Vilka tal kan skrivas som en summa av två kvadrater?

U.U.D.M. Project Report 2019:19

Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Gunnar Berg

Examinator: Veronica Crispin Quinonez Juni 2019

Department of Mathematics

Vilka tal kan skrivas som en summa av två kvadrater?

Sofie Eiderfors

Inneh˚ all

1 Inledning 3

1.1 Introduktion . . . . 3 1.2 Historisk bakgrund . . . . 3 1.3 De f¨ orsta 30 positiva heltalen som en summa av tv˚ a kvadrater 4

2 Primtal som summan av tv˚ a kvadrater 6

2.1 Primtal p˚ a formen 4n+1 . . . . 6 2.2 Primtal p˚ a formen 4n+3 . . . . 10 3 Sammansatta tal som summan av tv˚ a

kvadrater 11

3.1 Tillr¨ ackliga villkor . . . . 11 3.2 N¨ odv¨ andiga villkor . . . . 12

4 Vidareutvecklingar 13

4.1 Summan av tre kvadrater . . . . 13

4.2 Vidare forskning och slutsats . . . . 15

1 Inledning

1.1 Introduktion

Denna uppsats har f¨ or avsikt att skapa en ¨ overblick av de klassiska teorem som behandlar summor av kvadrater och att empiriskt unders¨ oka och resone- ra kring vilka tal som kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater. Fokus f¨ or uppsatsen kommer att ligga p˚ a att analysera Don Zagiers version av Fermats bevis f¨ or vilka tal som kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater. Detta kommer att kompletteras med n˚ agra ¨ oversiktliga genomg˚ angar av relaterade bevis. Slutligen kommer bevisen att diskuteras och s¨ attas in i ett aktuellt vetenskapligt sammanhang.

1.2 Historisk bakgrund

Kvadrattal har l¨ ange varit f¨ orem˚ al f¨ or intresse hos m˚ anga matematiker. Stu- dier om summor och kvadrattal inom talteorin dateras tillbaka till anti- ken. Bland Pythagor´ eerna fanns exempelvis ett intresse f¨ or figurativa tal s˚ asom kvadrattal, triangeltal och pentagonala tal. I Euklides Elementa bygg- de Euklides upp talteorin fr˚ an grunden genom att systematiskt inf¨ ora be- grepp som exempelvis primtal och delbarhet. Ett av Euklides viktigaste bi- drag till framtida framsteg inom talteorin var utvecklandet av matematiska redskap s˚ asom divisionsalgoritmen, vilken ligger till grund f¨ or exempelvis kongruensr¨ aknandet och Euklides algoritm.

En annan tidigt verksam matematiker som var aktiv inom talteorin var Di- ophantus. Fr˚ an sitt s¨ ate i Alexandria utvecklade han metoder f¨ or att l¨ osa olika talteoretiska problem. Inom detta intresserade han sig s¨ arskilt f¨ or s˚ a kallade diofantiska ekvationer. Han arbetade ¨ aven med representation av tal som potenser. Diofantos visste till exempel att tal p˚ a formen 8n + 7 inte kan skrivas som en summa av tre kvadrater.

N¨ ar Diophantos texter ¨ oversattes till latin och trycktes kom ¨ aven dessa att inspirera och bidra till framtida framsteg av summor av kvadrater inom talteorin.

En matematiker som l¨ at sig inspireras av Diophantos verk var Pierre de Fer- mat. Fermat var verksam under 1600–talet och blev den som f¨ orst myntade p˚ ast˚ aendet att samtliga tal kan skrivas som en summa av fyra kvadrater. Det

1

Zagier (1990), s. 144.

2

van der Waerden (1963), s. 279.

3

Weil (2006), ss. 11–12.

kom dock att dr¨ oja innan ett bevis f¨ or detta f¨ ordes fram. Euler spendera- de 40 ˚ ar med att f¨ ors¨ oka bevisa Fermats teorem, utan att lyckas helt. Det var Lagrange som med hj¨ alp av Eulers arbete slutligen lyckades ta fram ett fullst¨ andigt bevis f¨ or att alla tal kan skrivas som en summa av fyra kvadrater.

Men n˚ agot Fermat kanske ¨ ar mer k¨ and f¨ or ¨ ar hans teorem att alla primtal som kan skrivas p˚ a formen 4n + 1 ¨ ar en summa av tv˚ a kvadrater. Med hj¨ alp av metoden ”infinite descent”kunde Fermat producera ett bevis f¨ or teore- met. Sedan dess har flera alternativa bevis f¨ or teoremet tagits fram av olika matematiker. Euler publicerade ett bevis f¨ or teoremet ˚ ar 1754/5 av s˚ adan karakt¨ ar att det inte f¨ oljde de riktlinjer Fermat hade t¨ ankt sig. Ett mer mo- dernt bevis publicerades ˚ ar 1990 av Don Zagier, i ett f¨ ors¨ ok att sammanfatta detta omfattande bevis i endast en mening.

