Dissertatio mathematica de lineis curvis, e sectionibus conicis, per additionem vel subtractionem cosinus, derivatis. Quam approbante ampl. ord. phil. Ups. p. p. mag. Jonas J. Brändström ... et Carolus Samuelis Freder. von Zeipel Uplandi. In audit. Gustav

0? "

r~*~-.

DlSSEfcTATIO

MATHEÄIÅTICA,

DE

LINE1S CORVIS , E

SECTIONIBUS CONICIS, PER

ADDITLONEM VE I,

SURTRACTIONEM

COSINUS,

DER1VATIS. ■■ ®1®

QJJAM

APPROBANTE AMPL. ORD. PHIL. UPS.

p. P.

mag.

JONAS J.

BRÄNDSTRÖM

ASTRONOMIE DOCENS

ST3 P. PIP ER.

ET

CAROLUS SAMUELISFREDER,

ZE1PEL

UPLANDI.

IN AUDIT» GUSTAVIANO D, X DEC. MDCCCVIII.

H. C.

U.PSALUE

IN S-ACR-AM REGIA KI MAJESTATEM

MAGN'JE FIDEI VIRO

GK NEROS IS Sl MO LIBERO BARON I

Tif ,

1

AF

UPLANDORUM GUBERNATORI REI GE O DiETICiE DTRECTORI SUPREMO

REG. ORD. DE STELLA POLAR! CO M MENDATO Rf

MMC E N A TI MA X IM O!

SA C R LT m

Debui, Voloi

konungens trotjenabe

lieutenanten och brukspatron

välborne herr

samt dess fru

CHRIST.

JUL

vom

Z

El

PEL

FÖDD

%

I ER

VOGELj

Mine Huldaste Foråldrar!

Eder _{tillegnas dessa blad,}

_såsom

_ett,

_ehuru

ringa,

offer

for Edra _ouphorliga

_{omforger, evigt}

_dyrbara

for

Eder

Iydigste So*

©c I

EINEIS CUR VIS E _{SECTIQNTBUS CONICIS}

PER

4DDITI0NEM VEL SUBTRACTIONEM COSINUS

DERIVATIS,

.rf~^jx

quo Carte

Hus

Ålgetram In Geon\etria> non tantwn

vulgatiorem

fecerit,

verum etiam primus,

felicisfimo,

quem bucusque nemo

fufpicarus

erat, fuccesfu, illius' introduxerit

ufum; _{amplior patuit Änalyflis matte}

_fin

_{proinovendi aditcs,}

& innumerae ortse funt theoriam cuivarum comtemplandi fa-tiones. Non mirum _igitur , fi materiein Se<3;ionum

Conica-rum, qua rum latentes & exiinias propriefates, viri vere ma¬

gni, poft vigiiias mulfas, fatis fuperque eruisfe videantur# amplius. &, quantum nobis

quidtm

conftat, novo fere revo* candam _{opinamur confpe&u. Eaium,} quas lieic dare no¬ bis _{propofuimus curvas, e Sedione quadam Conica per -addi¬}

tionem vel fubtradionem Cofinus oriundas, ab Ellipfi deriva-tas ordiamur, eas _qusc Parabolam _& Hyperbolam fpcdant iti

1

T • • "

. y L _v

^Sit

_«■xis

ABDE Eüipfis,

«-cujus

Gentium

C

efl abfcisi;nmi7

■origo>

major AB zci^ minor B)Fl__ ib, .asquatio

coordina-tarunj reiatiönetn _{etfprimens, erit}

y = — — iv2 ,

denotan-'

a

te x abfeisfam & _{y ordinatam. Si.vjam}

flngulis ordinalis vei finubus FX _{Ellipfis audantur correfpondeiites cojfinus}

vei

ab-IcislcC CXzZ Fl , höva ctirva DGÉH generabi'ur, _cujus aeqqa«

•'

'b • ii—1

tio erit. z zzz— a2 _{—x2\ x-, quas fiånoi radicali reinotö}

,

hane_{fimpHcem fufeipit fon-nam; a2 (x —- z-)2 -f- b2.(x2—:a2)} ztz o: /Neminem _{fugit, 'hane lineani ciirvani fecundi}

esfe

ordi-% nisi',*8t quiciem Errpiln,* cfijns- pfoprietates, qiias"piurés & fin»

gulåres funr, - i _emqne datas cömmunes, _pro moduio 'virium fumus _expofi'uri.

§■»•

'

_

Sr _{ponamus x — o „ evadit z}

— + b, unde evidens efi

Ellipfin no va m per puncft D Si E, axis minoris exTema , fore

tranHruram. Ponamus deinde xzzz a erit z _{^ a> ^}

vero x _{portafur >} ~h_{ci. ordinata evadit imaginaria}

> exitide pa¬ rtet, fi in punclis A & B erigantur perpendiculares AG, BB\

' •

) 3

^ambae _{äquales axis majorisdimidio AC, curvam in pnr.clis G Sc H}

reverti vel retroire , ibique a perpendiculai ibus ipfis jfangi. Pun¬

da K_{åc.L, ,-ubi. cjurva nova\axem majorem ftcer, faddime} in-ab

veniuntur: _{pofito enim zzz. o, eiit ~ + ~~ =:}

\fa* -f_ bz •'

