A f B i r g e r R o l l i n .
iJ o , därom kan jag ge besked,
— — ty jag- var med.»
I .
U n d e r å r e n 1910 o c h 1911 h a r i d e n n a t i d s k r i f t f ö r e k o m - m i t en serie uppsatser, affattade mestadels p å t y s k a s p r å k e t ,
• h v i l k a u t g ö r a b e r ä t t e l s e r o m m a t e m a t i k s t u d i e t s t i l l s t å n d i Sve- r i g e p å s k i l d a stadier, i n g i f n a t i l l I n t e r n a t i o n e l l a k o m m i s s i o - n e n för m a t e m a t i s k a u n d e r v i s n i n g e n . Dessa a f p e r s o n e r från s k o l v ä r l d e n s s k i l d a o m r å d e n afgifna r e d o g ö r e l s e r b ö r a natur- l i g t v i s ä g a m y c k e t a f intresse för u p p f a t t n i n g e n af den re- f o r m p e r i o d i afseende p å m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n , i h v i l k e n v i för n ä r v a r a n d e befinna oss. J a g v i l l h ä r m e d b e r ö r a n å g r a p u n k t e r i r e d o g ö r e l s e r n a , s o m hafva afseende p å u t v e c k l i n - g e n a f a r i t m e t i k u n d e r v i s n i n g e n s m e t o d . S o m b e k a n t , har d e t t a ä m n e u n d e r det sista h a l f s e k l e t u t g j o r t f ö r e m å l för en intresserad d e b a t t i n o m s k o l v ä r l d e n o c h för t r ä g n a försök i n o m l ä r o b o k s l i t t e r a t u r e n .
D e t b e t ä n k a n d e , som afgafs år 1871 a f kommissionen for undervisningen i matematik och naturvetenskap, t o r d e i f r å g a o m a r i t m e t i k u n d e r v i s n i n g e n s a n o r d n i n g , g e n o m sin g e n o m - t ä n k t a e n k e l h e t o c h reda, v a r i t n o r m e r a n d e för en s t o r d e l a f d e n äldre l ä r a r g e n e r a t i o n e n s u p p f a t t n i n g .
Aritmetikens af delningar ä r o e n l i g t k o m m i s s i o n e n s å s i k t :
läran om hela tal, läran om decimaler och läran om bråk.
D e hela t a l e n o c h d e c i m a l e r n a behandlas e n l i g t p o s i t i o n s r ä k - n i n g e n s g r u n d e r . S å snart m a n k o m m i t t i l l m u l t i p l i k a t i o n och d i v i s i o n m e d b r u t e n m u l t i p l i k a t o r o c h b r u t e n d i v i s o r , h a r m a n a t t m o d i f i e r a r ä k n e s ä t t e n s d e f i n i t i o n e r , u t g å e n d e från a t t p r o d u k t e n b i l d a s a f m u l t i p l i k a n d e n så, s o m m u l t i p l i k a t o r n b i l d a s a f e n h e t e n . D i v i s i o n e n framhålles som en ö m v ä n d n i n g af m u l t i p l i k a t i o n e n , h v a r v i d m a n a n t i n g e n har a t t s ö k a en m u l t i p l i k a n d t i l l en gifven d i v i s o r ( s å s o m m u l t i p l i k a t o r ) eller en m u l t i p l i k a t o r t i l l en g i f v e n d i v i s o r ( s å s o m m u l t i p l i k a n d ) , i b å d a fallen s å d a n a , a t t p r o d u k t e n b l i r l i k a m e d d e n gifna d i v i d e n d e n . F ö r s t o c h sist p å p e k a r k o m m i s s i o n e n , a t t a r i t - m e t i k e n s innehåll b ö r v a r a s å o r d n a d t , a t t d ä r a f t y d l i g t f r a m g å r , att d e n e l e m e n t ä r a a r i t m e t i k e n o m f a t t a r endast 4 r ä k n e s ä t t , h v i l k a i s t ä n d i g t u p p r e p a d o r d n i n g s f ö l j d t i l l ä m p a s p å hela t a l m e d o c h u t a n d e c i m a l e r samt p å b r å k .
E t t f ö r s ö k a t t visa, h u r u m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n m e d b r å k b ö r k u n n a behandlas m e d d e n a f k o m m i s s i o n e n g j o r d a a n v i s n i n g e n , finnes utfördt i en uppsats i denna t i d s k r i f t för 1889.1 Y t t e r l i g a r e a n t y d n i n g a r o c h u t r e d n i n g a r dels o m b r å k - r ä k n i n g e n , dels o m d e c i m a l t a l e n s p l a t s o c h deras b e h a n d l i n g i n o m u n d e r v i s n i n g e n finnas i e t t p a r senare u p p s a t s e r .2
M ä r k l i g a y t t r a n d e n i n u b e r ö r d a f r å g o r f ö r e k o m m a i Ha-
rald Dahlgrens b e r ä t t e l s e i ofvan o m t a l a d e s e r i e : D i e M a - t h e m a t i k an den V o l k s s c h u l e n u n d V o l k s s c h u l l e h r e r s e m i n a r e n S c h w e d e n s .3 S e d a n förf. r e d o g j o r t för h u r u Sverige i senare hälften a f det förflutna seklet fått m å t t s y s t e m m e d d e c i m a l - i n d e l n i n g o c h d e c i m a l b r å k e n d ä r i g e n o m fått ö k a d b e t y d e l s e , anför h a n , h u r u s o m dessa t a l allmänt b ö r j a d e b e h a n d l a s efter de hela t a l e n o c h före de a l l m ä n n a b r å k e n , h v i l k e t fastslogs s å s o m n o r m a l t g e n o m l ä r o b o k s k o m m i s s i o n e n s y t t r a n d e a f 1871. I slutet a f 1880-talet g j o r d e sig n u en n å g o t modifie-
1 N å g o t o m regula de t r i samt o m m u l t i p l i k a t i o n och division m e d bråk. Ped. T i d s k r . 1889, sid. 302.
