Dissertatio physico-mathematica de attractione universali cujus partem priorem, cum consens. ampliss. facult. philos. in regia academia Upsaliensi, publico bonorum examini submittunt stipendiarius Thorbernus Bergman ... et Matthias Rydell, V. Gothi, In au

1. N. _J. DISSERTATIO PHYSICO-MATHEMATICA>

DE

ATTRACTIONE

UNIVERSALE

Cujus PÄRTEM

_PRIOREM,

CUM CONSENS. AMPLISS. FACULT. PHILOS.

IN REGIA ACADEMI A UPSALENSI,

PUELICO BONORUM EXAMINI SUBMITTUN!

. v Stipendiakius Regius

THO

RBERNVS

BERGMÄN,

* PHILOS., MAG.*1.

\

\

v

ET

MATTHIAS

_RYDELL,

V. _GOTHT,

IN AUDIT. CAROL. MAJ. DIE XXIX. NOV.

ANNI MDCCLVIII.

H.A. M. S.

ssssesssisass

VIRO

Admodwft Reverendo _{atque Tr<zclarißhno,}

D\no

_Mag.

_CHRISTOPHORO

RYDELL,

Ecclefce Ylleftadienfis _PASTORI ac Didrittes _Adja«

centis _{PRiEPOSITO Vigilantiffimo.}

PARENTI OPTIMO.

^ermagno

efferor gaudio Tibi, Differtenione

hacce_{y äeclarandi,}

_quofuccejfu

_tempus lite-r/x _impenderim,

_{veherationis,}

_filiwn

decety partes' numerosqueßniul expleam. Tibi,

Indul-gentiffime Pater, pofi DEUMy omnem meam felicita-tem _{refero accepta?n,rTu\s etjamfumtibusfpeeimen bocce}

publice

defendendum fufeepi.

Utinam publicum officii meijam agere queat interpretem. Non _eßquod bene-ficia Tua paterna, in me collata, repetam, Fjusmodi

ß conarer, vereor, ne ittud ipfe

_{obfeuraremfuis}

coloribus _{depieimn vellem. Sufßciat dixijfe Te,}

perfo-namlndulgentiffimi _{& Optimi Patresfemper}

_fußinuijfe^

atque etjmnnum fufiinere. _{Faxit itaque Summus}

re-rum _{Moderator, ut canities Tua, per anno s bene ?riuU}

tos, nobis

fuperfit,

in eccleßcc emolumentum, bonorum

gaudiumy meum iéf liberorum Tuorum_fubßdium

cer-tijjimum. Futurus, quoad vixero,

PARENTIS INDULGENTISSIMI

Filius abedientiffimns,

§.I.

iribus _{corporum generalibus}

_ab

Illuftri ISAACO NEWTONO

adnumeratur attra&io, fuper qua

in tres _{prsecipue partes} abierunt

recentiores _{Phyfici, adeo ut hxc}

vox fafta fit inftar cujusdam

Schibboleth

_{philofophantium.}

_Si

_{corporum natu¬}

ra _indolesque cognita

nobis efiet,

_quot

&

_quaenam

proprietates ad

illa pertineant,

&

num

has inter

locum habeat attraftio, a priori

facile föret

dijudi-catu, fed jam e contrario non nifi

leviter &

per

paucas a pofceriori

indagatas

innotefcunt, adeo

ut aeque fit

ftultum corporibus

alias

attribuere,

quam

quas experientia eis

inefie teftatur,

ac,

pofi:

non-nullas inventas, _{quamlibet aliam eis}

_denegare,

quafi

menfura

capacitatis

fubje&i efiet

nota.

/

Jure

2js ) a ( #

non nid illa: excluduntur , quas oppofitas notis

effe certo conftac. Sed _{num, praeter dudum}

de-te&as, omnibus particulis materias, certa diftantia

remotis, jnfit nifus ad fe invicem accedendi absque

cognito

impulfu

? Newtonus

multis

phcenomenis

probe confideratis in illam induöius eft opinionem,

& hunc effe&um attra&ionis _{infignivit nomine.}

Hoc _{igitur vocabulo non nifi phasnomenon}

primum, aiiis explicandis inferviens indicat, &

tanto minus pro _{cauffa indigitanda venditat,} quan-to certius _conftat, illum cauflam _externam

attra-£tionis non negafle, nam in Princ. math. Philof.

nat. Libr. I. Sech XI. dicitfe confiderare _vires

cen-tripetas tamqiwm attractiones , quamvis fortajfe,

fi pkyfice loquamur, verius dicantur impulfus. Et

ad initium di£fci libri fub definitione oäava ita ha¬

bet: vaces attraciianis, wipnlfus _{vel propenfionis}

cujuscunque in centrum profe mutuo ufurpo; has vires non _{phyfice, fed mathematice tantuvi}

confide-randof Unde, caveat lefåor, ne per hujusmodi

vo-ces _{cogitet, me}fpecwn _{vel modnm actionis c}

aus-fatnve, aut rationem phyficam alicubi definire, vel

centris vires vere & _{phyfice tribuere, fi forte aut}

centrum _{trahere, aut vires centrorum ejfe dixero.}

Item in _{Scholio prop. LXIX. vocem attraäionis} heic _generaliter

_ufurpo,

_{pro corporu?n conatu} quo-cunque accedendi ad invicem, five conatus ifiefiat ab actione _{corporum> velfe mutuopetentium, vel}

perfpiritus emiffos fe invice?n agitantimn, five is

rf

) ' 5 C #

cor_{porel, mcorporei orlatur, corpor}

a inna*

tantia in fe invicem _{utcunque impellentis. Hane}

attraäionis _{fignificationem Newtonianam, vel cum} D:o Kraft _{emphaticam appellare liceat.}

Nonnulli _{Principe audaciores hane vim} tam-quam phyfice realem, & uti cauffam veram

&exi-ftentem _{confiderant, quo fenfu}

_hypoßatica

_vocari

poteft. Multi tandem attra&ionem omnino com

demnant, &, ut infelix _{ingenii monftrum}

impos-fibilem effe contendunt. _{Horum argumenta}

me-rito _{praeterimus, cum potiora attraÖrionem} hypo-ftaticam _{tantummodo petant, cujus defenfionem}

in nos non fufeipimus.