1.3 De f¨ orsta 30 positiva heltalen som en summa av tv˚ a kvadrater

Vilka tal kan skrivas som summan av tv˚ a kvadrater? L˚ at oss unders¨ oka Fer- mat theorem lite n¨ armare och se om vi kan besvara fr˚ agan. Vi b¨ orjar med att unders¨ oka de f¨ orsta 30 positiva heltalen. Vi ser d˚ a att talen 1 och 2 kan skrivas som summan av tv˚ a kvadrater eftersom 1 = 1

+ 0

och 2 = 1

+ 1

. Talet 3 d¨ aremot saknar m¨ ojlighet att skrivas som summan av tv˚ a kvadrater.

Vi sammanst¨ aller en tabell ¨ over de 30 f¨ orsta positiva heltalen f¨ or att se om det ¨ ar m¨ ojligt att finna ett m¨ onster som beskriver vilka tal som kan skrivas som summan av tv˚ a kvadrater, se tabell 1.

F¨ or att g¨ ora processen mer ¨ oversk˚ adlig delar vi in alla heltal n i fyra grupper.

Dessa ¨ ar heltal som kan skrivas p˚ a formen 4n, 4n + 1, 4n + 2 eller 4n + 3. Det vill s¨ aga n¨ ar ett heltal n delas med 4 f˚ ar vi resten 0, 1, 2 eller 3. Samtliga primtal ligger i grupperna 4n + 1 och 4n + 3, med undantag f¨ or primtalet 2 som skrivs p˚ a formen 4n + 2. Denna indelning av n kommer vi att arbeta med i senare kapitel, d˚ a kvadrattal och deras summor behandlas. I tabellen nedan kan vi se vilken form de 30 f¨ orsta positiva heltalen skrivs p˚ a.

4

Kline (1990), s. 609.

5

Zagier (1990), s. 144; Kline (1990), s. 609.

Tabell 1: Detta ¨ ar en tabell ¨ over de f¨ orsta 30 positiva heltalen n med angiven form och skrivna som en summa av tv˚ a kvadrater, om m¨ ojligt.

De f¨ orsta 30 positiva heltalen

n Kvadrater Form n Kvadrater Form 1 1

+ 0

4n + 1 16 4

+ 0

4n 2 1

+ 1

4n + 2 17 4

+ 1

4n + 1

3 - 4n + 3 18 3

+ 3

4n + 2

4 2

+ 0

4n 19 - 4n + 3

5 2

+ 1

4n + 1 20 4

+ 2

4n

6 - 4n + 2 21 - 4n + 1

7 - 4n + 3 22 - 4n + 2

8 2

+ 2

4n 23 - 4n + 3

9 3

+ 0

4n + 1 24 - 4n

10 3

+ 1

4n + 2 25 4

+ 3

4n + 1

11 - 4n + 3 26 5

+ 1

4n + 2

12 - 4n 27 - 4n + 3

13 3

+ 2

4n + 1 28 - 4n

14 - 4n + 2 29 5

+ 2

4n + 1

15 - 4n + 3 30 - 4n + 2

I tabell 1 ser vi att ett samband verkar existera mellan heltalets form och dess ben¨ agenhet att kunna skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater. Exem- pelvis ser vi att heltal p˚ a formen 4n + 3 i samtliga fall inte kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater. Vi skapar en hypotes: Inga heltal p˚ a formen 4n + 3 kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater.

Vi ser ¨ aven att de heltal i tabellen som skrivs p˚ a formen 4n + 1 ofta verkar kunna skrivas som summan av tv˚ a kvadrater. Av de 30 f¨ orsta positiva heltalen som vi har med i tabell 1 ser vi att 1, 5, 9 ,13, 17, 25 och 29 kan skrivas som summan av tv˚ a kvadrater. D¨ aremot kan talet 21 inte det. Vi fr˚ agar oss vad det kan bero p˚ a. I tabellen ser vi att m˚ anga av talen p˚ a formen 4n + 1 ¨ ar primtal.

Talet 21 som inte kan skrivas som summan av tv˚ a kvadrater ¨ ar dock inte det.

Baserat p˚ a detta formulerar vi en andra hypotes: Alla primtal p˚ a formen 4n + 1 kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater. Dessa tv˚ a hypoteser kommer vi att testa i n¨ asta kapitel. Vi kommer dessutom att unders¨ oka huruvida ett samband existerar mellan ¨ ovriga naturliga tal och tal som skrivs som summan av tv˚ a kvadrater.

2 Primtal som summan av tv˚ a kvadrater

F¨ oljande kapitel kommer att behandla de bevis som redog¨ or f¨ or primtalens ben¨ agenhet att kunna skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater. D¨ armed kom- mer vi att s¨ oka svar p˚ a v˚ ara tv˚ a hypoteser fr˚ an f¨ oreg˚ aende kapitel, vilka behandlas i respektive delkapitel.