2 Ifrågasatta reformer vid räkneundervisningen. Pedag. T i d s k r . 1891, sid. 403 och 1892, sid. 160.
8 Pedag. T i d s k r . 1911, sid. 44 och följ.
r a d u p p f a t t n i n g g ä l l a n d e i n o r m a l p l a n e n för f o l k s k o l a n , i d e t a t t en k u r s o m f a t t a n d e a l l m ä n n a b r å k e n s b e t y d e l s e o c h be- t e c k n i n g skulle f ö r e g å d e c i m a l b r å k e n s b e h a n d l i n g . F ö r f . t i l l - l ä g g e r : » A b e r es m a g f r a g l i c h sein, ob n i c h t eine g r i i n d - lichere B e s c h ä f t i g u n g m i t d e n g e m e i n e n B r i i c h e n als die v o m N o r m a l p l a n a n g e g e b e n e einen k l a r e r e n u n d s i c h r e r e n E i n - b l i c k i n die N a t u r u n d R e c h e n g e s e t z e der D e z i m a l b r i i c h e ge- w ä h r e n w i i r d e » .1 A f v e n i en a n n a n a f b e r ä t t e l s e r n a i s a m m a serie, Anna Renström: D e r m a t h e m a t i s c h e U n t e r r i c h t an d e n h ö h e r e n M ä d c h e n s c h u l e n Schvvedens, f ö r e k o m m a u t t r y c k , som syfta i s a m m a r i k t n i n g : » N a c h den J a h r e s p r o g r a m m e n der S c h u l e n scheint es, als o b die A u f f a s s u n g m e h r u n d m e h r a l l g e m e i n w i i r d e , dass die E r k e n n t n i s s der g e w ö h n l i c h e n B r i i c h e v o r d e r j e n i g e n der D e z i m a l b r i i c h e zu g e w i n n e n s e i » .2
B e t r ä f f a n d e m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n i b r å k y t t r a r s i g h r D a h l g r e n ä n n u b e s t ä m d a r e .
» W a s i n b e t r e f f der B r u c h r e c h n u n g i n m e t h o d i s c h e r H i n - s i c h t das g r ö s s t e Interesse d a r b i e t e t , ist der alte S t e i n des A n s t o s s e s , der i n der S c h w i e r i g k e i t o d e r U n m ö g l i c h k e i t be- steht, die v o m R e c h n e n m i t ganzen Z a h l e n m i t g e b r a c h t e n M u l t i p l i k a t i o n s - u n d D i v i s i o n s b e g r i f f e a u f die B r u c h r e c h n u n g h e r u b e r z u f u h r e n , n ä m l i c h i n d e n F a l l e n , w o der M u l t i p l i k a t o r u n d D i v i s o r B r i i c h e s i n d .
D a s V e r f a h r e n , i n der K i n d e r s c h u l e a l l g e m e i n e D e f i n i - t i o n e n v o r z u b r i n g e n , beispielsweise: » d a s P r o d u k t w i r d aus d e m M u l t i p l i k a n d u s a u f dieselbe W e i s e g e b i l d e t w i e der M u l - t i p l i k a t o r v o n der E i n k e i t » ( L e h r b u c h e r k o m m i s s i o n v o m Jahre
1871) ist s e l b s t v e r s t ä n d l i c h nutzlos. —• — — — —
M a n muss der M e i n u n g des L e h r b u c h v e r f a s s e r s ( N y s t r ö m 1873) z u s t i m m e n , der g l a u b t , dass m a n sich d a r e i n finden miisse, » f o r m å l zu zugeben, was real der F a l l ist, nämlich dass s o w o h l M u l t i p l i k a t i o n w i e D i v i s i o n m i t B r i i c h e n eine d o p p e l t e R e c h e n o p e r a t i o n ist, die sich n i c h t g e r n als eine
