Dissertatio mathematica de lineis curvis, ex datæ cujusdam tangentibus, oriundis. Quam approbante ampliss. ord. philos. Ups. publice examinandam proponunt mag. Jonas J. Brændström stip. Stiegl. et Carolus Tengborg stip. Vict. Vestrogothus. In audit. Gust.

, DISSERTATIO MATHEMATICA

DE

LINEIS CUR

_VIS,

EX DATiE

_CUJUSDAM

_TANGENTIBUS,

ORIUNDIS.

QJJ AM

APPKOBANTE AMPLISS. ORD. PH1LOS. UPS. PUBLICE EXAMUfÅNDAM PSOPONUKT

Mag.

_{JONAS J.}

_BRBENDSTRÖM

STIP. STIEGE.

ET x

CAROLUS

TÉNGBORG

STIP. YICT, YESTROGOTHUS.

IN ÅUDIT. _{GJJST. MAJ. DIE II MART. MDCCCiY.}

'

II.- A, M. S.

U P S A L I _Et TYPIS EDMANNIANIS

DE

LINEIS

_CÜRVTS,

EX DAT./E _{CUJUSDAM TANGENTIBUS,}

ORIUNDIS.

:S$^:

5. i.

Fost

ficiendam,

inventam

fummsc necesftatis

methodum

Fluxionum,

_problemata.,

varia,

_quas

ad Mathefn

_{nonnifi fpe-}

per-ci.is anrehac_{patuit foivendi aditus, generaliter foluta dedisfe Ma¬} li.ni,ificos, nemo efl _{quin jure profbcatur. Infer disquiftiones}

quas curvarum _{tangentes fpe<f,.nr, buud infimum tenebit iocum,}

qua examini fuhjiciantur_{cuivse, ea lege ex alia quadam}

curva derivatas,

ut abfcisfa _{sequali pofita ipfus dataecurvasabfcisfas vel ordinatas,}

or-dmata _{asqualis ff lineas cuidam ex datas curvas}

tangentibus pendenti.

Si cuiva data ad duos referatur axes fbi_{perpendiculares,}

ex

qua-cunquelinea Tangentiali quaftnor fuboriii posfunt curVas, quas

au-diant Curvx _{Subtangentium, Subnormnlium, Tangentium,}

Nörma-lium, _{prout ordinata} curvte invenleSdas eft curvae datae

Subtan-gens, Subnormalis, _{Tangens vel} Normalis. Conamen _igitur

quoddam juvenile tentaturis, harum curvarum mutuam relatio¬

nen!, & indolem _inprimis ipfius _{curvas derivatas, confiderandi}

principia, exhibere nobis animus fuit. Licet vero _{poft fummi}

Hominis _{analyfarum vigilias, quid lucis a nobis docfrinas curva¬}

rum accedat, _jure fufpicetur _{quisque, hoc tarnen eo fatius}

éo-nabimur, _{quod dignitatem materias, utpote, quantum nobis}

qui-nem conftat, _{integras, quid iplius opella; candori defciat,}

re-rompenfare fperemus.

Å _§*

z

$. II.

Sit _(Figg. I> II,

III,

IV)

aP

_curva

generalis algebraica

Tel tranfeendens, ad axern concava

vel

convexa,

cujus

coordina«

tx orthogonales

AM Sc

PM,

fi

hx

dicantur

x

Sc

y

refpedive,

X fundio abfeisfas x, Sc T

fuudip

ordiiwas

y\

exprimi

hxc

Ii-nea curva poted, _{aut per}

ssquationem

y =

A

-+~

fXdx,

aut per

sequationem x =

B +

fFdyprout

ordinata

expresfa

fit:

per

fundionenVabfcwfae, vel abfeisfa per

fuudronem

ördinatae;

qua; aquationes

funt algebraicse

Sc

curvam

exprimunt

algefraicam

„ quotiescunque

fXdx

vel

fTdy

abfolute habeanrur*

$. 'III.

