a n d e satser, i h v i l k a de v i d j ä m f ö r e l s e n e r h å l l n a t a l e n äro s u b j e k t e r :
1) Sexti är s k i l l n a d m e l l a n sextifyra o c h fyra.
(60 = 6 4 — 4 ) .
2) Sexton är f ö r h å l l a n d e t m e l l a n sextifyra o c h fyra (16 = 64: 4 ) .
3) E n sextondel är f ö r h å l l a n d e t m e l l a n fyra o c h sex- tifyra. (716 = 4 : 6 4 ) .
4) Tre är d e t t a l , s o m anger h v i l k e n p o t e n s sextifyra är af fyra, eller Tre är l o g a r i t m t i l l sextifyra, d å g r u n d t a l e t är fyra, eller v a n l i g a s t : 7><? är f y r o l o g a r i t m t i l l sextifyra.
H v a r o c h en af dessa t r e satser å t e r g i f v e s i k o r t s k r i f t m e d 3 = l o g46 4 .
5) E n tredjedel är d e t t a l , s o m a n g e i h v i l k e n p o t e n s fyra är af sextifyra, eller En tredjedel är l o g a r i t m t i l l fyra, då g r u n d t a l e t är sextifyra, eller v a n l i g a s t : En tredjedel är sextifyra l o g a r i t m t i l l fyra.
H v a r o c h en af dessa t r e satser å t e r g i f v e s i k o r t s k r i f t m e d 1/s = logl i 44-
N ä r t v å b r å k j ä m f ö r a s m e d h v a r a n d r a ä r o j ä m f ö r e l s e - satserna l i k a r t a d e :
N ä r t. ex. t a l e n i/s o c h 1 8/ s i j ä m f ö r a s , äro k o r t s k r i f t s - s a t s e r n a f ö l j a n d e :
A ) I )3/ 3 = 17 S 1 + S7S1- 2) 2/ 3 = 2 7/ 8 . 1 8/ 8 1 . 3) 7 3 = (1 6/ « 0V i
i eller V s ^ V ^ / s i .
B ) 1) 1 6/ 8 i =s/ 8 —8 8/ 8 i . 2) lt/n = * / n . 3 ) 1 8/ 8 i = (7s)*
C) i ) * * /8I = » /S—16/8I . a ), T/ B = ,/ * :1 ,/ « - 3 )8A » =1" / t t : V » . 4) 1A = l o g i 6/ B 1 2/ 3 . 5) 4 = l o g ! /3 1 6/ s i -
B ) 2) U t l ä s e s : s e x t o n å t t i e n d e l a r är å t t a t j u g u s j u n - d e d e l a r af t v å t r e d j e d e l a r .
C) 2) U t l ä s e s : t j u g u s j u - å t t o n d e l a r är f ö r h å l l a n d e t m e l l a n t v å t r e d j e d e l a r o c h s e x t o n å t t i e n d e l a r o. s. v .
I o f v a n s t å e n d e satser f ö r e k o m m a t v å o r d polens o c h logaritm, s o m äro h ä m t a d e f r å n l a t i n s k a o c h g r e k i s k a s p r å - k e n , e m e d a n s v e n s k a s p r å k e t s a k n a r o r d , s o m passa t i l l de b e g r e p p , s o m äro f a s t a d e v i d o f v a n s t å e n d e o r d . Fotens ä r h ä m t a d t från l a t i n e t , d ä r d e t b e t y d e r maktig, o c h logaritm är en s a m m a n s ä t t n i n g af logos, s o m b e t y d e r förhållande, o c h aritmos, s o m b e t y d e r t a l . D e b ä g g e s i s t n ä m n d a äro h ä m t a d e från d e t g r e k i s k a s p r å k e t .
T v å af de e x t r a t e c k n e n h a f v a l a t i n s k a n a m n , n ä m l . ( + ) , s o m b e n ä m n e s plus o c h b e t y d e r mer än, o c h ( — ) , s o m b e n ä m n e s minus o c h b e t y d e r mindre ån.
D e n , s o m u p p f a n n d e s s a t e c k e n o c h gaf d e m n a m n e n plus o c h minus, s t ö d d e t y d l i g e n s i n a f o r s k n i n g a r i t a l l ä r a n p å j ä m f ö r e l s e p r i n c i p e n o c h ej p å r ä k n e s ä t t s p r i n c i p e n .
Förf.-ns j ä m t e flere a n d r a s å s i k t e r , a t t dessa e x t r a t e c k e n j ä m t e de ö f r i g a . , :, V, l o g . m . f l . s k u l l e v a r a u p p m a n i n g s t e c - k e n a t t u t f ö r a v i s s a r ä k n i n g a r , h å l l a ej s t r e c k .
N ä r l i k h e t s t e c k n e t s t å r m e l l a n t v å t e c k e n k o m b i n a t i o n e r , så b e t y d e r d e t , a t t h v a r o c h en af d e m b e t e c k n a r samma t a l .
H ä r a f följer, a t t e t t t a l k a n b e t e c k n a s p å o ä n d l i g t m å n g a s ä t t , s å l u n d a s o m t e c k e n för t a l e t tolf a n v ä n d e s :
12, 19—7, 3 x 4, | - X 18, 4 X log327 o. s. v .
G e n o m h v a r j e t e c k e n i n h ä m t a r m a n en egenskap hos tolf. M a n får u p p l y s n i n g af:
t e c k n e t 12, a t t tolf är två m e r ä n tio.