1 A n f . st., sid. 59.
1 Pedag. T i d s k r . 1910, sid. 463.
einfache d e f i n i e r e n lässt.» — — — — — — —
D i e V o r s t e l l u n g e n , die es (das K i n d ) a n f ä n g l i c h m i t d e m Be- griffe d e r M u l t i p l i k a t i o n u n d D i v i s i o n v e r b u n d e n , k ö n n e n n i c h t b e i der M u l t i p l i k a t i o n u n d D i v i s i o n m i t B r i i c h e n a u f r e c h t er- h a l t e n b l e i b e n ; es muss das Z e i c h e n der V e r v i e l f ä l t i g u n g an- vvenden, obvvohl es sich e i g e n t l i c h u m eine T h e i l u n g h a n d e l t , u n d es muss das T h e i l u n g s z e i c h e n v e r w e n d e n , o b s c h o n der S a c h v e r h a l t a n g i b t , das der gesuchte W e r L g r ö s s e r als der b e k a n n t e ist. D a das K i n d k e i n e M ö g l i c h k e i t hat, die ge- zeichneten R e c h e n o p e r a t i o n e n u n t e r D e f i n i t i o n e n oder V o r - s t e l l u n g e n z u s a m m e n z u h a l t e n , die beide O p e r a t i o n e n umfas- sen, so w i r d die u n u m g ä n g l i c h e F"olge V e r w i r r u n g u n d U n - s i c h e r k e i t . »1
O m f r a m t i d s u t s i k t e r n a för d e n a r i t m e t i s k a m e t o d e n y t t - rar förf.: » W a h r s c h e i n l i c h w i r d es sich zeigen, dass der K i n d e r - u n t e r r i c h t , u m sein Z i e l zu e r r e i c h e n , m e h r als b i s h e r a u f die wissenschaftliche u n d h e r g e b r a c h t e E i n t e i l u n g u n d T e r m i n o - l o g i e v e r z i c h t e n m i i s s e . »2
B l a n d f ö r s ö k a t t u n d a n r ö d j a dessa s v å r i g h e t e r anför förf.
den N o r d l u n d s k a m e t o d e n , som g å r u t p å »ein radikales W e g f e g e n des P r i n z i p s der v i e r S p e z i e s . » E f t e r en k o r t f a t - t a d r e d o g ö r e l s e för d e n n a m e t o d o c h e r k ä n n a n d e N o r d l u n d s v ä l g ö r a n d e i n f l y t a n d e i m å n g a afseenden, m e d g e r h a n d o c k :
» E r s t die Z u k u n f t w i r d a b m a c h e n k ö n n e n , was i n d e n N e u e - r u n g e n N o r d l u n d s v o n b e s t ä n d i g e m W e r t e ist u n d was m a n etvva als E i n s e i t i g k e i t oder U b e r t r e i b u n g ansehen m u s s . »3
F r å n de sista å r e n s d e b a t t o m n ä m n e s endast en u p p s a t s a f G . H e l l s t e n från år 1906, h v i l k e n s t a n k a r o c h f ö r s l a g re- fereras.
D e t ser, a f d e n n a r e d o g ö r e l s e a t t d ö m a , g a n s k a tröstlöst u t för den, s o m h o p p a t s p å e t t g e n o m f ö r a n d e a f l ä r o b o k s - k o m m i s s i o n e n s g r u n d t a n k a r från 1871 m e d afseende p å arit-
1 Pedag. Tidskr. 1911, sid. 60—61.
2 A n f . st., sid. 127.
a A n f st., sid. 66.
m e t i k u n d e r v i s n i n g e n . I en följande a f d e l n i n g s k a l l j a g när- m a r e i n l å t a m i g h ä r p å i s a m m a n h a n g m e d en r e d o g ö r e l s e för o c h g r a n s k n i n g a f H e l l s t e n s o f v a n n ä m n d a u p p s a t s .
I I .
G. Hellstens uppsats, Ett bidrag till metodiken för räkne- iindervisningen i folkskolan, s ä r t r y c k u r M a n h e m , U p p s a l a
1906, b ö r j a r m e d a t t k r i t i s e r a d e t g ä n g s e s ä t t e t a t t i l ä r o - b ö c k e r n a b e h a n d l a m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n i b r å k g e n o m h ä n v i s n i n g t i l l a n a l o g a u p p g i f t e r i h e l a t a l .
N ä r 1 k g . k o s t a r 40 ö r e , s å k o s t a r 3 k g . 3 -40 öre ( = 3 g å n g e r 40 öre), o c h l i k a s å 1/a k g . k o s t a r 1/6 • 40 ö r e ( = ^ g å n g e r 40 ö r e ) .
O m 8 k g . k o s t a r f k r . , s å k o s t a r 1 k g . f : 8. L i k a s å o m y k g - k o s t a r f k r . , s å k o s t a r 1 k g . f : f .
D e t t a r e s o n e m a n g s t ä m m e r i c k e m e d b a r n e n s föreställ- n i n g s s ä t t , m e n a r förf. A t t multiplicera b e t y d e r för d e m a t t taga en s t o r h e t flera g å n g e r , a t t få s å s o m r e s u l t a t en större
s t o r h e t . A t t dividera ä r d e t s a m m a s o m a t t d e l a en s t o r h e t i flera delar, h v i l k e t d å g e r s o m r e s u l t a t en mindre s t o r h e t . A t t b a r n e t i c k e k r a f t i g t reagerar m o t n u a n t y d d a l e d n i n g , v i t t n a r ej g o d t , t r o r h a n , o m r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n s f ö r m å g a a t t l e d a d e t t i l l a t t reflektera. M e n d e n n a r e a k t i o n inträffar, när b a r n e t v i d l ö s n i n g e n af s a k u p p g i f t e r b l i r h ä n v i s a d t t i l l s i t t e g e t f ö r s t å n d .
M e t o d e n a t t för e t t p r o b l e m s l ö s a n d e h ä n v i s a b a r n e t t i l l a n a l o g a p r o b l e m m e d h e l a t a l ä r en k o n s t r e g e l , s o m b a r n e t helst v i l l k o m m a ifrån. I d e t p r a k t i s k a l i t a r d e t ej p å den- s a m m a ; d e t v i l l ej l ö s a en u p p g i f t m e d en r ä k n i n g , s o m d e t förstår för en a n n a n u p p g i f t , m e n s o m d e t t y c k e r v a r a all- deles o r i k t i g för u p p g i f t e n i fråga.