Si _{[Fig. I.) asquatibne y =}

_A-f-

_fXdx,

_curva

propoflta aP

expresfa fit, ejusque

fumantur duxiones,

habetur

dyzrzXdx,

ex qua

dx i

=r. -—r Sc d ordinata denotetur per zy

obtinetur

requatio

urvairr Sübtangentfs xI7, cujus*

abfeisfa AM, & ordinata WM

aqualis

Sübtangentfs

M

T.

Si

vero tequationis _{x =}

B

-f-fTdy

curvam

propofitam

expri-dy t

nientis fumantur fluxiones, prodit dx =

Tdy,

&

_{dx 1}

un-de adhibendo alteram Subtangentis

formulam,

d

ordinata

iterum

/ _xdy\

_B-\~fTdy

dicatur z, provenit

aequatio

_%

[

1=

_,

ad

cur¬

vam fubtangentis _ct7lr

cujus

abfeisfa

Ay.

_,

Sc

ordinata

7Tja

aequa-Jüb Subtangenti

/xö..

•

Qjra-1 v

dy

Quoniäm vero ex asquatione prima ni — iss

X, habetur

dx

f _{xdy\ j< ,}

sequatio

z!

_\=

si

x>

ad

eurvam

Subtangentis

a,

IT,

cu-GlJQ i

9

jus

abfcisfa AM, &

ordinata

U.M

acqualis Subtangenti

//0;

&

dx

quum ex

asquatione

fecunda fit

~ =

T,

provenit

asquatio

.3

f ydx\ t

t i = Ty, ad _eurvam Subtangentis _ont, eujus

abfcisfa

V fy ß

Afiy «Sc ordinata 7Ffx

sequalis

Subtangenti MT.

Si cttrva data fit _{aigebraica, & ordinata per}

fundionem

abfeisfe vei vice verfa _{expresfa fit,} atque

refolutione asquationum

abfeisfam _{per fundionem ordinatae & vice}

_verfa

_exprimere

de-tur, _{quattuor curvae}

Subtangentium

_{ex quacunque}

aigebraica

data

obnneii _{posfunt. Si vero curva}

_data

_tranfcendens

fit,

_quo

cafii

fXdx vei jTdy integfari nequeunt,

duas

tantum curvas

confe-qui liceat, quarum una

tranfcendens,

altera

vero

aigebraica,

quan-<do X fundio efi aigebraica ipiius x,

vei T

ipfius

y.

A -4-_fXdx Quändo expresfio

-ordinatae

curvse Inventas ,

vei

B fTdu

-^—,

in

formam ordinatae P

■+•

fXdx vei Q

-f*

fT

dy,

curva datte redigi potefi, qui

femper erit

cafus

exiftente

curva data _{aigebraica; e}

_derivata

_quattuor

denuo

eodem modo

exhibe-P_+fXdx

_Q4-fTdy

_^

ri

_posfunt

_{curvas, zzzz ; ,3= ~ »}

_{3 zzz}

Xx,

X T

■K'

4 —

! ,

sr 2"*/, unde curvas Subtangentium iterum curvarum invenfa«

rum modo _{explicato nil vetat} confequi.

v

Ex Iiis _{generaliter dedudis asquationibus darum eft, duas}

priores curvas

Subtangentium

mutuam fervare convenientiam, &

duas _{pofieriores aiiam iterum flbi propriam> utramque vero}

Cha-racleriflicam,

Quoniam zdx trzxdy, <5c zdy zr ydx, & z in tertia &

quarta curva Subtangentis, fundio ert ipfius aut xaut y, eviden-tisfime patet inter areas has curvas derivatas & propofitae

conftau-tern esfe differential«, fen _{fzdx rr fxdy -4- 22, &fzdz ~ fijdx}

+ D; quas differenfia fi> ut vulgaris eff cafus, evanefcat, areas

didae flbi invicem _{ssquaies crunt; & fi curva propofita perfede}

quadrabilis fit, erunt hae duss ex illa derivatas abfolute

quadrabi-les. Ex bis faciiis _{deprehfcnditur methodus, ex quacunque cur¬}

va propofita _{algebraica duas, & propofita trarifcendente} unam

derivandi curväm, cujus area ad datam habeat rationem aut

as-qualitatis aut con(lantis differentias.