2.1 Primtal p˚ a formen 4n+1

Vi b¨ orjar med att unders¨ oka primtalen p˚ a formen 4n + 1. L˚ at p vara ett primtal p˚ a formen 4n + 1 och bilda m¨ angden S av taltrippler (x, y, z) i N

s˚ adana att x

+ 4yz = p. D˚ a kan vi f¨ orst konstatera att v˚ ar m¨ angd S inte ¨ ar tom eftersom taltripplerna (1, n, 1) och (1, 1, n) ger p = 4n + 1 och d¨ armed ing˚ ar i S. Vi kan ¨ aven unders¨ oka n˚ agra exempel p˚ a fler taltrippler som ligger i m¨ angden S.

p = 5 x

+ 4yz = 5

(4 · 1 + 1) S = {(1, 1, 1)}

p = 13 x

+ 4yz = 13

(4 · 3 + 1) S = {(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)}

p = 17 x

+ 4yz = 17

(4 · 4 + 1) S = {(1, 1, 4), (1, 4, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (1, 2, 2)}

p = 29 x

+ 4yz = 29

(4 · 7 + 1) S = {(1, 1, 7), (1, 7, 1), (3, 5, 1), (3, 1, 5), (5, 1, 1)}

Utr¨ akningarna ovan visar en intressant faktor. Vi ser n¨ amligen att m¨ angderna

i S alltid best˚ ar av ett udda antar taltrippler. Primtalet 5 kan bara skrivas p˚ a

ett s¨ att och har allts˚ a endast taltripplen (1, 1, 1). Primtalet 13 kan skrivas p˚ a tre olika s¨ att med taltripplerna (1, 1, 3), (1, 3, 1) och (3, 1, 1). Om s˚ a ¨ ar fallet att S alltid best˚ ar av udda taltrippler, ¨ ar detta en faktor av stor relevans f¨ or v˚ art bevis. L˚ at oss d¨ arf¨ or g˚ a vidare med v˚ ara ber¨ akningar f¨ or att se om vi kan visa att S inneh˚ aller ett udda antal taltrippler.

N¨ asta steg ¨ ar att dela in N i tre klasser I, II och III, d¨ ar x avgr¨ ansas av y − z och 2y. Vi ser d˚ a att x 6= y − z, eftersom x = y − z ger x

+ 4yz = (y −z)

+4yz = y

+z

−2yz +4yz = y

+z

+2yz = (y +z)

6= p, eftersom ett primtal aldrig kan skrivas som ett kvadrattal. Vi ser ¨ aven att x 6= 2y eftersom x = 2y ger x

+ 4yz = 4y

+ 4yz = 4y(y + 4z) 6= p, eftersom ett primtal inte kan vara en multipel av fyra. Vi har d¨ armed utnyttjat egenskaper hos ett primtal f¨ or att dra slutsatser om m¨ angden S.

Vi kan ¨ aven se att inget av talen x, y, z kan vara lika med noll. Att x = 0 ger x

+ 4yz = 0 + 4yz = 4yz 6= p, eftersom ett primtal inte kan vara en multipel av fyra. Likas˚ a ger (y, z) = (0, 0) ist¨ allet att x

+ 4yz = x

+ 0 6= p, eftersom ett primtal aldrig inte kan skrivas som ett kvadrattal. ˚ Aterigen har vi anv¨ ant oss av primtalens egenskaper f¨ or att dra slutsatser om m¨ angden S.

Nu ˚ aterv¨ ander vi till v˚ ar m¨ angd S = {(x, y, z) ∈ N

: x

+ 4yz = p}. Ef- tersom alla tal i S ¨ ar ≤ p kan vi ¨ aven konstatera att m¨ angden S ¨ ar ¨ andlig.

L˚ at sedan (x, y, z) avbildas enligt:

(x, y, z) 7→



 

 

(x + 2z, z, y − x − z) om x < y − z (2y − x, y, x − y + z) om y − z < x < 2y (x − 2y, x − y + z, y) om x > 2y

d¨ ar villkoren representerar klasserna I, II och III. D˚ a ¨ ar Im(S) ⊂ S, det vill s¨ aga bilden av S ¨ ar d˚ a en delm¨ angd av S. Nedanst˚ aende ber¨ akningar visar detta.

Klass I : (x+2z)

+4z(y−x−z) = x

+ _ 4xz+ ^{ }



4z 

+4zy− _ 4zx− ^{ }



4z 

= x

+4yz = p Klass II : (2y−x)

+4y(x−y+z) =



4y 

−

 4xy+x  

+

 4yx−  



4y 

+4yz = x

+4yz = p Klass III : (x−2y

)+4y(x−y+z) = x

−

 4yx+  



4y 

+

 4yx−  



4y 

+4yz = x

+4yz = p

N¨ asta steg ¨ ar att unders¨ oka vad som h¨ ander med v˚ ara klasser d˚ a funktionen appliceras. L˚ at exempelvis (x, y, z) representera en upps¨ attning taltrippler som uppfyller villkoret x < y − z. Taltripplen befinner sig d¨ armed per defini- tion i klass I. Appliceras funktionen f˚ ar vi (x + 2z, z, y − x − z) vilket ligger i klass III, det vill s¨ aga d¨ ar alla x > 2y. Vi ser n¨ amligen att x = x + 2z