» 1 9 — 7 , » » » sju m i n d r e ä n nitton.
» 3 • 4, » » » treidlåen af fyra.
» -|r • 18, » » » två tredjedelar af aderton.
» 4 X l o g32 7 » » » f y r a f a l d e n af tre l o g a r i t m e n till tju- gusju.
» i2:— » » » f ö r h å l l a n d e t m e l l a n femtitvå o c h
• - ' 8 1.
tretton tredjedelar o. s. v .
A f dessa t e c k e n är 12 d e t v a n l i g a s t f ö r e k o m m a n d e . E n d a s t de h e l a t a l e n k u n n a a l l t i d b e t e c k n a s m e d s i f f r o r . För b e t e c k n a n d e af de ö f r i g a t a l e n , s o m äro dels b r å k dels i r r a t i o n e l l a , a n v ä n d a s e t t eller f l e r a af de e x t r a t e c k n e n
3
j ä m t e siffror, t . ex. ( 4 : 7 ) , V 7 , ( V i 7 + 4 ) , l o g , 8 — 1 o. s. v . F ö r b e t e c k n i n g af d e c i m a l b r å k a n v ä n d e s e t t k o m m a ( , ) j ä m t e s i f f r o r . V i d l ö s n i n g e n af u p p g i f t e r h ä n d e r d e t m y c - k e t o f t a , a t t d e t t y d l i g a s t e t e c k n e t u t b y t e s m o t e t t a n n a t . O m t . ex. u p p g i f t e n v o r e , a t t b e s t ä m m a s u m m a n af, s k i l l - n a d e n o c h f ö r h å l l a n d e t m e l l a n V2 o c n 2A , så u t b y t e s d e n förra f o r m e n m o t 7/ i 4 o c h d e n senare m o t d å r ä k n a r e n l ä t t f i n n e r s u m m a n v a r a s k i l l n a d e n a/u o c h f ö r h å l - l a n d e t '/*,
A f o f v a n s t å e n d e f r a m g å r , a t t de e x t r a t e c k n e n j ä m t e s i f f r o r n a a n v ä n d a s för a t t i k o r t s k r i f t å t e r g i f v a dels t a l , dels i f ö r e n i n g m e d l i k h e t s t e c k n e t j ä m f ö r e l s e s a t s e r m e l l a n t a l .
O m u t t r y c k e t ( 4 : 7 ) s ä g e r t . ex. förf., a t t d e t u t m ä r k e r en » t e c k n a d d i v i s i o n » . D e n n a t y d n i n g är e t t nonsens, t y i c k e h a r n å g o n b e h o f af e t t t e c k e n för e n h a n d l i n g , s o m är o u t f ö r b a r . F ö r d e n , s o m anser, a t t de e x t r a t e c k n e n äro t e c k e n för a n s t ä l l a n d e af v i s s a r ä k n i n g a r , är t y d n i n g e n en n ö d f a l l s u t v ä g . M a n h a r g r i p i t t i l l d e n n a fras för a t t s k e n - b a r t s t ö d a s i n a f a l s k a å s i k t e r o m ä n d a m å l e t m e d de s. k . o p e r a t i o n s t e c k n e n . I a l g e b r a n f r a m s t å r ä n n u k l a r a r e , a t t t y d n i n g e n är f ö r k a s t l i g .
Förf. s ä g e r i i n l ä g g e t p å s i d . 13, s o m f i n n e s a n f ö r d t i b ö r j a n af u p p s a t s e n , a t t d e t e n d a s t f i n n e s fyra t a n k e o p e r a - t i o n e r ( o r d e t tanke, s o m ej passar i d e n n a s a m m a n s t ä l l n i n g , bör u t b y t a s m o t mekaniska, för a t t b e n ä m n i n g e n m å b l i f v a e x a k t ) m e d s i n a s ä r s k i l d a t e c k e n . V e r k l i g a f ö r h å l l a n d e t är, a t t de » m e k a n i s k a o p e r a t i o n e r n a s » a n t a l i n o m d e n e l e m e n t ä r a t a l l ä r a n är o b e g r ä n s a d t . U t o m s ä t t e n för b e - r ä k n i n g e n af s u m m o r , s k i l l n a d e r , p r o d u k t e r o c h f ö r h å l l a n - d e n m e l l a n t a l h a f v a v i s ä t t e n a t t b e r ä k n a h a l f - , t r e d j e d e l s - , f e m t e d e l s - , s j u n d e d e l s p o t e n s e r o. s. v . af t a l , l o g a r i t m e r för t a l m e d e t t g i f v e t g r u n d t a l , t a l e t , s o m h a r e t t u p p g i f - v e t t a l t i l l l o g a r i t m . I t r i g o n o m e t r i e n , som. ä f v e n h ö r e r t i l l d e n e l e m e n t ä r a t a l l ä r a n , f ö r e k o m m a y t t e r l i g a r e r ä k n e s ä t t för b e s t ä m m a n d e t af Sinus, Cosinus, T a n g e n t o. s. v . t i l l
en c i r k e l b å g e , d å dess r a d i e t a l eller g r a d t a l är k ä n d t , v i d a r e för b e s t ä m m a n d e t af r a d i e t a l e t e l l e r g r a d t a l e t t i l l en c i r - k e l b å g e , h v a r s Sinus eller Cosinus e l l e r T a n g e n t o. s. v . äro k ä n d a . N å g r a s ä r s k i l d a n a m n p å a l l a dessa r ä k n e s ä t t f i n n a s ej, e m e d a n de b e f u n n i t s v a r a o b e h ö f l i g a .