§■ n.

Attractio in _noftro

_Jyftemate

_{efl vis univcrfalis}

& _reciproca.

L _{Quod omnia} cor_pora ccelefiia, Planetas tam

Primarii, quam fecundarii, _{Cometaeque fefe}

mu-tuo _{attrahant, in aprico ponit Mechanica, quippe}

quas, eorum revolutiones in orbitis _{ellipticis vel alia}

fe&ione_{conica,vicentripetse & viproje&ionis inpri¬}

ma creatione_{impreflae, adferibendas effe monftrat.}

IL Defcenfus _{corporum ad noftrum planetam}

pertinentium, terra in illa vim attra&ivarn

indu-biam reddunt. _{Quod autem ad attra&iones}

mu-tuas _{corporum in noftro globo}

terraqueo

obvio-rum _{attinet, eorum exempla ubique fat manifefta}

occurrunt, quamvis interdum vi fortiori cedere

cogantur. Has obfervantes reperimus

i.

folida

_{corpora ad mutuum acceffum}

❖ ) 4 (

^

tari. Duse fphseras vitrese aquse

libere innatantes,

debitaque

diftantia

a

fe invicem

remotse,

ad

con-ta£tum _{feftinant; marmora}

polita

fefe

tangentia,

magna vi

cohserent;

firmitas

corporum, qua

ma-gnam partem, a

particularum

attra&ionibus eft

de-rivanda; cetera.

2. Fluida mutuam ambire unionem innume-ra probant

phaenomena:

dux

gutta* aquat

in

con-veniente diftantia pofitas, ad le

invicem

feruntur,

& in unam coalefcunt; aqua, aliaque

fiuida

aerem

abforbent; Naphta, tam

naturale,

quam

artificia-le, ignem

ad fe

allicit,

pluraque

ejusmodi,

quae

experientia tam

vulgaris,

quam

Phyfica &

Chemi-ca abunde fubminiftrat.

3. Quod quoque

fluida &

folida inter

fe

ean-dem vim exerceant aeque certum

eft,

nam

fi

ligna,

metalla, vitra, aliaque

folida

corpora aquae,

vino

aliive _{liquori immerguntur, non}

modo

madefcunt,

fed _{etjam, fi caute}

_extrahantur,

_parva

columna

fluidi illa fupra

libellam fequitur;

falia

alkalina

al-luentes _{vapores aqucos}

atträhunt;

Butyrum

Anti-monii, cineresque

clavellati,

aquam ex aere

abfor-bcnt. Ex memoratis innumerisque aliis

phteno-menis

_(quibusheic

recenfendis

fuperfedeo,

_cum in altera differtationis parte propius

examinabun-tur) jure

concludimus,

omnibus

materia?

particu-lis attribuendam efle vim mutuam attra&ivam,

quam pro

majore

vel minore

homogeneitate,

plus

minus interfe plerumque exercent.

Haec

igitur

vis a _quacunque

demum

cauffa

dependens,

non

^ VJ»

❖ ) 5 C #

immerito attraäio univerfalis appellatur, ad illam diftinguendam a

particnlaribus quibusdam

Magne-tifmi & Ele&ricitatis phsenomenis.

SCHOL. _{Quod ad cauflamattra&ionis univer¬} salis attinet, de illa adhuc nihil certi conftat, nec homogeneitas quidquam

explicare videtur,

nid. fuppolita

attra&ione

mutua.

Pofitis

enim

duabus

materias _{particulis homogeneis}

_{A Si}

_{B, de}

_A

adiir-mari _{nequit, quod B attrahat}

_{ob qualitatum}

con-venientiam, nid B hac vi revera gaudere notum(it. §. III.

Attråttio_{fit in ratione maffarwn.}

Gravitatem corporum, quas nihil aliud eft, quam

attra&io, hane

fequi

rationem experientia

teftatur. Praeterea ex propof. praeced. vidimus hane

vim competere omnibus materiae

particulis,

adeo-que cum

effe&us fux cauffse femper fit

proportio-nalis, (i corpus C inter duo alia A Si

B

ponatur,

quorum

alterum

A

dupla ipfius

B

materiae

quanti-tate gaudeat, A _quoque

duplo

fortius

trahet C,

quam

B,

nullo habito

refpe&u diftantias, &

vicis-fim _{C pro fua maflä attrahit}

_A,

_{adeo ut, remoto} omnino By fpatia

(/

&

S)y

qua» ante

concurfum

peragrant A Si

C,

(int

maffis

(M &

?n

refpe&ive)

inverfe _{proportionale, hoc eft S:}

_f::

_{m: M.}

Ita-que in

communi

gravitatis

centro concurrerent, .

nid cauflarum diftantia obftaret, quse communiter

quo

major,

eo magis

effe&us debilitat.

❖ ) 6 ( ■#

§. IV.

Attraciio _{longinqua: feqüitur rationein}

iriver-fam quadratorum diflantiarum h. e. majfis

manenü-bus _{iisdein, zf nominando attraäionem A,}

diflan-# centro_{corporis attrahentis D, erit A ~}

jyjj

Orane corpus in curva motum quovis

momen-to in _tangente

_abire

_{tentat, luna igitur cito mo¬}

tum amitteret _{curvilineum, niii vis centrifuga alia} vi verfus terram _{premente continuo fedaretur,}

quae nulla alia eft, quam lunae in terram gravitario.