¨ ar st¨ orre ¨ an 2y = 2z. P˚ a samma s¨ att d˚ a vi l˚ ater (x, y, z) representera en upps¨ attning taltrippler som uppfyller villkoret x > 2y f¨ or alla tal i klass III kan vi se att dessa avbildas p˚ a klass I. Appliceras funktionen f˚ ar vi n¨ amligen x − 2y, x − y + z, y, vilket ligger i klass I, d¨ ar alla x < y − z. Detta ef- tersom vi ser att x = x − 2y vilket ¨ ar mindre ¨ an y − z som i detta fall ¨ ar (x − y + z) − y = x − 2y + z. Allts˚ a ser vi att klass I avbildas p˚ a klass III och klass III avbildas p˚ a klass I av funktionen.

Unders¨ oks klass II p˚ a samma s¨ att st¨ oter vi p˚ a en intressant variation. L˚ at (x, y, z) representera en upps¨ attning taltrippler som uppfyller vilkoret y −z <

x < 2y. Taltripplen befinner sig d¨ armed per definition i klass II. Appliceras funktionen ger detta (2y − x, y, x − y + z), vilket ¨ aven det ligger i klass II. Vi ser n¨ amligen att y − z = y − (x − y + z) = 2y − x − z ¨ ar mindre ¨ an x = 2y − x.

Dessutom ser vi att x ¨ ar mindre ¨ an 2y. Alla tal i klass II avbildas d¨ armed p˚ a sig sj¨ alv efter att funktionen appliceras. Figuren nedan visar slutsatserna vi hittills har dragit.



 

 

I − → III II − → II III − → I

Nu st¨ aller vi oss fr˚ agan; vad h¨ ander d˚ a funktionen appliceras ytterligare en

g˚ ang? ˚ Aterupprepas processen p˚ a avbildningen av klass I (x+2z, z, y −x−z),

som vi tidigare konstaterat ligger i klass III, f˚ ar vi ˚ aterigen (x, y, z), vilka vi

vet uppfyller villkoret x < y −z. Vi ¨ ar allts˚ a tillbaka i klass I efter att funktio-

nen appliceras tv˚ a g˚ anger p˚ a taltripplerna (x, y, z) placerade i klass I. Mot-

svarande sker d˚ a funktionen appliceras ytterligare en g˚ ang p˚ a avbildningen

av klass III (x − 2y, x − y + z, y), vilken ligger i klass I. Dess avbildning bildar

(x, y, z), och vi ¨ ar tillbaka i klass III. Klass II vet vi avbildas p˚ a sig sj¨ alv redan

efter ett steg. Appliceras funktionen igen p˚ a avbildningen (2y −x, y, x−y +z)

f˚ ar vi ¨ aven h¨ ar (x, y, z), vilken ligger i klass II. Ber¨ akningarna nedan visar

samtliga steg f¨ or klassernas avbildningar.

I : (x, y, z) − → (x+2z, z, y−x−z) − → (x+ _ 2z−  _ 2z,  _ x+ _ 2z− 

z+y− _ x−

z, z) = (x, y, z)

II : (x, y, z) − → (2y−x, y, x−y+z) − → (2y−2y+x, y, 2y− _ x−

 y+ _ x−

 y+z) = (x, y, z) III : (x, y, z) − → (x−2y, x−y+z, y) − → (x−2y+2y, y, _ x−

 y+z− _ x+2y−

 y) = (x, y, z)

Vi har nu visat att varje element i S avbildas p˚ a sig sj¨ alv d˚ a funktionen appliceras tv˚ a g˚ anger. Figuren nedan visar avbildningarna av funktionen.



 

 

I − → III − → I II − → II − → II III − → I − → III

Det har blivit dags att inf¨ ora en definition. En funktion som avbildar varje element p˚ a sig sj¨ alv efter att funktionen upprepas tv˚ a g˚ anger kallas f¨ or en involution. Klasserna f¨ or v˚ ar ekvation avbildas p˚ a sig sj¨ alva efter tv˚ a steg.

Klass I avbildas p˚ a klass III och klass III avbildas p˚ a klass I. Klass II stannar alltid i samma m¨ angd d˚ a den avbildas p˚ a sig sj¨ alv redan efter ett steg. V˚ ara tidigare ber¨ akningar visar att villkoren f¨ or en involution g¨ aller. Detta kan

¨ aven uttryckas som f (a) = b och f (f (a)) = a av vilket f¨ oljer att f (b) = a.

V˚ ar funktion kan vi d¨ armed konstatera ¨ ar en involution.

Antag ocks˚ a att v˚ ar funktion har en fixpunkt. En fixpunkt ¨ ar en punkt som alltid avbildas p˚ a sig sj¨ alv av en funktion, s˚ adan att f (a) = a. En fixpunkt i v˚ ar ekvation m˚ aste d¨ armed finnas i m¨ angd II, eftersom detta ¨ ar det enda st¨ allet d¨ ar f (a) = a kan vara m¨ ojligt. Vi unders¨ oker om det st¨ ammer att (x, y, z) − → (2y − x, y, x − y + z) = (x, y, z) genom att st¨alla upp ekvationen elementvis.