S v å r i g h e t e n v i l l förf. n u k o m m a ifrån g e n o m a t t sönder- b r y t a m u l t i p l i k a t i o n och d i v i s i o n i b r å k o c h införa a n d r a r ä k n e s ä t t . F ö r s t s k u l l e m a n från m u l t i p l i k a t i o n e n u t m ö n s t r a
de e x e m p e l , s o m afse a t t b e r ä k n a - a f en s t o r h e t , h v i l k e t b ö r
n
t e c k n a s - • a o c h k a l l a s delberäkning — förf. b e h å l l e r X -teck- n
net u t e s l u t a n d e för m å n g d u b b l i n g . D e t t a n y a r ä k n e s ä t t er- s ä t t e r d e l n i n g s d i v i s i o n e n i h e l a t a l o c h utföres p ä s a m m a sätt.
Å t e r s t å r s å l e d e s a f den g a m l a m u l t i p l i k a t i o n e n i b r å k : a t t
rn m I
b e r ä k n a — a f a, s o m t e c k n a s — a = m X - • a o c h b l o t t fogar
n n 7i
en m u l t i p l i k a t i o n ( m å n g d u b b l i n g ) t i l l d e t f ö r e g å e n d e . A t t s ö k a
m
— a, s o m s å l e d e s u t g ö r en s a m m a n f a t t a d t i l l ä m p n i n g a f t v å
n
r ä k n e s ä t t , k a l l a s bråkdelsberäkning.
D i v i s i o n e n ( d e l n i n g s ) i b r å k eller u p p g i f t e n »att b e r ä k n a
o m •
en storhet, da — a f d e n s a m m a är k ä n d » , u p p l ö s e s n u i förut
n
k ä n d a r ä k n i n g a r , s å att m a n »först b e r ä k n a r , h u r u m y c k e t e n a f de i f r å g a v a r a n d e b r å k d e l a r n a är ( g e n o m d e l b e r ä k n i n g ) , o c h d ä r p å b e r ä k n a r , h u r u m y c k e t d å d e t a n t a l b r å k d e l a r , s o m u t g ö r h e l a s t o r h e t e n , är ( g e n o m multiplikation).»
» G e n o m h ä r f ö r e s l a g n a m e t o d k o m m e r m u l t i p l i k a t i o n a l l - t i d a t t afse b e r ä k n i n g e n a f en större s t o r h e t ; d e l b e r ä k n i n g (division) a l l t i d b e r ä k n i n g e n a f e n m i n d r e s t o r h e t , u n d e r d e t a t t » b r å k d e l s b e r ä k n i n g » k o m m e r a t t g i f v a en m i n d r e eller större storhet, a l l t e f t e r s o m — — — — — w j n. i
Förf. k a n följaktligen t r i u m f e r a n d e u t r o p a : »Inom bråk- läran b e h ö f v a alltså ej l ä m n a s n å g r a n y a d e f i n i t i o n e r p å m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n , u t a n de k l a r a o c k e n k l a föreställ- n i n g a r , som h e l t a l s l ä r a n g i f v e r o m dessa r ä k n e s ä t t , få o r u b - b a d e l e f v a k v a r o c h v a r a d e n g r u n d v a l , h v a r p å b r å k b e r ä k - n i n g e n b y g g e s . »1
M e n d i v i s i o n e n o m f a t t a r i c k e b l o t t d e l b e r ä k n i n g , därtill h ö r o c k s å » i n n e h å l l s b e r ä k n i n g » , o c h förf. f r a m h å l l e r den stora v i k t e n a f a t t redan p å de h e l a talens o m r å d e n o g a s ä r s k i l j a
1 Ofvan anförda uppsats, sid. 14.
dessa b e g r e p p , h v a r f ö r h a n tillråder n å g o t o l i k a u p p s t ä l l n i n g s - o c h u t t r y c k s s ä t t v i d de o l i k a r ä k n i n g a r n a .
M e n n u g ö r förf. en i n d e l n i n g . F ö r d e n h ä n d e l s e d i v i - d e n d e n är > d i v i s o r n , ä r d e t f o r t f a r a n d e innehållsberäkniug',
s o m , o m d e t g ä l l e r b r u t n a t a l , utföres s ä , a t t t a l e n g ö r a s l i k - n ä m n i g a , h v a r v i d r ä k n i n g e n f ö r v a n d l a s t i l l h e l t a l s r ä k n i n g , e n ä r de l i k a n ä m n a r n a (delarna) i c k e i n v e r k a p å b e r ä k n i n g e n . H a n a n f ö r e x e m p l e t : 180 m : 3 § m = 5i° : V = 5 4 ° : 11 = 49 TT s ä g e r 49 TT delar.
A r å t e r d i v i d e n d e n < d i v i s o r n , s å k a n u p p g i f t e n ej hän- föras t i l l i n n e h å l l s b e r ä k n i n g ; d e t v o r e »lika t a n k e v i d r i g t s o m a t t f r å g a , h u r u m å n g a g å n g e r e t t h a f i n n e h å l l e s i en l i t e n s j ö » . R ä k n i n g e n m å s t e i d e t t a fall kallas förhållandeberäk- ning o c h afser a t t ange, h u r u s t o r d e l den m i n d r e s t o r h e t e n är a f d e n s t ö r r e .
E x . M a n s ö k e r , h u r u stor d e l 3 m . är a f 5 m .
U t f ö r a n d e t g r u n d a r s i g p å r e s o n e m a n g . 1 m . är \ . a f 5 m . v 3 m . är f • 5 m .