V i d a r e s ä g e r förf., a t t d e t för »en p å l i t l i g b e g r e p p s b i l d - n i n g » f o r d r a s namn. E t t namn är ej t i l l r ä c k l i g t för d e t t a ä n d a m å l . H v a d s o m k r ä f v e s m e d nödvändighet är k u n s k a p o m n a m n e t s i n n e b ö r d . A t t e t t r ä k n e s ä t t f i n n e s , h v a r s namn är t . ex. multiplikation, är ej t i l l r ä c k l i g t . M a n m å s t e f r a m f ö r a l l t v e t a h v a d d e t t a n a m n b e t y d e r . D e t , s o m f o r d r a s för en »pålitlig b e g r e p p s b i l d n i n g » , är a t t få en e x a k t d e f i n i t i o n d ä r å , s o m g ä l l e r s å v ä l för h e l a t a l e n s o m b r å k e n . E n d y l i k d e f i n i t i o n h a r förf. u r a k t l å t i t a t t u p p g i f v a , h v i l k e t h a f t t i l l följd, a t t en »pålitlig b e g r e p p s b i l d n i n g » ej v a r i t m ö j l i g .
J a g h a r m e d f l i t i m i t t e x e m p e l v a l t multiplikation, e m e d a n d e t t a r ä k n e s ä t t j ä m t e division är q u a t u o r - s p e c i e s - s y s t e m e t s » a c h i l l e s - h ä l » .
E n ä r j a g af förf. b l i f v i t i n d i r e k t u p p f o r d r a d a t t f r a m - l ä g g a m i n a å s i k t e r i d e t t a ä m n e , så v i l l j a g h ä r n e d a n en- d a s t p å p e k a några af s y s t e m e t s m å n g a m o t s ä g e l s e r o c h »be- s y n n e r l i g h e t e r ».
1 :o) Multiplikation i b r å k b l i r s t u n d o m i d e n t i s k m e d division, t . ex. i • 323., s t u n d o m m e d b å d e multiplikation och division, t . ex. — • 323.
17 ° 0
2 :o) Division i b r å k b l i r s t u n d o m i d e n t i s k m e d mul- tiplikation, t . ex. 19—: - i - , s t u n d o m m e d b å d e multiplika- tion o c h division, t . ex. - i .
3:0) N ä r en s a k u p p g i f t s å d a n s o m f ö l j a n d e :
»Priset å V * kg. kaffe är 28 öre. Hvilket är priset på 1 kg. kaffe af samma slagf»
löses, så s k a l l l ä r j u n g e n s ä g a , a t t r ä k n e s ä t t e t för e r h å l l a n - d e t af d e t s ö k t a p r i s e t 112 öre är delnings-division ( d e l n i n g s - d e l n i n g ) i s t ä l l e t för multiplikation.
4:0) P å d e n o r i m l i g a f r å g a n : Huru många gånger inne- hålles talet 3 - i i talet 2, så är lärjungen ålagd att svara 8 femtondels gånger o c h u p p g i f v a r ä k n e s ä t t e t v a r a inne- hållsdivision ( = d e l n i n g af i n n e h å l l e t ) .
N ä r en t ä n k a n d e l ä r j u n g e e r h å l l e r d e n n a f r å g a , s v a r a r h a n m e d a n l i t a n d e t af s i t t n a t u r l i g a f ö r s t å n d : » T a l e t 3-^- k a n ej i n n e h å l l a s i d e t m i n d r e t a l e t 2.»
U n d e r d y l i k a o m s t ä n d i g h e t e r m å m a n u r s ä k t a r ä k n e - b o k s f ö r f a t t a r e , a t t de ej m e d d e l a d e f i n i t i o n e r å multi- plikation o c h de b ä g g e divisionerna, som. g ä l l a för så v ä l h e l a t a l s o m b r å k . D e m e d d e l a e n d a s t f ö r e s k r i f t e r för l ä r j u n g a r - ne o m s ä t t e t a t t e r h å l l a s v a r p å f r å g o r , s o m de ej b e g r i p a , s a m t e n d a s t u p p l y s n i n g o m de l a t i n s k a namnen p å t e r m e r , som h ö r a t i l l dessa r ä k n e s ä t t , s å s o m : multiplikator, multi- plikand, dividend o. s. v . h v i l k a t j ä n s t g ö r a s å s o m l y s t r i n g s - o r d v i d r ä k n e m e k a n i s m e n .
L e d a m ö t e r n a i d e n k o m m i t t é , s o m af k . m : t v a r t i l l - s a t t för g r a n s k n i n g m . m . af f o l k s k o l a n s r ä k n e b ö c k e r m . m . , a n s å g o sig l i k v ä l v a r a s k y l d i g a a t t i s i t t b e t ä n k a n d e l ä m n a d e f i n i t i o n e r å multiplikation o c h de b ä g g e divisionerna.
D e f i n i t i o n e r n a h a f v a f ö l j a n d e l y d e l s e :
Att multiplicera är att söka antalet för multiplikatorn, när antalet för ett helt år kändt.
Att dividera är 1) att söka antalet för ett helt, när antalet för divisorn år kåndt; 2) att undersöka huru många gånger
ett tal innehålles i ett annat.
N å g r a d e f i n i t i o n e r å multiplikator o c h divisor f ö r e k o m - m a ej i b e t ä n k a n d e t , h v i l k e t är » b e t ä n k l i g t » . K o m m i t t e - r a d e h a f v a f ö r s ä k r a t a t t dessa d e f i n i t i o n e r äro e n k l a o c h l ä t t f a t t l i g a . H v a d s ä g e r l ä s a r e n ?