-Psopobita—ppnatur Faraböla Cubica fecunda, cujus requa»

~—3—

3 2 _]/adx _""""" ~—

tloij~yax*, Grit dy _— ,

& inde, fi fubtangens

cur-iVx

vas propofiac _ut ordin_afa confi _erafur eadein _manente abfcisfa _x

f _ydx"\

erit zz _{asquatio- ad eurvam}

_Subtangentis

Parabo-las Cubicae _{propofitae; qoum vero ex propofita aequatione x zz}

VT , , ,

3dyVy

/

xdy^J

, habetur dx zz — —, Szz (z ■■ zz f- if, asquatio ad

Va 2_Va

\

_dx

j

3

Jy

1

eurvam _{Subtangentis ajffcisfam habentis}

_propofitae

_ordinafac

, ambse cam«

lem; quje curvae Subtangentium ambse lineas exprimunt reda«

an-gulum datum cum axe facientes. Sic etiam habentur eeterse duae

f

xdy-x

3

f

ydx\

3yyy

z _{[ ~ -—A =f j/ax2}

,, Sc z = —=

\ dx J \ dij j 2|/a

dem _{exprimentes Parabolam Cubicam, prima ad axem}

conca-värn, altera eonvexam. Si liarum _{quadratura cum} data _comparetur,

quuni nulia opus eft conflantc addenda äquales inveniantur are«.

Sit AP Parabola _{Apollöliiana, cujus origo abfcisfarum m,} Am rrr i, Mm —PM zzzy, erit «quatio y = ya yx-f-1;

ya. dx f ydx quum dy m ,

habetur

, 2 _yx-f-1 . _z2 x -J- i se qua-d'j y2 •— a tio curvse _{Subtangentisj quum vero ex aequatione jczt * ,}

a

2ydy v. • ^ xdy

dx — -- , erit ad Subtangentis curvam xquatlo s ! =

!

a ' V dx _j

y2 a

= .

quarum illa lineam exprimft recram, cum axe angu-lum datum effickntemj h*c vero j>arabolam ad axem

conca-xdlj \ xy$

vam. Sic ethm haberur z zz:~-7— irr:-—' —, ad aliam

\

dx

2

Sujbtarigéntis curvam, cujus

abfcisfa

x Sc area fzdx r=r

xdx_ya , T~*

1 ——~ v a. yx-wi. x-a . . n.

. -f- C; correcrtone lniututa

po-2_{yx-y i 3}

nendo aream & abfcisfam xeodem momento evaät-fcentes, fit C zr:

J

2 _yciv s> r J Ya• VxH~"I .x— 2 4-,2t/a s r ,

5 & fzdx ~ v Y 1 y : Si aream fxdy

3 . 3

eurvre datte integratione

&

correftione

eamdem

provenire

facits

- / ydx

\ patet.

Ad

ultimam

vero

Su'btangeatis

curvam

habetur

~™~

J

ty*

—

—, ad

paräbolam

ad

«axem

convexhrn,}

heic

habetur

curvx

a

datas areafydx

iiißdu 2iß

J

•«-__— „q__ Q

£

ia

fundione

ordina-J a 3 a

tse _{y exprimatur; quum vero area}

evatiefcit, eft

y zzz

v«, ideo

2 _{ya 2} ..(w3_—■«

Vü)

que

C=—

*

Sc

fydx

=

jx .

Curvae

deri-2

/2

—

y* ay 2 y

_js?.