B r å k g ö r m a n l i k n ä m n i g a .
H u r u stor d e l är •§• m . a f $ m . eller a f - f f ? D å TV är TT-T!, s å m å s t e T\ vara T V T I eller -f är TV#.
F ö r s t efter b e h a n d l i n g e n af m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n i b r å k är det förf:s m e n i n g , a t t m a n s k a l l ö f v e r g å t i l l deci- m a l b r å k e n .
* * *
H v a d n u först beträffar förf:s sega f a s t h å l l a n d e v i d d e n u r s p r u n g l i g a h e l t a l s u p p f a t t n i n g e n a f m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i - sion m e d s ä r s k i l d t b e t o n a n d e a f a t t m u l t i p l i k a t i o n skall ö k a o c h d i v i s i o n m i n s k a , s å m å m a n v ä l s ä g a , a t t n u , när det är f r å g a o m a t t ö f v e r g å t i l l e t t n y t t f a l l , m a n i c k e har s k ä l a t t f a s t h å l l a o c h i n p r ä g l a e t t o v ä s e n t l i g t k ä n n e t e c k e n , s o m åt- s k i l j e r . D e t är u n g e f ä r , s o m o m m a n s k u l l e s ä g a : T a l e n (de hela) b i l d a s g e n o m a t t t i l l e n h e t e n l ä g g a n y a enheter, h v a r i - g e n o m de b l i f v a a l l t större, s å l e d e s är t a l e t 3/i en o r i m l i g h e t .
N ä r förf. f ö r d ö m e r m e t o d e n a t t l ö s a b r å k t a l s p r o b l e m ge- n o m a t t h ä n v i s a b a r n e n t i l l analoga u p p g i f t e r m e d hela t a l och k a l l a r d e t t a en k o n s t r e g e l , s å g ö r h a n s i g s k y l d i g t i l l ett f ö r b i s e e n d e . D e t finnes u p p e n b a r l i g e n u p p g i f t e r , som p å de b å d a o m r å d e n a m o t s v a r a h v a r a n d r a . N ä r m a n har en m ä n g d och enhetens v ä r d e är p å n å g o t sätt u t t r y c k t i t a l , s å k a n m a n s ö k a m ä n g d e n s v ä r d e . D e t t a ä r multiplikation, vare sig talen äro hela eller brutna. N ä r m a n har en m ä n g d s s t o r l e k och d e s s u t o m m ä n g d e n s v ä r d e p å n å g o t sätt u t t r y c k t i t a l , så k a n m a n s ö k a enhetens v ä r d e . D e t t a är division af del- ningstypen. O m m a n har t v å m ä n g d e r a f s a m m a slag, s å k a n m a n s ö k a deras f ö r h å l l a n d e . D e t t a är division af innehålls- typen. H ä r hafva v i e t t s a m b a n d i r e a l i t e t e n , e t t s a k s a m m a n - h a n g , s o m q u a t u o r s p e c i e s s y s t e m e t v i l l t i l l g o d o s e . I stället för a t t n u , v i d ö f v e r g å n g e n t i l l b r å k l ä r a n , s ö k a u t v e c k l a r ä k n e - sättens d e f i n i t i o n p å ett n a t u r l i g t o c h lättfattligt sätt, s å b r y - ter förf. s ö n d e r r ä k n e s ä t t e n , i t a n k e a t t h a n d ä r m e d s k a l l f y l l a b a r n e n s b e h o f a t t »alltjämt h a f v a k ä n n i n g a f a t t r ä k - n i n g e n är t i l l för d e t sakligas s k u l l » .
M e n m å n n e n u en d y l i k u t v e c k l i n g a f föreställningen o m r ä k n e s ä t t e n v i d ö f v e r g å n g e n t i l l b r å k s k a l l v a r a en s å stor
»Stein des A n s t o s s e s » , s o m h r D a h l g r e n m e n a r ?
N ä r j a g k o m m e r i n i en h a n d e l s b o d o c h k ö p e r 24 m . k l ä d e t i l l e t t p r i s a f 5 k r . p r m . , s å m ä t e r h a n d e l s m a n n e n u p p d e n ena m e t e r n efter d e n a n d r a , ä n d a t i l l s h a n får 24 m . O m j a g i c k e k a n m u l t i p l i c e r a , s ä g ö r j a g m e d m i n a 5 k r . precis som h a n d e l s m a n n e n m e d m e t e r n a : j a g l ä g g e r u p p s u m m a n 24 g å n g e r , o c h s å har j a g b e t a l t v a r a n . K ö p e r j a g å t e r 3 m . 7 d m . eller 3,7 m . , s å m ä t e r h a n d e l s m a n n e n u p p de 3 m e t e r n a , l ä g g e r m e t e r s t o c k e n utefter d e n fjärde, som h a n s å - l u n d a får i n d e l a d i tiondelar, o c h t a g e r m e d 7 a f d e m . J a g m å s t e n u g ö r a precis p å s a m m a sätt m e d 5-kronorna: 3 m å s t e j a g t a g a hela, a f d e n fjärde m å s t e j a g taga 7 t i o n d e l a r , m e n det k a n j a g g ö r a så, a t t j a g t a r en t i o n d e l a f h v a r j e k r o n a eller 0,5 k r . , o c h s å t a g e r d e t t a 7 g å n g e r = 3,5 k r . Jag sä- ger då, a t t j a g t a g i t 3,7 X 5 k r . = 18,5 k r .