N ä r m a n p å d e t t a s ä t t g e n o m o b e g r i p l i g a o c h a b d e r i - t i s k a b e n ä m n i n g a r s k a p a t s v å r i g h e t e r , f ö r v å n a r m a n s i g öfver, a t t de f l e s t a l ä r j u n g a r k ä n n a m o t v i l j a o c h f ö r l o r a h å g e n för r ä k n i n g . M i n å s i k t är, a t t i n t e t af de ä m n e n , som f ö r e k o m m a i s k o l o r n a , l i g g e r b a r n e n så n ä r a s o m l ä r a n o m t a l e n , o m d e n b e h a n d l a s p å e t t e n k e l t o c h n a t u r l i g t s ä t t . R e d a n i b ö r j a n k u n n a b a r n e n l ö s a l ä t t a s a k u p p g i f t e r m e d egna k r a f t e r , h v i l k e t v ä c k e r deras i n t r e s s e o c h h å g för r ä k n i n g . F e l e t t i l l a t t l ä r j u n g a r n a k ä n n a a f s k y o c h l e d a för d e t t a v i k t i g a ä m n e h a r m a n s å l e d e s a t t s ö k a endast i u n d e r y i s n i n g s s ä t t e t o c h ej i ä m n e t s n a t u r .
De f ö r n ä m s t a g r u n d f e l e n ä r o :
1 :o) A t t m a n m e d d e l a r b a r n e n n a m n e n å s i f f r o r n a , i n - n a n t a l b e g r e p p e t ä r r o t f ä s t a d t .
2 :o) A t t m a n a n v ä n d e r l a t i n s k a t e r m e r o c h u t t r y c k , som äro för b a r n e n f u l l k o m l i g t o b e g r i p l i g a i s t ä l l e t för s v e n s k a , s o m de f u l l t k u n n a f a t t a .
3:0) A t t b a r n e n f ö r e l ä g g a s a t t l ö s a a b s t r a k t a u p p g i f t e r , h v i l k a äro för d e m , s o m s a k n a a b s t r a k t i o n s f ö r m å g a , o f a t t - l i g a , o c h d ä r e f t e r s y s s e l s ä t t a s m e d s a k u p p g i f t e r , t i l l h v i l k a s l ö s n i n g de a n l i t a s i n a y t l i g a o c h v i r r i g a m e k a n i s k a k u n s k a - per, h v i l k e t i de f l e s t a f a l l sker p å d e n f ö r d ä r f l i g a gissningens v ä g . A t t de s t u n d o m l y c k a s e r h å l l a r i k t i g a s v a r b e r o r dels p å v å r t u t m ä r k t a t a l b e t e c k n i n g s s y s t e m , dels d ä r p å , a t t r ä k n e b o k s f ö r f a t t a r n e f ö r s i k t i g t v i s o r d n a t u p p g i f t e r n a ef- t e r r ä k n e s ä t t e n . A t t l ä r j u n g a r n e u r a k t l å t a a t t f ö r e s t ä l l a sig de s t o r h e t e r , s o m f ö r e k o m m a i u p p g i f t e r n a , f r a m g å r t y d l i g t däraf, a t t de i s i n a s v a r u t e s l u t a m å t t e n , h v a d a n de- ras s. k . r ä k n i n g b l i r e t t o n y t t i g t o c h i n t r e s s e l ö s t sysslande m e d s i f f r o r . D å d e t för l ä r a r e n är m y c k e t l ä t t a r e a t t t y d l i g - g ö r a för b a r n e n l ö s n i n g e n af en s a k u p p g i f t , i h v i l k e n t a l e n , som i n g å i s t o r l e k s b e s t ä m n i n g a r n a , få s t ö d af m å t t e n , än a t t b i b r i n g a d e m en k l a r u p p f a t t n i n g af r ä k n i n g e n m e d de ab- s t r a k t a t a l e n , så b ö r a b a r n e n t i l l en b ö r j a n e n d a s t syssel- s ä t t a s m e d l ö s n i n g af s a k u p p g i f t e r . D ä r i g e n o m b l i f v a de så s m å n i n g o m f ö r t r o g n a m e d v å r t m å t t s y s t e m , o c h t i l l i k a få de en n a t u r l i g o c h b e g r i p l i g öfning i m e k a n i s k r ä k n e f ä r - d i g h e t .
4 :o) A t t m a n ej t i l l r ä c k l i g t b e g a g n a r sig af m a t e r i e l läm- p a d för o m e d e l b a r å s k å d n i n g o c h a n v ä n d a n d e . F ö l j d e n h ä r a f är, a t t l ä r a r e n m å s t e g e n o m f ö r k l a r i n g a r , s o m b a r n e n m å n - gen g å n g ej k u n n a f a t t a , l ä m n a u p p l y s n i n g o m s a n n i n g a r , som b a r n e n s j ä l f v a g e n o m å s k å d n i n g k u n n a f i n n a . Ge- n o m a n v ä n d n i n g af l ä m p l i g m a t e r i e l b e f o r d r a s i h ö g g r a d b a r n e n s s j ä l f v e r k s a m h e t , h v i l k e t v ä c k e r o c h s p o r r a r deras i n - tresse o c h är af s t o r v i k t för deras a n d l i g a u t v e c k l i n g . A t t m e d d e l a l ä r j u n g a r n e u p p l y s n i n g a r i ä m n e n , s o m de s j ä l f v a m e d a n l i t a n d e af e g n a k r a f t e r k u n n a f a t t a , ä r e t t p e d a g o g i s k t f e l , s o m f ö r i n t a r deras s j ä l f t i l l i t o c h föder hos d e m d e n t r o n , a t t de ej k u n n a u t r ä t t a n å g o n t i n g u t a n h j ä l p .