J

-4- C5 fed

fl 3.A

quoniam area

aequaÜs

«ft

quando

y

n

"J/ö,

habetur

C

■j/a 22/s -+-ct\/a

—.Sc fzdu

=3 • , unde darum

efl: inter

harum

cur-3 3«

varum areas, continuam de

conflantem

csfe

difFerentiam,

quajra

per ]/a indicare oporteat.

Qujeratur curva Subtangentls

Circuli cujus asquatio

y 33

• - "*• xdx

f

ydx^

a_4- j/fl* —x'2_{> quum}

dy

;=

habetur

z

Ya^-x2.

{i\/n*—m ^ ,■V ^

, aequatio curvse

Subtangentis

communem

cum

x

a—_y

.dy

data habentis abfeisfam x, Sc quoniam

dx

zzz

"

,

erit

s _{xdy\ 2ay—yz}

z[ — , »quatio cnrvar

Subrangeiitis Circttlf>

v dx / _a—y

cujus abfcisfa

»qjualis

e/1

cfrcuii

ordihatasv

Eodem möda

obti-/

xdy^

x*

f

ydx^

a —y.

Vy

netur z i — , I = ",&35S xT- 1— ~

-i

_ax)

V*--**

\

'yj

yyar-y

Conftrudionem fertig hanmi curvarum _{ope norm» mobilisr}

de-dit Neutonus in iua mefhodo- Fluxionum, _{ejusque aream ibidem}

Geometrice demon/lravit _{»qualeira eircuii, quod etiam ex no/lro}

calcuio, t3c antea didis fequitur*

Sr

_{prapo/Iüa Ht}

_{Tradoriacujus »quatio- dy—}

A

V

u

-Y

x dx- x f _{ydx \} ur "T — _, & z I = T~

\

= ä* S/a- - x-

V

y

₇ X

7\/rd

Z

—

xz

.

dx

r leu

r

quum

dij \f

_± _™

a2-—x

_:

1°" dv r1

Sfa*-xP'* x dx X'

/ _xd'y\

J5

^

_J

_rr

_^/aa

_

-yg,

g[ua

.aiquatio

ad.

circulum

mon-flrar aream circuli are» Tradori» esfe _»qualeni,

quod

_{etiam ex:}

aiiis _{principiis novimus.}

dx\Za—x

Sst_{Cyclois vulgaris, cujus »quatio dy}

—• , fl ab«

JC

dx

yx_

Icisf» a- vertice ntnnerentur,- data; _{quoniam —=} , erit

dy. <%/a-x

Evidens ert _{etiam, quoniam zdx r=}

ydy Sc zdy =xdxt. atque z fumrtio ert aut ipfius x aut y, _{quod, quando z funtrtio}

ilt _{quantitatis x, hoc cfl in prima curva Subnormalis,}

area cur¬

vse Subnormalis _{femper sequaiis fit dimidio}

quadrati ordinatse

curvse propofitse; _{& quando z fit fundio}

quantitatis y, ut in

curva Subnormalis _{fécunda, area curvse Subnormalis}

femper

se-qualis fit dimtdio quadrati abfeisfie curvse _{propofitse , atque has}

curvas _{femper esfe quadrabdes, etiamfi}

curva _propofita non esfet

quadrabilis; hinc igitur facilis deprehenditur methodus, ex

qua-cunque curva propofita algebraica _{duas, & propofita}

tranken-denti unam exhibendi _{curvam, quse femper quadrari}

potert. Id peculiare tarnen k prsebef,. quod, area curvse ex tranfcendente

darivatse _{quadrari nequeat ut area fpeclata, fed}

peragatur, fi

ea-dem area ut _{quadratum, fit confiderata,}

Quoniam _{recrtanguium ex curvse cujuscunque SuB}

fangentf

ydx xdy _ydy xdx

hus ——- _{& -7—,vel}

Subrrormalibus—-Sc-— sequale ert

recrtangu-dy dx dx- _{dy 1 0}

lo _{fupra coordinafas, clarum ert}

prodnda ex _{primse Sc fecundse,}

vel _{primae Sc}

tertias, vei fecundse Sc quarf_se Curvse Subtangéntis

vel

_{SuhnormdIs~ordTnatty~^ymit«---fieri^}

quoniarrp quodcnnque hoc: rectangulum sequabit rectangulo ex coordinalis curvse datse,