Hase _{cognita, & cum eis, quae juxta terram hoc in}

negotio

_{obfervantur,collata,monftrabit,qua}

_ratione

magna? didantise aeftimationem attraftionis intrant*

SitLC _{(Fig. i.) pars orbitae, quam luna in} diflantia media a terra uno minuto _primo

peragrat-Haec _{aetpiivalet 32. 56!, cum 27 d. 7 h. 43. 12}

re-quirantur ad integram revolutionem feu 360°. Sic

Tterra Sc L B tångens _{in L, B C igitur vim}

expri-mit, quae lunam uno minuto primo verfus terram

urget feu fpatium, quod luna a vi

centrifuga

Übe-rata_{hoc tempore percurreret.Lunas diflantiamedia} a terra eft _{60,2 femidiam.terreftr.} ZI _1291509856,

2 _{ped. fuec. H LT. Cum autem CB~R}

(~ 1)

// rtr

—

Cof. LT C _{( 'Cof. 32. 56|) Ho, 000000012754,} erit 1: o, _{000000012754 :: 1291589856, 2 : 16ped.}

fuec. circiter. Sed _{gravia juxta terram fecundum} experimenta Hugenii percurrunt uno minuto

r /-7 f

# ) 7 C ❖

cundo 16

_ped.

_{fuec. circ. Jam ex theoria Galilae!}

fpatia percurfa funt quadratis temporum pro* portionalia , adeoque corpus juxta terram uno minuto _{primo peragrabit 16 x 60 x 60 ped.}

fuec. _{Ergo fpatium a luna percurfum uno minuto}

primo, eft ad illud, _quod corpus grave juxta ter¬

ram eodera tempore _{abfolvit, ut 16 :16 x 6o x 6o}

i

::

6cT>T6o : 1' Qux rat*°

inver& quadratorüm

diftantiarum, dum 1 _{exprimit quadratum diftantix}

fuperficiei terrae ab ejusdem centro, & 60 x 60 quadratum diftantiae lunae ab eodem.

SCHOL. I. Dius CLAIRAUT anno ₁₇₄₇ co-ram Acadernia fcientiarum _Parifienß

commenta-rium _{recitayit, in quo mot um apogaei lunae} perftheo-riam Newtönianam invenfum _{duplo tardiorem elfe} contendit, quam qui ex obfervationibus deducitur, unde

_{attra&ionemrationemreciprocam}

_duplicatam

non fequi concludebat.D'_{Alembert eodem}

tempore» &Eulerus _{longe antea, per diverfas methodos idem}

reperierunt. Sed anno 1749 Clairaut eidem Acade¬

miadeclaravit _{jfe modum invenifle conciliandi mo¬}

ms_{apogaei ex theoria derivati cum obfervationibus.}

Dilfertatio Gel. Clairaut de Theoria_Lunae, prae-mio ab Academia fcientiarum _{Petropolitana}

deco-rata, D:um EULERUM arduam hancce materiam iterum _{adgredi permovit» unde motum apogaei} in-venit _{pro menfe}

r O / // O , fF

apogiftico3.2.9,_quiexobfervationibused:3.4.11

periodico

3.0.37 - - - - . 3.2.38,

qiiJE

# ) S (- #

quas parva

diffcrentia

quibusdam

terminls

accura-tias determinandis _imputari

_poteft.

_Conf

_ejus

Theoriarn Lunae.

D:us D' ALEMBERT formulam apogaei ad

fluxiones _{3*.i ordinis ccntinuando, tamen}

differen-tiam _{triginta minutorum pro}

_revolutione

_theoriarn

inter & obfervationes invenit. Duo primi feriei

termini, quae motum

apogaei exprimit,

fuerunt

° / Of

t. _{30 & i. 3,} adeoque

fumma omnium

reliquo-/

rum eflet circiter 30, fi theoria obfervationibus

confentiret. Deinde non

negligendo

nid fluxiones

o / tr

6:i ordinis motum apogaei invenit _{3. 2. 33,}

dum

o

luna ₃₆₀

_percurrit,

_fed

_ex

_{obfervationibus hic}

_per diem efl: 6.

41',

_quod

_{per 27}

_d.

₇

_h.

₄₃

_dat

_{3. 3. 37},

quxparva

differentia vix

negle&ui

quarundam

flu-xionum tribui _{poteft, nam quatuor}

_primi

_feriei

O t // ® / n / tr r

termini funt circ. i. 30. 37, 1.3.21, 23. 30, 5-. quac

feries

fatis

convergit,

ut

quintus

terminus-unum minutum primum

aequivaleat, &

hoc pofito,

theoria

_perfefte

_cum

_{obfervationibus confpirat,}

quamvis

negleftas

fint

perturbationes

ex

a&ionere-liquorum

planctarum,

item

figurae

terra

& lunae,

quae

circumftantia

etfi

difficillime

in

calculum

in-troducantur , tamen conclufionem

forte variare

poflent.

Conf.

Syfteme

du

Monde I:re

partie.

Celeb. Prof. THOMAS SIMPSON nuperrime

• '

'

*

si- V '

# ) 9 ( #

quoque motura apogafi lurtas legi Newtoriianae non

officere alia methodo oftendit. vide _ejus Mifcella-neous Tra£ts anno _{präst. impreff. Londini pag.}

160 _feq.

SCHOL. II. Ex_{phasnomenis lex quadrati non} exaQie _{fequitur, adeoque omnisalia ab illa parum} differens theoriae quoque fatisfaceret, fed cum lex

unice ex _{potentia diftantiae pendens cuivis alii}

fun-ftioni _{algebraicae fit prasferenda,merito prior} cligi-tur,qua?, fivelmaximemotui apogaei lunae non

accu-rate _conveniret, ideo _tamen non effet mutanda tantummodo ad _{explicandum phasnomenon}

fingu-lare, cujus insequalitates a cauffa particulari oriri

poffent, prasfertim, cum quascunque fubftituatur

iiin&io,

haec vix, ac ne vix quidem _{terreftribus &}

cceieftibus ex attra&ione derivandis _phsenomenis,

fimul fufficiet.