A f b e t y d e l s e n å b e n ä m n i n g a r n a multiplikation, divi- sion, multiplikator, multiplikand, divisor o. s. v . f r a m g å r m e d f u l l . t y d l i g h e t , a t t d e n s o m u p p f a n n d e m , l ä m p a d e
d e m u t e s l u t a n d e efter l ä r a n o m de h e l a t a l e n , d ä r de f r ä m - m a n d e ordens i n n e b ö r d k u n d e e x a k t d e f i n i e r a s . A t t h a n v a l d e latinska n a m n h a d e s i n g r u n d i l a t i n h e r r a v ä l d e t , s o m då h ä r s k a d e i d e n »lärda v ä r l d e n » . H a d e u p p f i n n a r e n h a f t för a f s i k t a t t b i l d a n a m n , s o m ä f v e n v o r o a n v ä n d b a r a i l ä r a n o m b r å k e n , så h a d e h a n o m ö j l i g e n k u n n a t v ä l j a of v a n - s t å e n d e , s o m ä r o y t t e r s t o e g e n t l i g a o c h v i l s e l e d a n d e . D å r ä k n i n g e n m e d b r å k e n s t ö d e s p å r ä k n i n g e n m e d de h e l a t a l e n , a n s å g h a n å t g ä r d e n v a r a ö f v e r f l ö d i g o c h u t a n n y t t a för s t u d i e t af t a l l ä r a n .
I t . ex. addition i b r å k , s o m h ö g s t o e g e n t l i g t b e n ä m n e s e t t enkelt r ä k n e s ä t t , a n v ä n d a s de f y r a r ä k n e s ä t t e n i h e l a t a l s a m t d e s s u t o m satser u r t a l t e o r i e n .
E n a n n a n o e g e n t l i g h e t i p e d a g o g i s k t h ä n s e e n d e är, a t t a d d i t i o n i b r å k , s o m är d e t s v å r a s t e o c h m ö d o s a m - m a s t e r ä k n e s ä t t e t , f ö r e k o m m e r i r ä k n e b ö c k e r n a först b l a n d de f y r a r ä k n e s ä t t e n . F ö r f . h a r ej g j o r t sig saker t i l l d e n n a , o l ä m p l i g a o r d n i n g s f ö l j d i s i n l ä r o b o k . A l l a de s. k . r ä k n e -
s ä t t e n i b r å k äro s a m m a n s a t t a af r ä k n e s ä t t e n m e d de h e l a t a l e n .
N ä r j ä m f ö r e l s e p r i n c i p e n l ä g g e s t i l l g r u n d f ö r t a l l ä r a n , så f r a m s t å r b e h o f v e t af e t t b e g r e p p , s o m b e n ä m n e s förhål- lande i n o m m a t e m a t i k e n o c h i a l l a v e t e n s k a p s g r e n a r , s o m s t ö d a sig p å d e n n a v e t e n s k a p . I n f ö r a n d e t v i d u n d e r v i s - n i n g e n af d e t t a b e g r e p p g ö r sig s t a r k a s t g ä l l a n d e v i d g r u n d - l ä g g a n d e t af b r å k l ä r a n .
I a f f ä r s l i f v e t s t ö t e r m a n o u p p h ö r l i g e n p å d e t t a b e g r e p p , som ä r d e t v i k t i g a s t e i n o m h e l a m a t e m a t i k e n . O m t . ex.
e n l i n j e o b l i f v i t u p p m ä t t o c h b e f u n n i t s v a r a 3 - f a l d e n af d e c i m e t e r n , så s ä g e s t a l e t 3 v a r a f ö r h å l l a n d e t m e l l a n a o c h och l ä n g d m å t t e t d e c i m e t e r .
M ä t n i n g af en s t o r h e t m e d e t t g e n o m l a g b e s t ä m d t m å t t b e s t å r i a t t f i n n a f ö r h å l l a n d e t m e l l a n s t o r h e t e n o c h m å t t e t . D e t är af d e n n a o r s a k , s o m o r d e t » f ö r h å l l a n d e » af e n d e l f ö r f a t t a r e u t b y t e s m o t mätetal e l l e r storlekstal.
D e t t a b e g r e p p är m y c k e t l ä t t a t t f a t t a .
O m f ö r h å l l a n d e t m e l l a n t v å l i n j e r a o c h b u p p g i f v e s v a r a t . ex. t r e f j ä r d e d e l a r (3/ * ) , så v e t m a n , a t t a:s t r e d j e d e l är l i k a s t o r m e d b:s fjärdedel d. v . s. a t t a:s o c h b :s d e l a r b l i f v a l i k a s t o r a , n ä r a delas i 3 o c h b i 4 l i k a s t o r a d e l a r .
U p p r i t a s a o c h b o c h i n d e l a s , så k a n e t t b a r n f u l l t f a t t a b e t y d e l s e n af d e t u t s a g d a . D ä r j ä m t e t i l l k o m m e r , a t t d e t t a b e g r e p p är a n v ä n d b a r t i c k e b l o t t i l ä r a n o m b r å k e n u t a n äf- v e n i l ä r a n o m de h e l a t a l e n .