Sit cnrva data FaraBola _{Apolloniana sequatione}

y ~ x

dx\/a r

_ydy^\

_a

expresfar erit dy =—- 9 unde z\ — I—", _{sequatio ad}

2yX V dX y 2

y2

redarn axi fuo _{paralellanu Ex altera sepuatione}

x , erit

d

2_y~

dx==. _unde z —- =: * _{sequatio ad ParaBolam.}

«

K _fy

_I

_aa

xdx\ 2Xl/.X

/ xax<

Cubicam _{primam, Eodem modo habetur z}

₍

_zz

V dy' Va

(

ydy

\

ad _{parabolam Cubicam Secundam asquatio, & z}

—J=

a*

ad redarn axi fuo

_paraleilam.

cly ci oc ~t ' * *

Propqnatur. _{dy zzz v ad Cycloidem aequatio}}

qu©-Vx

triam habetur z

f=

_,

j/x

^

dx

J

\/x Vx

quas asquatio {I per dx multiplicetur provenit zdx zzz

dxVa—x _{fi/a~xdx ... r ,}

. i v ex cujus mtegratione patet aream Jzdx

yx J yx

12

deflgnatam esfe

per triangulum

redanguium

yx

sequicrurum , cruribus Ordinate curva; datas aequalibus, quamvis

curva inventa non efl quadrabÜjs, _{ut, in} fimiii cafu fieri, _genera

liter antea inlimine paragraphi _{monitum ed.}

«. v.

Sit _[Fig.

_III.)

_aequatio

_generalis

_curvas

_datae

_{aP y —A}

-t-fXdx, erit

dy

zu

Xdx, &

ii

arcus curvas

datas defignetur

per r, habetur ejus iluxio ds

Qzn

ydx2 -+- dy2

)

zzzdx j/i -f- X*,

nnde fi ordinata curvas inveniendae denotetur per z, habetur

ae-yi ~4~X2.x. -4-fxdx t _ _ J ad curvatn Tan-X B 2 gen-quatio z

(—yJ£\

—

dy)

~

12

géntis afl, cujus

abfcisfa AM,

da

ordinata

IIM

asqudis Tan«

genti PT. Exprimat x =■

B -f-JTdy

curvnm

datam,

erit

dx

'= _{Tdy, Sa} ds (_™ ydx2 _-4-dy2 _zzi

dy\/i

_-j-T2 _{} atque}

exin-de adhibendo akcram _{Tangentis formiilam, fi iterum or»} dinata dicatur z, _{proveniet aequatio Z}

dx

_J

j/i.-t T .B -\-JTdy _^

cürVam _Tangentis exil

, cujus

abfcisfa

r

. •

Afx, cc ordinata tt/x

aequalis Tangent!

PÖ,

Quoniam ex _jcquatlone prima

dyzz

dx

\fi

_Hh

-X*2

>

habe«

/' ** ————— X? '

#

tur _{asquatio z}

|

_{= —}

j

_*4-

X2

ad

_curvam

Tangentis

^ ClX

J-/ r

ull, cujus

abfcisfa

AM Sa ordinata UM

«qualfs TangentiTtf,

«5c _{quoniam. ex aequatione}

_feeuuda.