SCHOL. III. D:i _{Keil, Gregorius aliique banc} legem a priori eruere tenrarunt. Hi attra&ionem tamquam vim in re&is infinite multis refidentem concipiunt. Hx re£tae ex centro gravitatis

ema-nant&

fphaeram

_{aCivitatis componunt, inträquam}

corpus quodcunque conftitutum attrahitur 111

ra-tione numeri _{radiorum, quem quaevis ejus}

parti-cula _{intercipit. At hic numerus decrefcit in eadem}

ratione, qua radiorum quadrata crefcunt, nam

fphxra a&ivitatis concipi poteft tamquam

compo-fita _{innumeris, concentricis & propinquis}

fuper-ficiebus, quarum quaevis eundem quidem radio¬

rum numerum _{recipit, fedtanto rariorcs, quanto}

# ) 10 f ^

major eft fuperficies. _Sphaericas vero

_fuperficies

funt in _{duplicata ratione femidiametrorum,} adeo-que in fpatio dato nameras radiorum eft inverfe

uti _{fuperficies in qua eft, h. e. inverfe uti}

quadra-tum _{diftantiae, & proinde attraäio in eadem ratio¬} ne. Sed tantum abeft _{, ut haec ratiocinatio}

Theo-riamNewtonianam _{confirmet, ut potius illam}

ever-tat, & _{experienthe contradicat, nam ex hac}

expli-catione _{gråvitas non rationem maflarum, fed}

ma-gnitudinum fequeretur. §.v.

Majfa Difiantia funt unicci elementä, qua ajlimationem attractioriis longinqua intrant.

Nam fit in _{fphaera fluida ABD (Fig. 2.)}

ca-.-nalis abed, _compofita ex duobus tubis

circulari-bus ab & de, quorum centra coinciduntcum cen-tro _{fpaerae, & ex duobus cylindris cavis ad & be}

verfus centrum directis. Hoc _{pofito apparet}

flui-dum canalis in tubis circularibus nullum _editurumt

effe£tum _{-sequilibrio inimicum, cum dire&io ejus}

vis fit ad tubos _{perpendicularis, ideoque tota ab}

illis _{fuftentetur, ergo ut aequilibrium in canali}

ob-tineatur, requiritur ut efie&us cylindrorum fefe

mutuo deftruant, _{quod fieri nequit, fi gravitatio}

eflet _{menfuranda praeter mafiam & diftantiam ab} alia _qua

_dam

_{circumftantia e. g. ex angulis inter}

axem AC &tubos ad & be. Canalem enim ita

difponi

pofle

in aprico eft, ut angulus ACb major vel minor fiat _angulo

_ACa,

_{in hoc igitur cafu}

aequilibrium

turbaretur, quodabfonum, nam dum

rf

❖ ) ii ( #

tota

fphtcra in

_{co manet, neceflärio quoqne}

_ident

eveniet canali. •

-SCHOLr^Quoå åd _figurarri attinet, ea quidem attra&iones in _{parvis& mediöcribus diftantiis variat,}

nam

corpufculum

afphaera

_longe

_aliter

_{follicitatur,}

quamab cadem materiaformatainplanum

circulare,

cujuscentrum idem ac fphasrae& planum

perpendi-culare ad lineam centrum _{fphserae & corpurculum}

jungentem. Itaque, quamvis haec differentia adeo (it _{parva, ut juxta ferram in corporibus, qux}

exa-mini _{fubjicere licet, percipi nequeat, tarnen,}

ac-curate _{loquendo, allata propofitio non valet, nifi}

de _{corporibus, quorum diametri refpe&u} diftan-tix evanefcunt.

§. VI.

Ex _{legibus attra&ionis ha&enusmemoratis}

mi-rum, _quam conformes obfervationibus

deducan-tur, non tantum Planetarum tam _{primariorum-,}

quam fatellitum , fed etjam Cometarum motus.

Theoria htecce _{quo magis evolvitur, & quo}

accu-ratiori. examini _Cubjicitur, eo magis quoque

con-(irmatur.

Ex allatis _jam

_leges

_{quasdam particulares} de-rivabimus , quarum magnam partem fynthetice

- demonftravit Newtonus.

In _{fequentibus fuppono}

corpora homogenea, &fcfe attrahentiainratiöne

di-<re£ta maflarum _&reciproca

_duplicata

_{diftantiarum.}

§. VII.

Vim> qua _puiiäum a quovis äUo

in\qualibet

directione _{aterahitur3 invenire.}

Quas-# ) i2 i

Quaeratur vis, qua punQrum E

(Fig>$•)

at-trahit _{pun&um P in dire£tione PD. Demittatur} perpendicularis ED,

junganturque

E Sc P. Cum

i

jamvis,, qua P

follicitatur

(it -y hac

decom-x.

ty&f&é&i.

FP2

. PD i PD

pofltapro_^ vi indire&ione DP erit - X——

PE PEZ PE3

CLE. L

CQROLL. Hinc inveniri _{poteft vis urgens P}

verfus linsant AB normaliter. Nam fit ED ~ _x,

PD — _{a, erit attra&io pun£H E in dire&ione}

nor-PD a adx x

mali-—— _{?, 8c t elementum}

PE* _{V^2-+at2 Va2-t-x}i2 -+•xz

attra&ionis totius ED fecundum re£tam _{PD, unde}

cix2dx adx J _s/ a - -bx2 ~~J adx<\fi2-+x

^(l2

~bX2 s/a- -b x X _ED a2 _{(a* -bX2)} —— ed

attra&io- _{linex; EDy}

ay/a^-bx2- PD^PE *

AD

adeoque — - totius AD. _7^

PDxAP

Eodem modo _{inveftigatur vis partis DB,}

DB _{AD DB}

unde

FD*pfr--~~

_{PD7Tp^lD7¥Pxpnmim}

qua P a linea AB _{perpendiculariter attrahitur.}

§. VIII.

Vhriy qua _{redda Enea punctum}y in eadcm pro¬

rf

$ ) 13 ,( ❖

äucia_{fitum, zw}

_direchone

_quedibet

_attrahit.

inve-nire.

Sit I:o _{quseftio de vi linese CF/g", j>.)} ur-gente P fecundnm dire&ionem line^ attrahentis..

