Tillämpningar av dubbelintegraler. Volymberäkning

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Tillämpningar av dubbelintegraler. Volymberäkning

D Z=f(x,y) z

x

y

TILLÄMPNINGAR AV DUBBELINTEGRALER

VOLYMBERÄKNING  

Volymen V av området 0 , ,        ,  

        ,  

     

Volymen V av området  , , ,        ,  

         

       , ,  

Uppgift 1 

Beräkna volymen  av den kropp som definieras av  

a)  K =

{

(x,y,z): 0< x<1, 0< y<2, 0< z<x+2y+1

}

 

b) K =

{

(x,y,z): 0< x<1, 0< y<2, 2x+3y+1<z<2x+3y+5

}

  c) 

^{K =} { ^{( x , y , z ) : 0 < x < 1 , 0 < y < 3 , x}

²

^{+ 3 y + 1 < z < x}

²

^{+ x + 3 y + 2} }

 

d) 

^{K =} { ^{( x , y , z ) : 0 < x < 1 , 0 < y < x , x}

²

^{+ y < z < x}

²

^{+ 3 y} }

 

Lösning a ) Vi använder formeln    , ,  med   ,

x + y 2 + 1

 och 

, 0: 

 

       , ,  

x + y 2 +

1 0   7 

Lösning b ) Vi använder formeln    , ,  med   ,  

2 x + y 3 + 5

 och  ,  

2 x + y 3 + 1

 

 

       , ,  

2 x + y 3 + 5 2 x + y 3 + 1

  4  … 8 

 

D

f2(x,y)

f1(x,y)

x z

y

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Tillämpningar av dubbelintegraler. Volymberäkning

Svar:  

a) 7   b) 8  c) 9/2    d)   1/3  Uppgift 2. 

a)  Beräkna volymen  av den kropp som begränsas av ytorna   f₁(x,y) och  f₂(x,y) då  

3

3 2 ) ,

(

^{2 2}

1

x y = x + y +

f

  och 

f

₂

( x , y ) = 3 x

²

+ 4 y

²

− 6

  b)  Beräkna volymen  av kroppen 

{

^{(x,y,z): x2 y2 1, x 0, 0 y x, 0 z e(x2 y2)}

}

K = + ≤ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ⁺  

Lösning a): 

Skärningskurvans projektion i xy‐planet:  

3 3

2 x

²

+ y

²

+

 =   

3 x

²

+ y 4

²

− 6

 

⇒

 

9 = x

²

+ y

²   (cirkeln med radien r=3 )  

V=  z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

 ^{=  x y dxdy}

D

) 9

( ^{2 2}

∫∫

^{− −} = ( polära koordinater,  ) 

∫ ∫

^π

^θ

⁻

2

0 3

0

2) 9

( r rdr

d =²

∫ ∫

^π

^θ

⁻

0 3

0

3) 9

( r r dr

d =

0 ) 3 4 2 (9

2 4

0

2 r

d r −

∫

^π

^θ

⁼²

∫

^π

^θ

⁼

^π

0 2

81 4

81d  

Lösning b): 

V=  z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

 ⁼ 

^{e dxdy}

D y

x

0 )

(

^{( 2 2)}

∫∫

⁺

⁻

= ( polära koordinater,  )= 

∫ ∫

^/4

0 1

0

2

π d

θ

e^r rdr==

0 ] 1 [ 2

4 2

/

0

e

r

∫ d

π

θ

=

∫

^{/4 − = −}

0 8

) 1 ) (

2 1 (2

π e d

θ

^e

π

 

 

 

Uppgift 3. Beräkna volymen av den kropp som definieras av 

a)  

^{K =} { ^{( x , y , z ) : x}

²

^{+ y}

²

^{≤ 4 , 0 ≤ z ≤ 5 ( x}

²

^{+ y}

²

⁾ }

 

b)  

^{K =} { ^{( x , y , z ) : x}

²

^{+ y}

²

^{≤ 9 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , 0 ≤ z ≤ ( x}

²

^{+ y}

²

⁾

²

}

 

Svar:  

a) 40

π

   b) 

4 243 π

     

 

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Tillämpningar av dubbelintegraler. Volymberäkning

Uppgift  4 

Beräkna volymen av det område som ligger mellan  ytorna: 

1 4 4

²

+

²

+

= x y

z

 och  

z = 33 + 2 x

²

+ 2 y

²   Lösning: 

Skärningskurvans projektion i xy‐planet :  

1

4

4 x

²

+ y

²

+

 =  

33 + 2 x

²

+ 2 y

²  

⇒

 

32 = 2 x

²

+ 2 y

² 

⇒

 

16 = x

²

+ y

²   (definitionsområdet D är alltså cirkeln med radien r=4 )  

V=  z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

 ^{=  x y dxdy}

D

) 2 2 32

( ^{2 2}

∫∫

^{− −} = ( polära koordinater  )= 

∫ ∫

^π

^θ

⁻

2

0 4

0

2) 2 32

( r rdr

d =²

∫ ∫

^π

^θ

⁻

0 4

0

3) 2 32

( r r dr

d 0

) 4 4 2 2 (32

2 4

0

2 r

d r −

∫

^π

^θ

⁼²

∫

^π

^θ

⁼

^π

0

256

128d  

Uppgift 5.  Beräkna volymen av det område som ligger mellan ytorna: 

1 3 3

²

+

²

+

= x y

z

 och  

z = 9 + x

²

+ y

²   Lösning: 

Skärningslinje får vi ur 

1

3

3 x

²

+ y

²

+

= 

9 + x

²

+ y

² 

⇒

 

8

2

2 x

²

+ y

²

=

 

⇒

 

2

4

2

+ y =

x

   ( detta är definitionsområdet D)  Volymen: 

V=  z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

 ⁼ 

dxdy y x

D

) 2 2 8

( ^{2 2}

∫∫

^{− − =} 

( vi substituerar polära koordinater) 

V= 

∫ ∫

^{2 −}

0

2 2

0

) 2 8

( r rdr

d

π

θ

 =16

π

 

 

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Tillämpningar av dubbelintegraler. Volymberäkning

y = x

y

(-3, 3) (3, 3)

O

D

x

2

3

Uppgift 6.  Beräkna volymen av det  ( begränsade) område som ligger mellan ytorna: 

9   ,     0 och      Lösning: 

I ekvationen

9   saknas variabeln x. Därför är

ytan

9   en cylindrisk yta ( som " uppstår" då parabeln 9   i yz- planet förflyttas parallellt med x axeln)

Ytan är också en cylindrisk yta ( saknas z- variabel) som "uppstår" då parabeln i yz- planet förflyttas parallellt med z axeln.

Kroppen ligger mellan 9   och z=0. Integrationsmängden D bestäms av skärningen mellan ytorna.

För att bestämma D kollar vi skärnings punkter i xy-planet ( där z=0):

Ytorna

9     och     0 skär varandra längs linjen  0,      3 .  Endast linjen   0,      3 har gemensamma punkter   med ytan        

Gränsen till D  i xy planet består av parabeln   och linjen    3 .  För gemensamma punkter  gäller  

 3   3 

   

Volymen V   9          9      . . .    .