 

 

x = 2y − x ⇒ 2x = 2y ⇒ x = y y = y

z = x − y + z ⇒ z = y − y + z ⇒ z = z

Vi ser direkt att y = y. Det framg˚ ar ¨ aven att x = y, av vilket f¨ oljer at z = z.

Allts˚ a vet vi att alla punkter av typen (x, x, z) ¨ ar fix.

Villkoret x

+ 4yz = p kan som en f¨ oljd av ovanst˚ aende slutsats skrivas som

x

+ 4xz = p ⇒ x(1 + 4z) = p. Fr˚ an detta kan vi l¨ osa ut endast ett m¨ ojligt

v¨ arde p˚ a x. Vi vet n¨ amligen att p ¨ ar nollskild, allts˚ a kan x inte vara 0. Dess- utom vet vi att p ¨ ar ett primtal, vilket betyder att p endast ¨ ar delbart med sig sj¨ alv och med talet 1. Eftersom alla tal i S ¨ ar ≤ p f˚ ar vi att x = 1.

Av x = 1 f¨ oljer att y = 1 eftersom y = x. Kvar av v˚ art villkor har vi dess- utom 1 · (1 + 4z) = p ⇒ (4z + 1) = p. Detta ¨ ar d˚ a skrivet p˚ a samma form som primtal av formen 4n + 1. Allts˚ a ¨ ar z = n. Av detta ser vi att v˚ ar funktion har exakt en fixpunkt i (1, 1, n).

Eftersom funktionen ¨ ar en involution kommer samtliga element, som tidigare n¨ amnts, att avbildas p˚ a sig sj¨ alv efter tv˚ a steg. Detta skrivs f (f (a)) = a. D˚ a f (a) = b och f (b) = f (f (a)) = a kan varje element i S s¨ agas byta plats med ett annat element i S, f¨ or att sedan byta tillbaka till sin ursprungsplats. En involution som inte inneh˚ aller n˚ agon fixpunkt skulle d¨ armed n¨ odv¨ andigtvis vara definierad p˚ a en m¨ angd med ett j¨ amnt antal element. Eftersom vi precis har visat att S inneh˚ aller exakt en fixpunkt medf¨ or detta att S har ett udda antal element, eftersom 1 ¨ ar ett udda tal. D¨ armed vet vi att S inneh˚ aller ett udda antal taltrippler. Vi har d¨ armed visat det v˚ ara inledande exempel antydde i b¨ orjan av detta kapitel. Kan vi nu anv¨ anda denna information att S inneh˚ aller ett udda antal element till n˚ agot mer konkret?

Vi vet nu att S ¨ ar en involution med exakt en fixpunkt och att S d¨ armed ¨ ar udda eftersom en fixpunkt medf¨ or ett udda antal taltrippler i m¨ angden. L˚ at oss nu bilda en ny funktion F p˚ a S : (x, y, z) 7→ (x, z, y). Detta ser vi ¨ ar en in- volution eftersom (x, y, z) 7→ (x, z, y) 7→ (x, y, z). Eftersom vi vet att S dess- utom inneh˚ aller ett udda antal element m˚ aste F i enlighet med resonemanget ovan inneh˚ alla minst en fixpunkt. Vi kallar den f¨ or (a, b, c). F¨ or denna g¨ aller att (a, b, c) 7→ (a, c, b) = (a, b, c). Allts˚ a ¨ ar b = c. Villkoret x

+ 4yz = p kan i detta s¨ arskilda fall d˚ a skrivas a

+ 4b

= p eller som summan av tv˚ a kvadra- ter a

+ (2b)

= p. Eftersom ekvationen ¨ ar udda g¨ aller detta f¨ or samtliga p.

Vi har nu visat att p, och d¨ armed alla tal p˚ a formen 4n+1, kan skrivas som en

summa av tv˚ a kvadrater. 

2.2 Primtal p˚ a formen 4n+3

Vi har nu visat att alla primtal p˚ a formen 4n + 1 kan skrivas som en summa

av tv˚ a kvadrater. Men hur ¨ ar det med primtalen p˚ a formen 4n + 3? I tabell

1 s˚ ag vi att heltal p˚ a formen 4n + 3 tenderade att inte kunna skrivas som

summan av tv˚ a kvadrater. L˚ at oss unders¨ oka om detta st¨ ammer.

Det f¨ orsta vi beh¨ over g¨ ora ¨ ar att unders¨ oka resterna d˚ a ett kvadrattal di- videras med fyra. Vi utg˚ ar med andra ord fr˚ an fyra grupper av heltal p˚ a formerna 4n, 4n + 1, 4n + 2 och 4n + 3.