Conjtingantur

punEb P Se A. Sit PA n ay

AE _{11x, AB ~ hy eritque fluxio attraåionis}

line-dx

kAE — (§. VI.J, _quae transformata,

po-(a-hxj*

fito s ~ a _-+xy reddit _{integrale ZZ — it A,}

SAn unde

_integrale

_{completum ~ J}

-— _i-f~x

—P/T — ?e-

^inc

vis totius lineae AB

Q^E. P. t

II. Si _{inveftiganda fit vis linear AB in}

quavis

alia _{dire&ionePDy demittantur}

perpendicula ACy

EF & BD in _{PDy & ponatur PC}

~ c. Attra&io

PF PC

puncti E fecundum PDr ~~ —— — * — PE* PEZ _b<PA

c /<c X7Tr . 0 r cdx c — — (§. vir.v &

/

— — ct_{(ci -+x) J} d_{(ci-+x)z (i(x )}

-A~i~

cxprimit

vim

line*

AE>

Ideoque, pofito attra&io \inexAB~ ~%. a*

c FC / i i v

a(b-t-a)~PA

\PÄ

~~Pb)'

E"

A" L

❖ ) i4 C ❖

§. IX.

\

V imj qua peripheria

circuli attrahit

corpufcu-hnn _{constitutum in perpendiculari ad ejus planum}

per centrum

tranfeunte,

invenire.

jguseratur vis, qua P

(Fig.

4.)

a

peripheria

ABCD fecundum PG attrahitur. Sit AB ~ x, BGzzr, PG a81 p peripheria circuli ad radium 1, quem valorem

ubique

in

fequentibus obtinet.

Ita-PG

que

ABCD

pry

&

_yyy

dBA eft fiuxio

attra&io-nis BA in direftione PG _{(§. VII.) adeoquc}

adx ax

/ .- 3 n - .... " =ri tota ejus vis. Ergo

J \j i2 -f- r2

\fa2

-+r*

ö

apr PGXABCD -exprimit attra&ionem

yja*~f-r>*

PB*

quaefitatn.

Q^E. I.

CÖROLL. Si PS — 0, vis integra , qua P

fo'J-licitatur, evanefcit, asqualiter enim ab omni parte

attrahitur.

§• x.

Vim, qua

fuperficies

coni recti

corpufculum

in

vertice conflitutum

attrahit,

invenire.

Quaeratur vis, qua

fuperficies

coni

PALBE

(Fig.

S-J

attrahit

P.

Sit

axis

PC~Z

a>

PA

Hb,

bx

AC He, PFhx8c

FDzzy.

Hinc

PD H — 8c

\r • .*

_ • a

bdx ' '

dPDll—• Jam

fuperficies

conica

in

innumeras

4

c J

rf

❖ ) »5 ( ❖

zonas HE bafi _{parallele concipiatur divifa,}

qua-rum _uniiis EHattraclio in direclione axis eil PF

„r, won ^

PD*

^

^

^

— _pß*

_^p2

_~

FP PC

Xpob ——— —adeoque flibftitutione fa£te, ~

PD PA * '

pa2ydx pacxdx cx pac dx

—J—T- __ -7—7- (°b y — —) —- X —J cujus

Txz b2x a _bl x

apc . ' "

integrale — Ix dependet ex conftru&ione

_Loga«

rkhrrpcae9 vel _{quod eodem redit, a quadratura}

Hyperbolae aequrläterae. Itaque ü x Ha, attra&io

• _r

^ . . pac

totius _{mperficiei corneae fit — la. OE.L}

• ■

b

COROLL. Si TMALBN eft conus refitus trun«

catus, ejus]fuperficiei _{vis P attrahens, eft differentia}

attraåionum _{fuperficierum conicarum PALB Sc.}

PMN, hoc eftp

—((—

■

PCyAC

_i

_pt

PA' -y PA* PCxAC PC ■ - ' p ___ l r PA* PT §\ XL

Vim, qua

fuperficies

_cylindrica

_corpufcalum

_in

axe _{protraclo fitum qttrahit, indagare.}

Quaeratur

fuperficiei

B

KOMBA (Fig. 4.) vis _{attrahens P.} Sit PL ~ _{x.,.„LE ~2r, erit PE}

) 16 ( _$

Z2 Peripheria

circali EF

bafi

parallela

PL

ZZ_pr

duäa

_{in ——} exprimit

hujus

peripheriae

at-PE^

prx prxdx

tra&ionem _(§.1X.)^ __ ^, adeoque ——

yJX2-+rzn

c(t fluxio attra&ionis fuperficiei cylindricas DE,

cujus fluens, pofito -+r*ZZ z,

facili

transfor-pr

matione invenitur — -—====-. A _ p — '

yx* *+r4

pr

, cx quo

valöre,, fubftitutione

fa&a,

in-^x*

-+ r*

. , .. KHMO

noteicit attracho totius _luperficiei __ p

-^^

„ CbE. I.

SCHOL. _pr _{—• ■}

j

- dupHci gaudct

valö-V**-fr*

^

ö

re, ut primum P cadit intef G & L, quorum alter illam vim _{indicat, quse verfus P}

_{fallicitat, alter}

vero, _quae verfus N _urget. In medio _axis

hx vi¬

res fe invicem deftruunt, & _{corpus P} ibi _quietum

manet.

§. XIL

V_{im, quafpharicafuperficiei corpufculum ex¬}

trafe _{pofitum attrahit, definire.}

Inveftiganda fit vis, quae P (Fig. 6.)

verfus

fphsene O HE D C

centrum urget.