H ä r a f f r a m g å r j u , a t t , n ä r j a g s ä g e r g g r o c h m u l t i p l i k a - t o r n ä r e t t b r u t e t t a l , gånger m å s t e b e t y d a af. L ä s e r j a g n u i o f v a n s k r i f n a u p p g i f t m u l t i p l i k a t o r n s o m t i o n d e l a r , s å s ä - ger j a g , a t t j a g t a g i t 37 t i o n d e l a r a f 5 k r . A t t h ä r v i d 0,1 X 5 k r . = 5 k r . : 10, är n å g o t a t t l ä g g a m ä r k e t i l l , ej n å g o t s o m kan a f s k r ä c k a . T v å o l i k a r ä k n i n g a r m ö t a s i en p u n k t , d ä r de u p p e n b a r l i g e n b e t y d a s a m m a sak. M e n a t t » r å d a b o t p å d e n v i l l e r v a l l a , s o m u p p s t å r d ä r i g e n o m , a t t b a r n e n n u l ä r a s a t t b e r ä k n a - a f en s t o r h e t (a) p å t v å s k i l d a sätt» 1, synes
n
hafva g i f v i t u p p s l a g e t t i l l hela r e f o r m p l a n e n . — H u r förf.
t ä n k t s i g a t t - • a s k a l l b e r ä k n a s g e n o m h ä n v i s n i n g t i l l d i v i s i o n
71
i hela t a l för d e t fall, a t t a ä r e t t b r u t e t t a l , d ä r o m h a r h a n l ä m n a t l ä s a r e n i o k u n n i g h e t .
A t t u t v e c k l a r e g l e r n a för o f v a n a n t y d d a r ä k n i n g s ä r s k i l d t för d e c i m a l e r lär v ä l i c k e v å l l a n å g o n s v å r i g h e t . M a n v i l l t. ex. b e r ä k n a v i k t e n a f 3,45 1. s p r i t , d å m a n v e t , a t t h v a r j e l i t e r v ä g e r 0,79 k g .
3 1. 3-0,79 k g . 2,37 k g . eller h e l l r e 395
0,4 1. 4-0,079 k g . o,3 I6 k g . 316 0,05 1. 5 0,0079 k g . 0,0395 k g . 2,37
2,7255 k g . 2,7255
för a t t b i b e h å l l a l i k f o r m i g h e t e n m e d h e l t a l s r ä k n i n g e n . H ä r h a r m a n n u fasthållit s a m m a n h a n g e t i m u l t i p l i k a t i o n s b e g r e p - p e t m e l l a n h e l t a l s m u l t i p l i k a t i o n e n 3-0,79 o c h b r å k m u l t i p l i k a - t i o n e n 0,4-0,79 o. s. v . , i stället för a t t m e d förf. n ö d g a s f a t t a r ä k n i n g e n s o m b r å k d e l s b e r ä k n i n g a f 0,79. —• H v i l - k e t v o r e m e r p e d a g o g i s k t o c h enkelt, o m m a n h a r a t t be- r ä k n a o m k o s t n a d e r n a för i o { m å n a d e r efter e t t visst m å n a d s - p r i s : a t t t a g a d e t t a p r i s 10 g å n g e r o c h ö k a d e t t a m e d hälf- ten a f m å n a d s p r i s e t eller a t t t a g a V a f m å n a d s p r i s e t ?
I f r å g a o m b e h a n d l i n g e n a f d e l n i n g s d i v i s i o n k u n n a v i
1 Anf. st., sid. 8.
t
l ä g g a m ä r k e t i l l följande. O m 14 1. k v i c k s i l f v e r befinnes v ä g a 190,4 k g . , s å får m a n v i k t e n a f 1 1. = 190,4 k g : 1 4 = 13,6 k g . , h v a r v i d m a n fått e t t s å d a n t t a l , a t t det, t a g e t 14 g g r , åter- ger 190,4 k g . —• O m åter 18,4 1. k v i c k s i l f v e r v ä g e r 250,24 k g . och m a n v i l l v e t a v i k t e n a f hvarje liter, s å s ö k e s t y d l i g e n ett t a l , s o m å t e r g e r 250,24 k g . , o m d e t tages 18,4 g g r eller o m m a n t a g e r 184 t i o n d e l a r a f d e t s a m m a . F ö l j a v i n u förf:s förslag, s å t a g a v i 184-delen a f 250,24 k g . för a t t få r e d a p å t i o n d e l e n a f d e t s ö k t a t a l e t s a m t t a g a resultatet 10 g g r eller, s o m h a n h e l l r e v i l l , i o m v ä n d o r d n i n g 10-250,24 o c h 184- d e l e n däraf. M e n d e t t a är j u s t v å r g a m l a r e g e l : f l y t t a d e c i - m a l k o m m a t i d i v i s o r o c h d i v i d e n d ( h ä r 1 steg t i l l h ö g e r ) , s å a t t d i v i s o r n b l i r h e l t t a l , o c h utför sedan d i v i s i o n e n . — E n l i k n a n d e i a k t t a g e l s e k a n g ö r a s b e t r ä f f a n d e förf:s a l l m ä n n a m e t o d för a t t finna s t o r h e t e n , d å — a f s t o r h e t e n ä r b e k a n t :
n in
» - a f s t o r h e t e n är a n
I 1 - » » » — a
n m
II n
• » » — a.»