4n (4n)

+ 0 = 4[ ] + 0

4n + 1 (4n + 1)

= 16n

+ 8n + 1 = 4[ ] + 1 4n + 2 (4n + 2)

= 16n

+ 16n + 4 = 4[ ] + 0

4n + 3 (4n + 3)

= 16n

+ 24n + 9 = 16n

+ 24n + 8 + 1 = 4[ ] + 1 Utr¨ akningarna visar att de enda m¨ ojliga resterna av kvadrattal vid division med fyra ¨ ar 0 eller 1. Summan av tv˚ a av dessa rester, exempelvis 0 + 1 kan bilda talen 0, 1 eller 2. De kan dock aldrig bli 3, eftersom 1 + 1 = 2 ¨ ar det h¨ ogsta m¨ ojliga talet. Detta st¨ ammer ¨ overens med v˚ ar inledande hypotes och vi har d¨ armed visat att primtal p˚ a formen 4n + 3 aldrig kan skrivas som

summan av tv˚ a kvadrater.



En viktig anm¨ arkning ¨ ar att detta bevis till skillnad fr˚ an beviset om primtal p˚ a formen 4n + 1 aldrig kr¨ avde anv¨ andning av primtals egenskaper f¨ or att bevisas. Allts˚ a g¨ aller detta bevis inte bara f¨ or primtalen, utan f¨ or samtliga tal som kan skrivas p˚ a formen 4n + 3. Vi har d¨ armed visat att v˚ ar hypotes fr˚ an inledningen, att alla heltal p˚ a formen 4n + 3 kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater ¨ ar sann.

3 Sammansatta tal som summan av tv˚ a kvadrater

Vi har nu tittat n¨ armare p˚ a vilka primtal som kan skrivas som summan av tv˚ a kvadrater. F¨ or att f˚ a en bild av samtliga godtyckliga naturliga heltal som kvadrattal beh¨ over vi ¨ aven inkludera de sammansatta talen. Vi tar hj¨ alp av n˚ agra satser f¨ or att f˚ a klarhet i saken.

3.1 Tillr¨ ackliga villkor

I tabell 1 i uppsatsens inledning kan vi se att talet 1 kan skrivas som en summa av 1

+ 0

. Talet 2 ¨ ar p˚ a samma s¨ att summan av 1

+ 1

. Talet 3 har vi precis visat ¨ ar ett tal p˚ a formen 4n + 3 och kan d¨ armed aldrig skrivas som

6

Lindahl (2002), s. 52.

en summa av tv˚ a kvadrater. Men hur ¨ ar det med produkten av talet 1 och 2, vilka vi vet kan skrivas som summan av tv˚ a kvadrater? L˚ at oss r¨ akna p˚ a saken. Vi testar ¨ aven att multiplicera tv˚ a andra k¨ anda kvadrattal, n¨ amligen talet 4 med talet 5.

1 · 2 = (1

+ 1

) · (0

+ 1

) = (0 + 1) + (1 + 0) = 2 4 · 5 = (2

+ 0

) · (2

+ 1

) = (16 + 0) + (4 + 0) = 20

Produkten av v˚ ara k¨ anda kvadrattal bildar talen 2 och 20, vilka vi fr˚ an tabell 1 k¨ anner igen som tal som kan skriva som summan av tv˚ a kvadrater. Vi drar slutsatsen att om tv˚ a tal skrivas som summan av tv˚ a kvadrater, verkar ¨ aven deras produkt kunna det. L˚ at oss betrakta det generella fallet. L˚ at m = a

+b

och n = c

+ d

. D˚ a ¨ ar m · n = (a

+ b

) · (c

+ b

) = (ac + bd)

+ (ad − cb)

vilket ¨ ar en summa av tv˚ a kvadrater. Allts˚ a har vi nu visat att produkten av tv˚ a tal som kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater ¨ aven den alltid kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater. L˚ at oss demonstrera detta med ett r¨ akneexempel. Talet 234 kan exempelvis skrivas som produkten av 2 · 3

· 13.

Vi f˚ ar d˚ a att:

2 · 3

· 13 = (1

+ 1

) · (3

+ 0

) · (2

+ 3

) = 3

((1

+ 1

) · (3

+ 0

) =

3

((1 · 2 + 1 · 3)

+ (1 · 3 − 1 · 2)

) = 3

(5

+ 1

) = (3 · 5)

+ (3 · 1)

= 15

+ 3

N¨ asta sats vi beh¨ over visa ¨ ar att om n ¨ ar en summa av tv˚ a kvadrater s˚ a

¨

ar nx

ocks˚ a en summa av tv˚ a kvadrater. Vi ser n¨ amligen att n = a

+ b

ger nx

= (xa)

+ (xb)

. Detsamma g¨ aller f¨ or alla x med en j¨ amn exponent, eftersom j¨ amna exponenter ¨ ar kvadrater av en kvadrat. Detta g¨ aller samtliga tal x, ¨ aven tal p˚ a formen 4n + 3, som vi tidigare visat aldrig kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater.