Sit

0

HED

cir-culus

rf

❖ ) *7 C #

culus _{maximus, PH & PNduae infinite propinquaj}

linea; circulum fecantes _{inZ?, M, NSnlij BL & HP} perpendicula inPjE.Junganturpun0:aH&i?cum C. Ponatur PO ~ _{a, PE~ b, PB ~ z, PHzzx,}

erit-b — # _ a -+ b ^ z -+ x queOC , PC , PK H z2 ab x2 -+ ab ob PB x PH 2 z 2x PO x _{PE, BM} (b—a)dz , — ob

triangulum

BCK c/d BLM, BG iCK 2CKz a ob _{triangulum PCK00 PGB, HAT"}

ob _{triang. H/iV c/3 HCH& HF} 2CKx

(b—a)dx

2CK ,

. Jam

con-0 -+1?

cipiendo fphaericam fuperficiem in innumeras

zo-nas DBM & HNSdivifam, _{harum omnium}

attra-Qiones additse, _{dabunt quasfitum. Zona DMB}zi

sMB>><BG\

p X MB X BG & ejus attraftio p

f————j,

•

^ a- DZ7 a

pMBxBG

PHx

cujus pars in directione PE eftp

_^——

_X

(£—a)dz 2CKz z2-+ab —— x « -2CK a -i-b 2Z _{\ b} — fr (fr-+bjz £3 X a

)

p-p

# ) IS ( #

(dz■+abz 2 dz_{). Eodem} modo eruitur attra&io

zonse HNS, _{quae MBD femper comitatur > H}

sHN X HF PK\ b — _ari

KPH7"

*Jc)p-p(^)>

Cum crefcente z minuatur _{x, erunt harum}

zona-b — a

rum attra&ionis in fummarn colle£he_~bp

-(a-+-b)*

(;± dz H abz 2 dzn dx abx 3 dx), cujus

inte-b — a

_

grale p ———3

(Zl

x

abx

1 7^; zHabz

I) eft

valör attra&ionis _{fuperficiei generatae per}

revolu-tionem arcus BH, _{qui nulla eget corre&ione. Hinc}

pofito z a, & x~ by attra&io totius

luperfi.-2 (b—a)2

ciei eft — — _p. Q^E. I.

fa -f-b)

COROLL. Attra&io _{fuperficiei fphasricae eft} direfte uti _{quadratum diametri, ßc inverfe uti} qua-dratum diftantiae a centra.

§. XIII.

Vim, quafpbarka fuperficies corpufculum _in¬

trä_{fe pofitum attrahit, determinare,}

Inveniatur _{vis, quse P (Fig. 7.) verfus C}

tra-hit. _{Repraefentet OHEB circulum maximum in}

cujus piano P fitum; MN & BH duas lineas in

centro _{corporis P} fefe fecantes _{& angulum infinite}

parvum comprehendes, HI & CK_perpendicula in

MN; ML in BH, MG & NF in GE. Jungantur

M & N cum C. Sit PO Ha, _{PEn b, PNhx,,}

# ) 19 C #

PM —_{z, & erit CM —CO — , PC~~,}

2 2 x—2; ab—₂4 —ab7" (a-+b)dz PKzz ~ -z: ,MB~ 2 2Z 2X _2CK _ 2CKz

.& MG . Eodem modo ac in praeced.

pro-b — a

blemate invenitur attra&io zonae _{MB verfus}

cen-/MB X MG PK\\ a -+ b

trum, p [_^ — X — ~) — p

PMX PC' ~~ _(b—a)*

_F

f L — A A \ Q tjat—

fNHX

NF

(abz dz—

_dz)y

_SczonxHN p (

X PN1 PK \ a -+ b __

~pc)~~

^

*dx)y

quarum rr a -i- b

differentia H -7 P(dx —abx *dx—abz—2 dz

(b

a)2-. a ■•+ b

-f_{dzjy cujus integrale}

^——p

{—x—abx—1

H- % -»■ abz _{x). Itaque, pofito z~a, ScxZZb,}

prodit totius iuperficiei vis verfus C urgens ~

a +- b

—

p (—b -+■a +b—aj. Q.E. I.

(b-a)2

COROLL. Si _{igitur daretur planeta vacuus, in}

illo mundus _{gravitatis phasnomenorum infcius}

re-periretur. Animalia ibidem furfum, deorfum &

, in omnes plagas eadem

facilitate

irent, nifi mutua

^ ) 20 f $

inter fe invic^m _gauderent

_attra&ione,

quo

in

ca-fu haec vis manifeftos ederet effe&us, nec (uti ia

fuperficie terrae tit) potentiore

deflrueretur.

§.

XIV.

V_{im, qua planum}

_eirculare

_attrahit

corpufcu-lum in

_{perpendiculari}

_{per centrum}

_circuli

tranfeun-te _pofitum,

invenire.

Quaeratur vis, qua

P

(Fig.

4.)

verfus

planum

ABCD fecundum axem PN folliciratur. Sit åb cir*

culus concentricus circulo DB, & in eodem piano, PGH a, Pdzz x, unde Gd2 ~x2 — a%, & area

circuli ad rad. 1 n/> (uti femperin

fequent.)

unde

circulibd~f(x2—ax), cujus

differentiale

2fxdx. Attra&io cujusvis particulae d in

dire&ione

PG eft uti _{H -j)}

_adeoque

_{differentiale}

_vis

attrahen-Pd> x:

tis circuli bd'dk 2fadx & 2a

ifjx-x2 •' #

rt A Sed cum attra&io evanefcat, pofito PG Z2 ifa

Ad, erit A _ o, & A ___ 2/, ideoque

inte-a

2fa a

grale quaefitum

2f

— -—_*)C 2/

(1

—

—■), unde

vis

PG

fcotius _plani

_BD

_{2/ (1}

_—

_775)*

_pofito

_Pb

_H

_PB.

PB

Q, E. I.

§.

XV.

FzV«, 5a« fowax

corpufculum

in

vertice

reäus

eonßitutum attrahit, invenire.

Erua-# )

'

fl* ( #

Eruatur _{quanta vi P fF/g.}

_J.j

_{attrahatur a}

cono vabl. Valeat eadem aenominatio ac in§.X.,

r pf

& erit attra&io coni PFDE

_{2fJ(1—Yd^^^}

t adx ax

n

ofj

_(dx

_{Ulf (x}

_—^-)

}

adeoque

at-_ PF2

tra&io totius coni _quaefita

_{2/ (PC}

— —-jvx

Q^E. I.