n m H a n t i l l ä g g e r : » S e d a n m å n g a e x e m p e l b l i f v i t föremål för s å d a n fullständig b e h a n d l i n g , b l i r d e t lätt för b a r n e t a t t l ä r a
n
sig a t t genast t e c k n a u p p g i f t e n m e d — • « » . H v a d är d e t t a m
a n n a t än d e n g a m l a r e g e l n a t t v ä n d a u p p o c h n e d p å d i v i - sorn m e d »dess t r o l l d o m s a r t a d e r ä k n e f ö r l o p p » ?1 M a n m å g ä r n a k l a r g ö r a för l ä r j u n g e n r ä k n i n g e n s f ö r l o p p m e d h u r m å n g a e x e m p e l s o m helst m e d e l s t » r e s o n e m a n g s m e t o d » , o c h där- t i l l k u n d e j u förfis u t v e c k l i n g l ä m p a s i g , m e n d e t t a i n n e b ä r intet s k ä l a t t s ö n d e r b r y t a r ä k n e s ä t t e t eller förkättra bepröf- v a d e regler. D e t f ö r d ö m l i g a l i g g e r i c k e i de g a m l a räkne-
1 A n f . st., sid. 13 o c h 14.
sätten o c h deras regler, u t a n däri, att v i ofta i c k e haft för- m å g a a t t i u n d e r v i s n i n g e n u t r e d a deras betydelse.
Ö f v e r g å v i n u t i l l d e t a n d r a slaget a f d i v i s i o n ( n ä m l i g e n d i v i s i o n a f i n n e h å l l s t y p e n ) , s å k u n n a v i t a g a i b e t r a k t a n d e de u p p g i f t e r , förf. b e h a n d l a r .
1. Ett hjuls omkrets är j i m. Huru många hvarf gör det på en vägsträcka af 180 m.P
D å för h v a r j e hvarf, s o m h j u l e t g ö r , o m k r e t s e n 3 -f m . tas b o r t från v ä g e n , s å får j a g s å m å n g a hvarf, s o m 3 •§- m . u p p r e p a d t k a n subtraheras från 180 m . D å k a n det b l i e t t ö f v e r s k o t t , s o m ä r m i n d r e än 3 •§• m . , h v a r v i d det g ä l l e r a t t u n d e r s ö k a , t i l l h u r u stor d e l 3 |- m . innehålles i resten. D e t t a ä r n u i n n e h å l l s b e r ä k n i n g e n s b e g r e p p , som ä g e r sin tillämp- l i g h e t , vare s i g d i v i d e n d e n är > eller < d i v i s o r n ; m e n förf.
u p p d e l a r m ä r k v ä r d i g t n o g r ä k n i n g e n i t v å slag, s o m h a n be- n ä m n e r i förra fallet i n n e h å l l s b e r ä k n i n g , i det senare förhål- l a n d e b e r ä k n i n g . M e n det finnes i s j ä l f v a v e r k e t i n g e n s k i l l - n a d m e l l a n dessa b e r ä k n i n g a r , s o m b å d a afse a t t finna, h u r u m å n g a g å n g e r eller t i l l h u r s t o r del d i v i s o r n i n n e h å l l e s i d i v i - d e n d e n , o c h b å d a s å l u n d a afse a t t finna förhållandet.
D e n ofvan skisserade r ä k n i n g e n v o r e alltför o m s t ä n d l i g och t i d s ö d a n d e a t t utföra, h v a r f ö r m a n m å s t e s ö k a s i g f r a m t i l l ett p r a k t i s k t räknesätt, och v i följa här förf., som g ö r d i v i d e n d o c h d i v i s o r l i k n ä m n i g a , h v a r v i d h a n får de l i k a n ä m - n a r n a a t t b l i ö f v e r f l ö d i g a i r ä k n i n g e n .
180 m . : 3 1 m . = 5| ° m . : V m . = W = 49 TT-
D e t t a b e t y d e r , a t t 3-3- m . i n n e h å l l e s 49 x t g g r i v ä g e n eller att j a g får hela v ä g e n , o m j a g t a r 3 -f m . 49 g å n g e r o c h därtill l ä g g e r yT a f 31 na.
2. Man skall bestämma, huru stor del f m. är af |- m.
i m . : | m . =--T\ m.:^ m . =TV - ' i m. är m.
M e t o d e n är i d e n t i s k i de b å d a fallen, o c h d e t är v e r k - l i g e n o m ö j l i g t a t t fatta, h u r u förf. k a n f ö r k l a r a d e t t a n k e v i d -
r i g t , a t t v i d i n n e h å l l s d i v i s i o n e n d i v i d e n d e n skulle k u n n a v a r a
< d i v i s o r n . S a k e n är n o g den, a t t han i förra fallet t r o r sig k u n n a h ä n v i s a t i l l ett h e l t a l s r ä k n e s ä t t , i d e t h a n förbiser res- t e n s b e h a n d l i n g , i d e t senare m å s t e t a g a sin t i l l f l y k t t i l l e t t n y t t b e t r a k t e l s e s ä t t , n ä m l i g e n j u s t det, s o m g ö r s i g g ä l l a n d e i fråga o m b e h a n d l i n g e n a f resten i d e t f ö r e g å e n d e fallet.
F ö r a t t y t t e r l i g a r e f r a m h ä f v a , h u r u f ö g a m a n har s k ä l a t t u p p s k j u t a b e h a n d l i n g e n a f d e c i m a l t a l , v i l l j a g äfven p å n u sist b e r ö r d a o m r å d e l ö s a en u p p g i f t m e d d e c i m a l e r .