S ä t t e t a t t f i n n a f ö r h å l l a n d e t är f ö l j a n d e :
N ä r e t t t a l a j ä m f ö r e s m e d e t t t a l b, så s ö k e s e t t t a l c ( h e l s t d e t s t ö r s t a ) , s o m i n n e h a d e s j ä m n t i a o c h b. N ä r c är f u n n e t , f ö r e s t ä l l e r m a n sig a och b delade i d e l a r , s o m a l l a äro l i k a s t o r a m e d c. D e l a r n e s a n t a l i a b l i r t ä l j are o c h de- larnes a n t a l i b b l i r n ä m n a r e i f ö r h å l l a n d e t m e l l a n a o c h b.
O m a är 28 o c h b 63, så är c 7 o c h f ö r h å l l a n d e t m e l l a n 28 o c h 63 är f y r a n i o n d e l a r (-7-), d . v . s. a t t 28 är f y r a n i o n - d e l a r af 63 ( 2 8 =4/ B . 6 3 ) , e m e d a n 28 är 4 - f a l d e n o c h 63 är 9 - f a l d e n af 7.
O m a är 7'/g o c h b är 5/e, så är c 1/ i 8 o c h f ö r h å l l a n d e t m e l - l a n 7/ 9 o c h 5/ Ö är f j o r t o n f e m t o n d e l a r (1 4/ i s ) , d . v . s. 7/s ä r f j o r t o n f e m t o n d e l a r af 5/(>, (7/ 9 —l 4/ i ö . 5/<0> e m e d a n 7/ 9 är 14- f a l d e n o c h a/e 1 5 - f a l d e n af l/is.
T a l e t a, s o m j ä m f ö r e s , s ä g e s v a r a produkt af f ö r h å l l a n - d e t o c h t a l e t b, h v a r m e d a j ä m f ö r e s .
S å l u n d a s ä g e s 28 v a r a produkt af 4/s o c h 63 s a m t 7/ 9 v a r a produkt af 1 4/ i 5 o c h % •
T a l e n 4/ B o c h 63 s ä g a s v a r a faktorer t i l l 28. Ä f v e n s å sä- gas " o c h 5/e v a r a faktorer t i l l 7/ 9 .
S v e n s k a s p r å k e t s a k n a r o r d , s o m äro l ä m p l i g a a t t er- s ä t t a de b ä g g e från l a t i n e t h ä m t a d e o r d e n produkt o c h faktor, h v i l k a äro n ö d v ä n d i g a i t a l l ä r a n .
M a n s ä g e r ä f v e n , a t t b är kvot af a o c h f ö r h å l l a n d e t . P å f r å g a n : »Af h v i l k e t t a l är 28 f y r a n i o n d e l a r ? » s v a r a s : kvoten af 28 o c h 4/e, s o m är 63.
M e n e m e d a n 28 är f y r a n i o n d e l a r af d e t s ö k t a t a l e t , så är d e t s j ä l f k l a r t , a t t d e t s ö k t a t a l e t är 9 f j ä r d e d e l a r af 28.
P å o f v a n s t å e n d e f r å g a är d e t därför b e g r i p l i g a r e o c h e n k l a r e a t t s v a r a :
9 f j ä r d e d e l a r af 28, s o m är 63 eller p r o d u k t e n af 9/± o c h 28, s o m är 63. B e n ä m n i n g e n kvot b l i r d ä r i g e n o m ö f v e r f l ö d i g . O m kvot u t e s l u t e s , så k o m m e d e n e l e m e n t ä r a s t e d e l e n af t a l l ä r a n a t t i n s k r ä n k a s t i l l f ö l j a n d e f y r a h u f v u d b e g r e p p : summa, skillnad, produkt o c h förhållande.
N å g r a n a m n å s ä t t e n a t t f i n n a produkter af o c h förhål- landen m e l l a n t a l äro h e l t o c h h å l l e t ö f v e r f l ö d i g a . V i haf- v a i t a l l ä r a n o c h dess t i l l ä m p n i n g a r p å a f f ä r s l i f v e t s o m r å d e t i l l r ä c k l i g t m å n g a n a m n o c h deras b e t y d e l s e r , s o m äro n ö d - v ä n d i g a a t t i n p l a n t a i l ä r j u n g a r n e s m i n n e n . A t t b i l d a n y a , som ej äro t i l l n å g o n n y t t a , v e r k a r i h ö g g r a d h ä m m a n d e p å u n d e r v i s n i n g e n . S k u l l e i f ö r e v a r a n d e f a l l n å g r a n a m n b e s t ä m m a s , s o m v o r e l ä m p l i g a s å v ä l i l ä r a n c m de h e l a t a - len s o m o m b r å k e n , så m å s t e n y a b i l d a s , e m e d a n de n u a n - v ä n d a multiplikation o c k division m e d s i n a l a t i n s k a t i l l b e - h ö r , s å s o m o f v a n ä r v i s a d t , äro f u l l k o m l i g t o a n v ä n d b a r a i l ä r a n o m b r å k e n .
D ä r e m o t är d e t n ö d v ä n d i g t a t t g ö r a l ä r j u n g a r n e f u l l t f ö r t r o g n a m e d de o f v a n s t å e n d e f y r a n a m n e n s a m t f r a m f ö r a l l t m e d deras b e t y d e l s e .