_{efi ds}

_m

_dy

_%/1

₊

_T29pro.'

venrér~3eqtlätiö—ad curvam

Tangeotis

ty

&7I, cujus

abfcisfa A+t,

Sa

ordinata

7l(A aequalis Tangenti

PTr

Evidens bind efl _{quod, quando curva data Et algebraica^} omnes _{quattuor ex}

illa

_ortas

fiant aigebraicae, nifi

_proprer defe-Sum _{algebrae, y per x, Sa}

_vicisfim

_{x per} y exprimi nequeat. Si

vero data curva fit tranfeendenshoc efi quando X funclio fit

alge.braica, fed Xdx non i'ntegretur, una ex duabus quse

reful-tant, _{algebraica erit,} altera

tranfeendens,.

r\ j• • V1"4"

^

"4"

fXdx

.

Quoties ordinata inventa

J

_ vel

X

V1»f- ^ uy

^ formam (Jatae curvse P -f-fXdx vel

T

?

Q-f-fTdy fufcipere

poteft

:j eodem

modo

ex

derivata

quattuor

l/i 4- X2 .P-f-fXdx habentur curva; z zxl .< i_ >

/

X

* =1/1 ₊

r*-Q-+fr4y.

z=Vl+x*,z=tjs/i-i-r>.

T

Ponatur circulus, cujus sequatio y = Y2 ax ■—

xa,

erit

dy

a —x.dx adx

— ~~

, & ds Qzz 1/dx2

dy2*)~

,

unde

\/2ax-x2

Y2az~xi

z

(

^

^

=

**

^/~t7"V

*

,

arquatio

curvae

invenieudae;

ex

al-\ _{dy / a-*~-x}

tera vcro circuli sequatione _xzxl _a -f-

\/a2

~

y2

>

habetur

Ax

ydy ^ _ __

ady

^ / xds>k

I 6cds (z:\/dx--±-dy2)= ,

unde

z|

j

<%/«*•>—y*

S/a2

—

yx

\

dx

)

= a y Eodem modo habetur z

(=

»

*4

ax

\/2ax— .X'

J .cujus naturam Sc proprietatem, illuflratam

de-dit Saury Tom. IV _{p. 144, & 2} 2/fl.r

ay

^

dy

J

Ya''

ij/ö

Quonlam pro

Cycloide dyzzdx

~, ex

«jus

asquatione l/a? — ya habetur ds = ( Väx2-}- dy2 _~ ,dx Vx ya \ _{ay J} Va (\/a-x —*

jv

.

dx.

curvse

inveßigandse

asquatio;

alteram

ver©

-xJ fa

f xds\ —

adhibendo _Tangentis

_formulam

_erit

_~^7J

—

Ya

x

■>

ad

Para«

bolam _asquatio.

-Per _{QFig. IV)}

_generalem

_{curvas datas aP asquationem yzz}

Ä-\-fXdx, provenit dy zzzXdx, Sc ds Qzz fA/.r2 -4- dy2} rz:

ä?a*_{y'i 4-X2}

, unde, ii ordinata dicat.ur habetur asquatio

f _{yds\ —}

z

izz—^-

jzz

yi-\-

X2

t

AfXdx,

ad

curvam

Normalis

«II, _{cujus abfcisfa AM^ Sc ordinata ILM^asqualis Normali PN.}

Ex altera _{asquatione generali x zz B+/Tdy, .erit dx = Tdyt}

Sc ds_{[zz ydxz 4- dy2) zzdyYi-f-}

_T2

, unde, alteram

adhiben¬

do Normalis _{formulam, ii z iterum indicare ponatur}

_ordinatam,

ob-—

*5 —

( xds\ — ; ■ ..

obthietnr _xquatiöz\ —"7— ) — V1 4~ Tz.B -\-fTdy ad

cur-I

ty

' .

vam Normalis: _{art, cujus,}

abfcisfa

_{AyT & orainata ttu asqualis}

Normali Pv»

sequatio £

Quum. vero ex asquatione prima ds zzz dx \d14-XT prodit

(==

X'^

- _> ad cur vam Normalis a

11,,

\

dij)