COROLL. Visconi truncati_{MTCABN urgens} P fecundum axem PC, eft aequalis _differentias vi-riumconorumPCAB & PTMN, hoceft ~ _2f(PC—:

FC\

,rsPT

FJL-,frrrfCx

TC\

p^)

/r

PM)—./c

c

PA

o

§.

XVI.

"

Viffi, qua cylindrus,

corpufculum

in axe

elon-gato

pofitum,

attrahit,

mvenire.

Quseritur cylindri BM vis attrahens P (Fig.4.). Sit GLzzx, EL~BG~c, BK~b ScFG ZZfr

PL Cum

_{jam attra&io}

_{plani EF fit}

_if

₍₁

_—

_—)

—

2/ fi - , _

-)

r&XIVJ, quod

du-yx2H-2^-f«2H-fa

(0 dx

&um in dx fit _2/(dx -

—~)

,

V#* "t tM ""*■^

^

_{2/— (adx}

_-+

_«Ä:)

_(xa

_{-+ 2ax -+}

_a2"+

_c2)~~T)

5^ ) 22 C #

& _exprimit

_fluxionem

_{attra&ionis cylindri}

_BF\

cu-fjus fluens

2f

(x— (x2 -+ 2ax -+a2 ■+

c-) *)

Zt

^

totam ejus vim monftrat.Ad

determinandum^ob-fervandum eft, quodpofito^zi 0, fiat—2/(V -fe2)*

~+Azio, &A~—2f (a2

_-+r2)^,

_unde fiuens completus evadit 2f(x— (x* -+ 2ax-+a1 -+c2) ? •+ (a* -+ c1) ~ 2/(GL —FE -+ PBJ, ideoque to-tius _{cylindri BM vis Hl 2/ (GiV — PK -+ FF).}

CLE.1.

§. XVII.

F/V/z, quafphara corpufculum extra fe verfus

fuwn

centrum urget, determinare.

Quaeratur vis fphaerac BODE (Fig. 8.J verfus

centrumC attrahens F. Sit BLDGM feftio ad axem

PE _{perpendicularis, fphserse radius ~ r, CP ~ a,}

PO — _{PC—OC—b, PG—x, PD~PB~b}

-+gy

& erit OG ~x — b, GE ~ _{2r— x} -\-b. Cum

GE x GO ~ BG2 ~ BP*— PG2 ~\b _-t-yy— _x2

2bx -+ 2rx — x2 — 2br —b2, erit _x

(b _{-+y)2 -+2br -+b* 2bz2br -+2by -+yx} ■

\ ■ ■ ■ ' '

2b -f 2Y _2b -+ 2r *

2ab H-_{2by H-yz}

—, ob a ZZ b -+ r. Vis corpus F ver-2a

fus _{planum BLDM urgens eft per §. XIV., — 2f}

, PG 2ab■+ 2by ■+y'.

(1 — ™ ) — 2f(i ' _<JU® du"

i ts _2a(b

-+y)

fy)

23

(

&

a • ,

ydy

bdy-+ fdy

cta in ax eft — (2ry

— y J} cujus

a a

f

integrale—_az (ry2 —fy3) exprimit attra&ionem

fegmenti

OGBLDM, cui _{cognita quaedam}

quanti-tas non _{deeft, nampoiito}

y ~o, totum evanefcit.

4fr*

Attra&io _{igitur totius fpxrx quariita eft}

. Q.E.L

Sa2

Aliter.

Hoc _{problema refolvi quoque poteft}

ex §. XII.

Nam _{concipiatur fphaera (Fig. 6.)}

compofita

in-numeris _{fuperficiebus phyfice craffis}

> quarum

ra-b—a v

dii ab _{usque ad o diminuuntur,}

erit uniuscu»

2

_ (b—aj*

iusque attractio H — —- p _x d (b _{— a),}

cu-(a -+bj J

p(b—a)1

jus integrale — —- eft vis fphserae _{exercita in}

3(a~+b)z corpus P. CLE. i.

4fr 3

COROLL. L Cum —— exprimat foliditatem

fphaerse & a diftantiam corporis _{attra&i a centro,}

ergo attra&io fpaerae eft dire&e utmafla & _inverfe,

ut _{quadratum diftantfe a centro.}

Hoc quoque fa-cile per fe patet, nam _{concipiatur omnis fphseras}

materia in centro _{colle&a, cum jam in}

anteriore,

feu _{corpufculo P obverfo}

hemifphxrio

❖ ) 24 ( #

cularum attra&iones imminuantur in

ratione

reci-proca

duplicata

diftantiarum,

fed

inpofteriorii^E

augeantur in

eadem

ratione,

unum

igitur

alterum

compenfat, &:

attra£lio

manet

eadem, five materia

in centro colle&a fupponatur, five

minus,

fed

in

priori

cafu

P

attrahitur

in

ratione

inverfa quadrati

diftamise a centro, ergo

etjam

in

pofteriori.

COROLL. IL Si P infuperficie

globi

fupponi-4/rJ 4

tur, hoc eft, fi a __ r,

crit

n -

fr

,

unde

3a* 3

attraftio in hoc

cafu ed

direkte

uti

radius

fphaerx.

COROLL. HL Corpufculum P inträ

fphacram

folidamattrahiturverfuscentrum in

ratione

dire&a

fusediftantise ab eodem. Nam fingatur vacuum cen¬

trale perP

tranfiens

(Fig.

7.J, &

corpus

P

a

cru-ftaOPfiEH non

follicitaturf§.XIII.),ideoque in hy*

pothefi

pleni

tantummodo

a

fphsera

PCS,

fed haec

attrahit in ratione radii

(coroll.

praec.).

Ergo.