Ett fotogenfat uppgifves innehålla 14.0 kg. fotogen netto.
Då denna olja väger o,s kg. pr /., huru många liter olja inne- håller fatet?
N a t u r l i g t v i s s å m å n g a l i t e r , s o m m a n k a n u t t a g a 0,8 k g . u r hela v i k t e n , s å l e d e s 140 k g . : 0,8 k g . , eller o m j a g l ä s e r d i v i d e n d o c h d i v i s o r i h g . 1400:8 = 175. D ä r a f äfven h ä r r e g e l n att g ö r a d i v i s o r n t i l l h e l t t a l , i n n a n m a n utför räk- n i n g e n .
Förf. o m n ä m n e r , a t t p å g r u n d a f s v å r i g h e t e r n a v i d bråk- r ä k n i n g e n »lärare i t . o. m . v ä l l o t t a d e f o l k s k o l o r y r k a p å att a l l m ä n n a b r å k i c k e m å i n g å i folkskolans r ä k n e k u r s . »1 Ä r d e t t a i c k e en y t t e r l i g a r e m a n i n g a t t först se t i l l , h u r u v i d a i c k e d e c i m a l r ä k n i n g e n , s å s o m j a g h ä r i n å g r a enstaka p u n k t e r framhållit, låter sig lätteligen b e h a n d l a o m e d e l b a r t efter de hela t a l e n .
D e t t o r d e f r a m g å a f den n u g j o r d a g r a n s k n i n g e n , att förf. m e d sin r e f o r m p l a n i c k e u p p n å t t s i t t syfte att e r s ä t t a m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n i b r å k m e d a n d r a lättfattliga r ä k n e - s ä t t u t a n a t t uppoffra d e t n a t u r l i g a s a m m a n h a n g e t i u p p g i f - terna, m e n a t t hans t a n k e g å n g o c h b e t e c k n i n g a r m å h ä n d a (i d e n m å n de i c k e äro vilseledande) k u n n a tjäna t i l l l e d n i n g v i d b r å k r ä k n i n g a r n a s u t r e d a n d e o c h reglernas successiva k l a r - l ä g g a n d e .
D e t synes i c k e heller vara förf:s m e n i n g a t t h e l t o c h h å l l e t u t m ö n s t r a de o m n ä m n d a r ä k n e s ä t t e n , enär h a n t i l l sist
1 Aiif, st., sid. 8.
s ä g e r : » D e t är t v ä r t o m m i n m e n i n g , a t t h v a r o c h en, som s k a l l t i l l ä g n a s i g en m e r a fullständig m a t e m a t i s k u t b i l d n i n g , förr eller senare m å t a g a d e l a f m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n u n d e r de m e r a v i d a d e f i n i t i o n e r , som v e t e n s k a p e n a n l ä g g e r p å dessa r ä k n e s ä t t . H v a d som l e d t m i n a t a n k a r , är f r å g a n , h u r u r ä k n e l a g a r n a b ä s t b ö r a s a m m a n s t ä l l a s från u n d e r v i s n i n - gens s y n p u n k t m e d s ä r s k i l d h ä n s y n t i l l de r ä k n e b e h o f o c h den f ö r s t å n d s m o g n a d , s o m förefinnas i n o r n f o l k s k o l a n . »1
H ä r v i d k a n m a n v ä l a n m ä r k a , att, enär det är en demo- k r a t i s k h j ä r t e a n g e l ä g e n h e t a t t g ö r a f o l k s k o l a n t i l l en b o t t e n - s k o l a , m a n g ö r d e m o k r a t i e n o c h kanske o c k s å v e t e n s k a p e n en d å l i g tjänst, o m m a n i s k o l a n u t v e c k l a r f ö r e s t ä l l n i n g a r o c h d e f i n i t i o n e r , s o m sedan p å e t t h ö g r e s t a d i u m m å s t e öfvergif- vas o c h e r s ä t t a s m e d andra.
H ä r m e d har j a g k o m m i t t i l l s l u t e t p å dessa b e t r a k t e l s e r och skulle v i l j a p å d e t s ä t t e t s a m m a n f a t t a resultatet a f d e m , a t t s å l ä n g e m a n i c k e u r de sista å r e n s d e b a t t k a n fram- d r a g a m e r a ö f v e r t y g a n d e i n l ä g g än det h ä r g r a n s k a d e , m a n helst t o r d e b ö r a u p p s k j u t a »eine w e i t g e h e n d e r e m e t h o d i s c h e U m l e g u n g der e l e m e n t a r e n A r i t h m e t i k , w o b e i die a u f die g e r i n g s t e Z a h l r e d u z i e r t e n K a t e g o r i e n der, W i s s e n s c h a f t ganz o d e r teilweise verlassen w e r d e n m t i s s e n . »2 Sveriges l ä r a r e hafva n o g ännu g r u n d a d t s k ä l att stanna v i d de g a m l a qua- t u o r species o c h hälla s i g t i l l d e n v ä g a n d e a u k t o r i t e t e n hos de m ä n , s o m n u för 45 år sedan p å K u n g l . M a j : t s kallelse s a m m a n t r ä d d e i d e n s. k . L ä r o b o k s k o m m i s s i o n e n .
1 A n f . st., sid. 26.
2 Pedag. Tidskr. 1911, sid. 6 1 .