X

l

cujus abfcisfa AM, & ordinafa ni£f aequali* Normali Pvy åC quoniam ex asquatione fécunda ds zxz dyY1 4- Tz ? habetur

as-/ _{yds\ y \/1 4- Tz ?}

quatio z

^

_C3:

_J

_{~ —■}

_ad

_curvani

_Normalis

_aiv

r ^

cujus abfcisfa Ay.y Sc crdinata. 7ry _{asqualis normali PN,}

\

Persptcuu?/t hinc elT, _{quod quando data}

ctrrva e/f

algehrar-ca, vel Xfuuciio cfl algcbraica? & fimul Xdx integrabilrs

cur-vas omnes ex data _{provenientes-cvudant algebraicse; fed fl data}

tranfcendens _{fit, vef quandofXdx iuveniri nequit,}

una ex. data

proveniens eld algebraica, altera tranfcendens^

Si _{expresflones: ordinatas inv entae \2l~f~*Xz}

,A +fXdx9.

vel _{V^Hb '2*} .B-Y-fTdy in formas P 4~fXdx, vel

Q-f-fPdy

trrnsiormari

_posfunt,

_{e eurvis inventis quattuor denuo curva:}

in-dagari qucunt, qnasum aequationes z _,P-\-[Xdx.r

'

& A

*=V« ₊

f*

■Q.-hJYdy,

z=xs/l

+

x\z

₌

y^1

-*-

r'

X r

Proposita ilt circuli aequatio y— J/2ax x7 , habetur.

^r-— " —' , unde z

f

j

= ß,

aquatio

ad retsam

V2cix-x2 x

dx

y

axi

_{paralellanij &}

radio ab

_axe

diftantem;

_quum

expresfa

_{.t per}

ady

11 eritds zn T HT, & aequatio ad curvam invenieudam

eva-V"2-v2

a*

dit z

I

— ) — - -p «. Eodem modo habentur ad y^2-?/2 yds \

Exds ^

— dy

j21

/" xds\ ax / reliquas aequationes 3

<3c3

^

_{^ i —}

qu« curvis

eruendis

CQmpetunf.

y

* • É -

gS^L, I"

' ■ / )/x

dx

Ex curva _cujus aequatio dy _{zz —,}

habemus

_{ds zz}

Va

, & aequatio curvae

inveAigandae

sf

zr: i ~

j/a \ /

V/«-f-*rVxdx f xdf\

/ .atqueperalteramNormalisforrnuJam3 zrr— ]

Va ' ya

1

r

\ v

dy)

=_{yax-b x*, aequatioiiem ad Hyperboiam sequilaterao)}

confe-qui liccat.

pRM-k

y

§. VII.

Prjeter eurvas Tias _prascipuas Tangentium, _{quas in}

antece-dentibus calculo

_quodammodo

_exponere'

_fiuduimus

_,

_alias

_etiam haud inferioris momenti curvas ex tangentibus pendentes, _quas

eodem modo _{invefiigare licebit, obiter indicare velimus.v}

Inter eas omnium primo _occurrunt illas, quaruirf

ordinat«

sequales ponantur

funimas vei

differentias

inte,r

abfcisfam

&

Sub-tangentem; quarumque

dua; id

infigne

proprietatis

habent,

utareae

äquales

dcprehendantur

retftangulo

fuper datas

curvie

coordinatas

*,

ceteras vero duas id proprietatis, ut areae aequales

fint

differen-tise inter areas ad concavam & convexam curvae dafse partes.

Deinde obveniunt ill» quarum ordinafae

asquales

ponantur

fummae vel differentia; inter abfcisfam & Subnormalem, e quibus

duas habeant areas _asquantes

dimidio quadrati ordinatas,

_{una cuin}

dimidio _quadrati

_{abfcisfas; duas}

_vero

_alias

_{areas asquantes}

diffcren-tiae inter eorondem _quadratorum

_dimidiav