En f¨ orsta slutsats vi kan dra av ovanst˚ aende satser ¨ ar att ett naturligt tal N

¨ ar en summa av tv˚ a kvadrater om eventuella primfaktorer av formen 4n + 3 f¨ orekommer med j¨ amn exponent i primtalsframst¨ allningen av N .

3.2 N¨ odv¨ andiga villkor

Det som ˚ aterst˚ ar att visa ¨ ar att det endast ¨ ar dessa tal som kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater. Detta bygger p˚ a hj¨ alpsatsen att om p = 4n+3 ¨ ar ett primtal som delar n = a

+b

s˚ a kommer ¨ aven p

att dela n. Vi vill nu visa

7

Martin Aigner (2010), s. 23.

att p delar a och att p delar b, n¨ amligen p | a och p | b vilket medf¨ or resultatet.

Antag att p - a, vilket inneb¨ar att st¨orsta gemensamma delaren SGD(a, p) = 1. D˚ a finns heltal m

och n

s˚ adana att m

p + n

a = 1. Detta ¨ ar n¨ amligen en konsekvens av Euklides algoritm. Om p | a

+ b

s˚ a f¨ oljer att a

+ b

≡ 0 (mod p) och multiplikation med n

ger (n

a)

+ (n

b)

≡ 0 (mod p). Men m

p + n

a = 1 ger att n

a ≡ 1 (mod p). Allts˚ a har vi 1 + (n

b)

≡ 0 (mod p), vilket inneb¨ ar att det finns ett heltal (n

b)

, l˚ at oss kalla det f¨ or c, s˚ adant att c

+ 1 ≡ 0 (mod p). Detta ¨ ar dock om¨ ojligt om p ¨ ar ett primtal p˚ a formen 4n + 3.

V˚ ar andra slutsats blir d¨ armed att p | a. P˚ a samma s¨ att kan vi ¨ aven visa att p | b. Allts˚ a har vi visat att precis de sammansatta tal som antingen inte in- neh˚ aller n˚ agot primtal p˚ a formen 4n+3, eller de tal som inneh˚ aller primfakto- rer med j¨ amn potens p˚ a formen 4n+3, som kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater. Vi har d¨ armed best¨ amt samtliga tal som kan skrivas som summan

av tv˚ a kvadrater. 

4 Vidareutvecklingar

4.1 Summan av tre kvadrater

Liksom Pythagor´ eerna intresserade sig f¨ or kvadrattal och triangeltal p˚ a fler former ¨ an tv˚ a kvadrater, kan det ¨ aven f¨ or denna uppsats vara intressant att g˚ a in p˚ a summor av fler ¨ an tv˚ a kvadrater. Som n¨ amnts i inledningen kan vi med Lagranges teorem visa att samtliga naturliga tal kan skrivas som en summa av fyra kvadrater. Men hur ¨ ar det med summan av tre kvadrater?

Vi kommer kort att g˚ a in p˚ a delar av beviset f¨ or tal som kan skrivas som en summa av tre kvadrater f¨ or att demonstrera likheten mellan detta och bevisen vi vi avhandlat ovan som ber¨ or summan av tv˚ a kvadrater.

F¨ or att utreda vilka heltal som kan skrivas som en summa av tre kvadrater b¨ orjar vi med att unders¨ oka resterna d˚ a ett kvadrattal divideras med ˚ atta.

8

Lindahl (2002), s. 38.

8n (8n)

= 8[ ] + 0

8n + 1 (8n + 1)

= 84n

+ 16n + 1 = 8[ ] + 1 8n + 2 (8n + 2)

= 84n

+ 32n + 4 = 8[ ] + 4 8n + 3 (8n + 3)

= 84n

+ 48n + 9 = 8[ ] + 1 8n + 4 (8n + 4)

= 84n

+ 64n + 16 = 8[ ] + 0 8n + 5 (8n + 5)

= 84n

+ 80n + 25 = 8[ ] + 1 8n + 6 (8n + 6)

= 84n

+ 96n + 36 = 8[ ] + 4 8n + 7 (8n + 7)

= 84n

+ 112n + 49 = 8[ ] + 1

Studeras dessa utr¨ akningar ser vi att resterna 0, 1 och 4 ¨ ar de enda m¨ ojliga utfallen. Vi unders¨ oker vilka tal vi har m¨ ojlighet att bilda av dessa rester genom att addera tre av dem. Vi ser att vi kan bilda talen 1, 2, 3, 4, 5 och 6 genom addition av tre av resterna fr˚ an kvadrattalen. Talet 7 ¨ ar inte m¨ ojligt att bilda med hj¨ alp av dessa rester. Se utr¨ akningarna nedan.