N ä r m a n s a m t a l a r m e d l ä r a r e o m » f ö r h å l l a n d e » o c h u p p m a n a r d e m a t t i s i n u n d e r v i s n i n g a n v ä n d a d e t t a v i k - t i g a b e g r e p p , g i f v a de alla s a m m a t r o l i g e n ö f v e r e n s k o m n a s v a r , s o m h a r f ö l j a n d e l y d e l s e : » O r d e t förhållandsförefaller b a r n e n främmande o c h är alltför s v å r f a t t l i g t » . N ä r m a n p å g r u n d af l å n g e r f a r e n h e t u p p l y s e r d e m , a t t d e t t a ej är f a l l e t , o c h v i s a r d e m s ä t t e t för b e g r e p p e t s f ö r t y d l i g a n d e , be- h å l l a de ä n d o c k s i n a f ö r u t v a r a n d e å s i k t e r o c h v i l j a ej ens g ö r a e t t f ö r s ö k o c h p r ö f v a , o m deras f ö r m o d a n är r i k t i g e l - ler e j . S a m m a l ä r a r e a n v ä n d a v i d s i n u n d e r v i s n i n g multi- plikator, divisor o c h kvot, h v i l k a t e r m e r de ej anse v a r a
» f r ä m m a n d e » för b a r n e n , o a k t a d t de äro d e t i d u b b e l t h ä n - seende :
1 :o) äro de l å n a d e från l a t i n s k a s p r å k e t , 2 :o) k ä n n a ej b a r n e n t i l l deras b e t y d e l s e .
N u i n t r ä f f a r d e t e g e n d o m l i g a , a t t h v a r t och e t t af de t r e n a m n e n äro latinska ö f v e r s ä t t n i n g a r t i l l d e t s v e n s k a o r d e t f ö r h å l l a n d e .
I e t t af de i d e t f ö r e g å e n d e a n f ö r d a e x e m p l e n visades, a t t 4/ 9 v a r f ö r h å l l a n d e t m e l l a n 28 o c h 63.
O m 4/ 9 o c h 63 äro g i f n a o c h 28 s ö k e s , så k a l l a s f ö r h å l - l a n d e t */* multiplikator.
O m */E> o c h 28 äro g i f n a o c h 63 s ö k e s , så k a l l a s 7 9 divisor.
O m 28 o c h 63 äro g i f n a o c h 4/s s ö k e s , så k a l l a s */s kvot.
N ä r m a n f ö r d o m s f r i t t r e f l e k t e r a r ö f v e r d e t t a , så k o m -
m e r m a n t i l l d e n t a n k e n , a t t d e n , s o m u p p f u n n i t de t r e n a m n e n p å samma b e g r e p p , t a g i t t i l l s i n u p p g i f t a t t f r a m - s t ä l l a d e n e n k l a t a l l ä r a n så s v å r f a t t l i g s o m m ö j l i g t . R ä k - n e b o k s f ö r f a t t a r e , s o m ä n d o c k anse, a t t de m å n g a n a m n e n ej t i l l r ä c k l i g t i n v e c k l a o c h t i l l k r å n g l a t a l l ä r a n , f r a m s t ä l l a i s i n a a r b e t e n u p p g i f t e r l i k n a n d e f ö l j a n d e , s o m y t t e r l i g a r e f ö r s v å r a r ä k n i n g e n o c h g ö r a d e n o l i d l i g .
1) Divisorn är % o c h kvoten 5V2. H v i l k e n är divi- denden f
2) Multiplikanden är i3A o c h produkten är l/ ä . H v i l - k e n är multiplikatornf
F ö r f . b e h a n d l a r i s i n l ä r o b o k f ö r h å l l a n d e o. s. v . m e n i st. f. a t t g i f v a en e n k e l o c h å s k å d l i g f r a m s t ä l l n i n g af d e t t a b e g r e p p o c h d ä r p å g r u n d a b r å k l ä r a n h a r h a n först u p p t a g i t d e t i k a p . 10, s o m är d e t n ä s t sista, d ä r h a n m e d d e l a r d e n d e f i n i t i o n , s o m å t e r f i n n e s i b ö r j a n af u p p s a t s e n . I f ö r e t a l e t s ä g e r förf.: » L ä r a n o m f ö r h å l l a n d e n a h a r s å s o m d e n s v å r a s t e d e l e n af b r å k l ä r a n b e h a n d l a t s s i s t » .
A t t förf. f u n n i t d e n n a l ä r a s v å r b e r o r p å d e n »lärda»
och för b a r n e n o b e g r i p l i g a o c h i n t e t s ä g a n d e d e f i n i t i o n , som h a n l ä m n a t . H a n u p p s t ä l l d e d e n t y d l i g e n i a k t o c h m e n i n g a t t få b r u k för s i n a m å n g a a r t i f i c i e l l a f ö r e s k r i f t e r o m » u p p s t ä l l n i n g a r » , s o m h a n g i f v i t v i d b e h a n d l i n g e n af r ä k n e s ä t t e t d i v i s i o n .
S å s o m p r o f p å förf :ns s ä t t a t t a n v ä n d a d e n n a s i n d e f i n i - t i o n m e d d e l a s f ö l j a n d e e x e m p e l j ä m t e de »svåra» l ö s n i n - g a r n a :
1. Med hvilket tal skall man multiplicera 8 m . för att få 7 m.?
Lösning: T y d l i g e n m e d 7/s, e m e d a n | x 8 m . = 7 m .
F ö r h å l l a n d e t m e l l a n 7 m . o c h 8 m . är s å l e d e s 7/s.