COROLL. IV. Duae fpha?rse, quarum

maftx

M Sctn , diftantia centrorum

D,

fefe

mutuo

at-]\P ^ Ifl

trahunt yi

proportionali

r<3

_{^ .}

COROLL. V. Cum corpus Pattrahatura

fphse-ra in rationeinverfa

quadrati

diftantise

a centro,

&

oriines _quoque

particulas

fphserae

attrahant P

in

ra¬

tione inverfa quadratorum

fuarum diftantiarum,

attra&io _igitur

_totius

_&

_partium

omnium

confor-mis eft. Hane ob

cauffam

legem

ftabilitam

pras quavis alia a

Creatore

ele&am

effe

conjicit

Cel.

❖ ) 25 ( #

§. XVIII.

Vim, qua conus _{reäus, ba/iparallele}

trunca-tus, attrahit_{corpus in centro}

invenire.

Quseratur vis , qua _{conus truncatus TCAB}

(Fig. j.) attrahit _{corpufculum in T (itum.}

Sit

TFzZx.FDzzy,

PT~a.

_PCzib,

_AC~c. TF

Vis _{plani DE ~ if (i}

— —J &_{vis coni truncati}

TFDE

zff

_{dx

- —-

_2/*

_{_} 'Vx- -+ y2 r ^dx _{f. £} i

Jx^c^zocFZF?

°b

~b

=>Adeoque

I *aJ V-VJ-+ _{7 v} b' bxdx _'b — ■— — — — s<* +b* _/ _ 2öcäx -+b% \x2-b-—- ₊ #3-k:3 b2-bc2 xdx 2ac2 _c2a2 __ , , pofito _~ 271, WZ3. bit

\jxz-b

znx-bm2, bz-+c2 b2-±-c2 jam z -+ r _{ZZX0 erit zz} -+ 2%r zf r2 ZZ x* 2zn -+ 2nr ZZ 2nx ?n2 ZZ tri*. D

_Itaquc

# ) 26 ( #

ftaque,

pofito

m—n

habetur

s*

-+r2

-+

27zr

-+

ra*

—

x2 -+2rar -+■ ra*H z* -+ g2, Ci fupponiturg2 H

r* -fr znr -+ ra2. Quia erit ~

„rdr 2;i'25 /2<te> _ ..

ideoque — —- — -,- ~ •

Pn0"

<\/mz-hnx-tx2 VzJ_ff

y&^g2

ris fra&ionis integrale completum

facile

invenitur

ztAzz

_y/x*l+znx^m*

_— ra.

*

72ds _J

Ut integretur • : ponatur \]g2-+z* —

yz'-frg1-g •+ qz ex

quajequatione

eruantur

valöres

quanti-tatum &

Vz3

-+g* inq•> & fubftitutione

fa6tar,

lgdq.Q+q>) i-q invenitur _—y—n — —X -7"—*\> — \jz2-±g

(i-cff

g(i-+r)

2?idq . . 1 _ , f+q ±_?

cujus

integrale

ni

- — i—q* i~q z—g'+s/g2-*-?'2 7

x-+n—g-+\Jx*-i-2fix-+-m*

n l —__r— « / -%

z-+g—yJg2-*-z2

x-+n-+g~ \xz+-2nx~*'ni 71—F t J7t

cui pro corre&ione

demendum

eft

n l . 71_-f-g—771 r xäx i * Itaque

2fJ

(dx

_

2fx

^xx-+27ix~¥m* -+ra 71 (x-+_{71—g•+V'x*r+27ix-+7nr)}

(71

-f-g—m)\

l _{;—— —— -- -}

_J.

_Ex

(x-+7i"+g—Vxf-CzTix-+?nx)

(n—g-+f/iy

hoc

r/

❖ ) *7 C ❖

hoc _{valöre, pofitax~ b — a, prodit coni} trun-cati vis attrahens in dire&ione axis. E. L

xdx SCHOL. — reduci q^oq^fipnf•f>(^ y.r!•^-2nx-+mv , _r o- . , 2Z2d'Z 271pdz

ad duas frachones rationales

(n—2z)z (n—2Z)z

1

pofito x ■+ z~Vx7i-i'2nx4-mK

§. XIX.

Addu&a _{problemata generalius refolvi}

potuis-■'

1*^2

fent, _{pofita legeattra&ionis D—} > (fignificante D

diftantiam, & n nümerum _{quemcunque), fed}

cum _{certiffimo nitaturfundamento, ( §. IV.}}

hoc _{fupcrfluum duxi.}

Multa ad rem _{pnefentem pertinentia proble¬}

mata heic prsetereo, _{partim cum nonnulla ad talia}

differentialia _{deducant, quorum integralia}

non-dum _{inveni, partim cum quorundam}

facilio-res in _{pofterum fperem folutiones.}

S. D. G.

Errata

_{typographica.}

Pag. 14- lin. 14. PSpro PG\ p,

17.1.3.

poft in

omiflafunt: _{PI, CK'mPHy BG Sc HFin; p. ig.}

1. _{y. is pro es; p. 19.1. 2. 22 pro , Sz pro ab]} p. 20. 1.

3./pro/;

p. 22.I. 16. g pro y; p.23.1.1.

f f

—

pro —; p. 10.1. 17. fpaerae pro fphxrx; p. 16.

a a

pr

h 6. 8. 10. pro p folitarium X —.

Min

HERRE

Der vett

da, och

underftödjes af

Dygd

af

fafthet

flit;

i

qvickhetaf

vånlkap,

kan¬

mö¬

ner man lått igen Edert _namn.

Undra forden*

fkul _{ej, om jag,}

_fom

_rönt

_Eder

_trofafthet,

_be¬

tygar min

hjerteliga

fågnad till Eder,

Min

Vän,

fom _jagnu

_{har det}

_{nöjet fe}

_förfvara

_{ett vittert ar¬}

bete, hvilket

för allmänhetens ögon

nogfamt å daga lägger

Edra

förra egenlkaper.

Det hat, fom I altid vifat mot _{obeftåndighet, det forakt,}

hvarmed i bemött _{ogrundade irringar,}

_gör

_mig

förfåkrad, det

jag

altid får lefva

Min

HERRES

förbundne van