0 = 0 + 0 + 0 1 = 1 + 0 + 0 2 = 1 + 1 + 0 3 = 1 + 1 + 1 4 = 4 + 0 + 0 5 = 4 + 1 + 0 6 = 4 + 1 + 1 7 = ej m¨ ojlig

Vi har d¨ armed visat att inga tal p˚ a formen 8n + 7 kan skrivas som en summa av tre kvadrater. Vi kan vidare konstatera att om ett tal n som ¨ ar delbart med 4 ¨ ar en summa av tre kvadrater, g¨ aller detta ¨ aven f¨ or talet n/4. Vi visar detta genom att l˚ ata n = x

+ y

+ z

och antagandet att 4 delar n. D˚ a ¨ ar n j¨ amnt och vi f˚ ar tv˚ a m¨ ojliga fall.

Fall 1: Talen x, y och z ¨ ar j¨ amna. S¨ att x = 2a, y = 2b och z = 2c. Vi

f˚ ar d˚ a att n = (2x)

+ (2y)

+ (2z)

= 4x

+ 4y

+ 4z

. Av detta f¨ oljer att

n/4 = x

+ y

+ z

.

Fall 2: Tv˚ a av talen x, y och z ¨ ar udda. Antag att x = 2n + 1, y = 2p + 1 och z = 2q. Vi f˚ ar d˚ a att n = x

+ y

+ z

= (2m + 1)

+ (2p + 1)

+ (2q)

= 4m

+ 4m + 1 + 4p

+ 4p + 1 + 4q

= 4(m

+ m + p

+ p + q

) + 2. Detta tal kan inte vara delbart med 4, allts˚ a m˚ aste x,y och z vara j¨ amna. Av detta f¨ oljer att inget tal p˚ a formen 4

(8n + 7) ¨ ar en summa av tre kvadrater.  Vi ser att metoden f¨ or att bevisa att talen p˚ a formen 8n + 7 inte kan skrivas som en summa av tre kvadrater n¨ astan ¨ ar densamma som den vi anv¨ ande i f¨ oreg˚ aende kapitel f¨ or att bevisa att inga heltal p˚ a formen 4n + 3 kan skrivas som en summa av tv˚ a kvadrater. Resterande tal kan, det vill s¨ aga alla tal utom de tal som skrivs p˚ a formen 8n + 7 kan skrivas som summan av tre kvadrater. Beviset f¨ or detta kommer vi dock inte att g˚ a in n¨ armare p˚ a i denna uppsats. Liksom teoremen som r¨ or summan av tv˚ a eller fyra kvadrater myn- tades ¨ aven teoremet om tre kvadrater ursprungligen av Fermat. Densamme producerade ¨ aven ett ofullst¨ andigt bevis av teoremet, vilket ˚ ar 1801 kom att kompletteras av Legendre.

4.2 Vidare forskning och slutsats

I denna uppsats har vi djupdykt i ett par bevis som r¨ or kvadrater och de- ras summor. Vi har d¨ armed f˚ att en viss inblick i representation av tal som summor av kvadrater som ett matematiskt f¨ alt och inte minst dess plats i ett historiskt perspektiv. Det ¨ ar dock ¨ an idag ett omr˚ ade som f˚ angar m˚ anga moderna matematikers intresse.

Ett aktuellt omr˚ ade inom talteorin ¨ ar Warings problem som behandlar fram- st¨ allning av naturliga tal som en summa av kvadrater, tredjepotenser och fj¨ ardepotenser med flera. Waring p˚ astod utan bevis att varje heltal ¨ ar en summa av som mest 19 fj¨ ardepotenser. Han framlade ocks˚ a den mer generel- la hypotesen att det till varje heltal k finns ett heltal s(k) s˚ adant att varje heltal ¨ ar en summa av s(k) stycken k-potenser. Exempelvis ¨ ar s(2) = 4, s(3) = 9 och s(4) = 19. David Hilbert visade 1909 existensen av talen s(k) men det har bara hittats exakta v¨ arden p˚ a talen s(k) f¨ or ett f˚ atal v¨ arden p˚ a k. Exempelvis vet vi att s(5) = 37. Detta ¨ ar som resultat fortfarande ett aktivt forskningsomr˚ ade ¨ an idag.

Vi kan d¨ armed se att trots att kvadrattal och summor m˚ a ha varit en gren inom talteorin som blomstrade som mest under antiken och 1600-1700-talen,

9

Legendre (1797)

10

Kline (1990), s. 609; Lindahl (2002), s. 55.

s˚ a finns det ¨ an idag outforskade omr˚ aden som i framtiden kan f¨ orv¨ antas

producera sp¨ annande nya resultat.

Referenser

Kline, M. (1990), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 2, Oxford University Press.

Legendre, A.-M. (1797), Essai sur la th´ eorie des nombres, Paris.

Lindahl, L.-A. (2002), Lectures on Number Theory, Uppsala Universitet Ma- tematiska Institutionen.

Martin Aigner, G. M. (2010), Proofs from THE BOOK, Freie Universitat Berlin.

van der Waerden, B. L. (1963), Science awakening, New York.

Weil, A. (2006), Number Theory: An approach through history from Hammu- rapi to Legendre, Springer Science and Business Media.

Zagier, D. (1990), ‘A one-sentence proof that every prime p≡ 1 (mod 4) is a

sum of two squares’, The American Mathematical Monthly 97, 144.