2. Hvilket är förhållandet mellan 2 m. och 3 m.f Lösning: F ö r h å l l a n d e t m e l l a n 2 m . o c h 3 m . t e c k n a s o c k s å
2 m .
F ö r k o r t a s h ä r b e t e c k n i n g e n m . b o r t u r t ä l j a r e o c h n ä m n a r e , fås f ö r h å l l a n d e t 2/s-
P å e t t a n n a t s t ä l l e s ä g e r förf.: » Ä r o A . o c h B obenåmnda t a l , så h a de r e d a n e t t (1) t i l l e n h e t o c h b e h ö f v a s å l e d e s i c k e r e d u c e r a s » .
1_
Exempel: F ö r h å l l a n d e t m e l l a n 7/** o c h 5/« är t y d l i g e n -J- F ö r f : n s s ä t t a t t b e t e c k n a f ö r h å l l a n d e t o c h sedan u r a k t - l å t a a t t u t b y t a d e t m o t e t t b r å k , s o m h a r hela t a l t i l l t ä l j are och n ä m n a r e , är m y c k e t v i g t m e n ej u p p l y s a n d e . Of v a n - s t å e n d e s i f f e r k o m b i n a t i o n är o a n v ä n d b a r , e m e d a n den k a n a n v ä n d a s s o m t e c k e n för f y r a s k i l d a t a l , h v i l k e t är a n m ä r k t i d e t f ö r e g å e n d e .
E n l i g t s v e n s k a s p r å k e t f ö r s t å s m e d obenämnda t a l så- d a n a , s o m m a n ej t i l l d e l a t n å g r a n a m n . F ö r f . m å s t e m e d
» o b e n ä m n d a t a l » m e n a n å g o t a n n a t , t y de o f v a n v a l d a t a l e n 1/s o c h % h a f v a j u b e s t ä m d a n a m n o c h äro s å l e d e s benämnda.
O m f ö r f : n s s ä t t a t t b e h a n d l a r ä k n e u n d e r v i s n i n g s f r å g a n k a n m a n m e d s t o r a s k ä l u t t a l a de b e v i n g a d e o r d e n : «Reflek- t i o n e r n a g ö r a sig s j ä l f v a » .
S l u t l i g e n b ö r a n m ä r k a s , a t t förf., s o m s t ö d e r s i n f r a m - s t ä l l n i n g p å q u a t u o r species, u r a k t l å t i t a t t r e d o g ö r a för b e t y d e l s e n af de m å n g a l ä r d a l a t i n s k a t e r m e r n a , s o m äro o u p p l ö s l i g e n f ö r e n a d e m e d d e t t a s y s t e m . F ö r f . h a r b l o t t u p p t a g i t n å g r a b l a n d deras n a m n i s i n l ä r o b o k . T r o l i g e n anser h a n d e m ej v a r a n ö d v ä n d i g a för en »pålitlig b e g r e p p s - b i l d n i n g . » T i l l g e n g ä l d för d e n n a u r a k t l å t e n h e t , h a r förf. i r ä k n e t e r m i n o l o g i e n i n f ö r t e t t n y t t o r d , s o m är h ä m t a d t från l a t i n e t , n ä m l i g e n komparation. F ö r f . a n s å g t r o l i g e n d e t s v e n s k a o r d e t jämförelse, s o m h a r s a m m a b e t y d e l s e , v a r a a l l t f ö r s i m p e l t a t t a n v ä n d a o c h ej t i l l r ä c k l i g t v i t t n a o m »lär- d o m » o c h » v e t e n s k a p l i g h e t » .
P å s i d . 43 f ö r e k o m m e r n ä m l i g e n en a f d e l n i n g , s o m h a r t i l l r u b r i k : Om komparationsråkning. I d é n t i l l de t v å u p p - g i f t e r n a , h v i l k a f ö r e k o m m a s o m e x e m p e l , är h ä m t a d från en k ä n d e x e m p e l s a m l i n g . L ö s n i n g a r n a , h v i l k a s t ö d a s p å j ä m f ö r e l s e p r i n c i p e n , äro ä f v e n h ä m t a d e från s a m m a h å l l . E n ä r f ö r f : n s » n y a p r i n c i p e r » o m ö j l i g e n k u n n a a n v ä n d a s v i d l ö s n i n g e n af de b å d a u p p g i f t e r n a , så ä r d e t m ö j l i g t , a t t h a n anser d e m h ö r a t i l l e t t f e m t e r ä k n e s ä t t , s o m b e h ö f v e r s i t t s ä r s k i l d a latinska namn.
N ä s t a n p å h v a r j e s i d a i f ö r f : n s l ä r o b o k f ö r e k o m m a p å - s t å e n d e n o c h u t t r y c k , s o m dels äro af s a m m a b e s k a f f e n h e t ,
s o m de h ä r a n m ä r k t a , dels ä r o af d e n n a t u r , a t t de g i f v a a n l e d n i n g t i l l o p p o s i t i o n . D e h ä r o f v a n f r a m s t ä l l d a a n - m ä r k n i n g a r n a t o r d e v a r a t i l l r ä c k l i g a a t t m o t i v e r a m i t t r e d a n u t t a l a d e o m d ö m e : a t t l ä r o b o k e n ej är l ä m p l i g a t t a n v ä n d a v i d u n d e r v i s n i n g e n i v å r a s k o l o r o c h s e m i n a r i e r s a m t ä n n u m i n d r e för s j ä l f s t u d i u m .