BC.CD •

Jundis pundis B & Dper redarn BD9

yBCq+

CDq

Sc duda a centro linea Cl, BD _{pérpendiculari, habetur ob}

fi-militudinem _{triangulorum BCD, CDI, BC: BD : ; Cl: CD,}

five, BC. CD zz BD . Cl; & quum BD zz \/BCq-\- CDq,

^7?D

TT

evadit x; zz. -f~ ~ z~h _ ' z:—f~C/.Si igitur

\/BCq -4- DCq BD

centro C, Sc radio _{tequali Cl, elefcribatur circulus, erunt}

pun-da interfedionis K Sc L cum _{axe, in Ellipfi noya, qua; ideo} per ipfa hxc punda tranfire debet. Hsec punda K Sc L, alio

etiam _{modo, Sc quidem expeditiori determinantur. Quoniam}

AC zz _{AG, erit ordinata refponderts pundo JU, ubi QG}

Ei-liplin fecat, asqualis abfcisfie fua; gotrefpondénti ; ordinata vero

puncto K

refpondens,

per genehm Eilipfis novas, etiam erit

fuae abfcisfe _{a?qualis'; in EÜipfi vero qualibet, d*uae ordinata; dari}

nequcunf, quas ambse, ad eamdem partem fumtse, fuis asquaies

fuiit- abfcislis ; quapropter ordinata; pundis M Sc K

refponden-tes coincidant necesfe eft, Sc fi a _{puncto M} demittatur

perpen-diculus _{MK, in pundum interfedionis K cadet, quod etiam} de altero _{puncto L valet.}

Per fubfidium ordinatarum ad _{punda M\ M' pertinentium} duo alia _{punda N, O, Eilipfis noftrae appofite habentur. Fiat} Tangens AP zz AB axi majori , Sc producatur ordinata KM>

usque dum occurrat jundä; iinesc CP, in _{pundo quodam} .

N,

■

} 4 I

quod pundunr in ipfa EJlipfl no va fitum erit quoniam - eninv

liabemus, AC: AP:: CK: KN, eft KA=z iCK; In hoc

ve-ro _{puncto efi CK = KM, ideoq.ueMAxxl CK. Quum jam ipfa}

genelis Eilipfis nofirse hoc idern requirit, ut fciiicet omnes

ordi-natarum _{partes , inter ambas curvas}

, abfcisfas correfpodenti

sequs-les finterit _{hoc punctum occurfus N in EUipfi jiova. Si' ea~} dem _{peragitur ad ordinatam ML eonArudio-, akeium &} corre-fponiens puudunr ocomfus Ohabetur.

Si _{inquiratur ubi cüiva nova diatam interfécer, duo iterunr}

habentur _{punda Q & R, per qua; curva tranfire debet. Quo»}

*iam in his _{pundis ordinatas a-d ambas Eilipfes äquales, funt^}

b ; b —

erit z zzzx -— \faz — x2 ~ y — ~\/a2— x2 , qua

a>-a a ^

2 ab

quatione. foluta> habetur x: en 4; ■ • — zr Al

. » \fa2 -+- 4 b2

'

ES . DE

r completo paralelloeramo AE. Jundis

vero-VESq DEq

D+&. S _{per Üneam redarn DS, & duda a pundo E linea}

ET, DS _{perpendiculari, habetur ob fimilitudinem frianguloruni}

DES & _{DET, ES: DS :: ET: DE, five ES. DE =}

DS. _{ET; &, quum DS— ^ESq DEq, evadit}

x m + ES. IDE „ rj.. ~ =r ±

DS -ET

_{— ± et,} \/ESq -f- DEq: \ DS

Fadta _{igitur abfeisfa CU asquali ET, erigatur ordinata}

QU, ad _quxfitum commune interfedionis pundum Q,

invenien-dumi Eodem modo habetur akerum _{pundum j?3 faciendo} abfeisfam CU' _{äqualem, eidem ET.}

) s

C

Jpfa cur va Ellipfis eft adeo

modo,

quem exhibuimus,

de-terminata _{puntåis D, N\ G, Q, K, jE, O, /f, i?, L, quae}

iuiit cardinaJia, _{ideoque circumfcrentiam}

_Ellipfis

_confiituunk

§. nr.

Quoniam AG ti1 Tangens curva?, in extremo

diametri

GH) Sc quidem CD parallella, crunt DE,

GH diametri

con-•

jugatte, quaruin illa zzz 2b, hsec vero ~ 2flj/'2j quare, cum

angulum temiretflum Sc

longitudo

Sc

pofitio

harum

dia¬

metrorum efi determiisata. Datis _jam Iiis duabus conjugatis

CD, CG, quas angulum obliquum DCGsr: q

confiituunt,

duaS

alias femidiametros _{conjugatas, angulum recfium}

comprehenden-tes, vel quod idem efls duas conjugatas

orthogonales,

_quae.

axes dicuntur,. reperire labor erit- Si harum axium

majo¬

ris dimidium vocetur A, minoris vero B, e theoria

curva-rrtra habemus A- -f-B2 — _CDq-jr CGq, Sc A.B=z

CD\CG,

CD . CG . Sin. q

Sin. q, quoniam asquat

fuperficiem

triangijli

CDG, fumma vero quadratorum binarum diametrorum

conjuga-tarum, öc_{quidem paraleliograma fuper easdem}

_defcripta,

femper

quantitates funt confiantes. Ex his erit, ii priori sequationi

addatur

pofleiior elupplicata, radicem fcilicet quadraticam

extrahendo;;

A -4- B —. ^CDq -{- 2CD_•CG. Sin. q -p CGqj

Sc fi a _priori fubtrahatur poAtrior dupplicata, ejusdem

radicis

ope habetur :

A —B rr: _{\fCDq — 2CD}

. CG . Sin. q -+- CGq

modo _{vulgari deinde, dimidio fummie addendo vel fubtrahendo}

dimidium differentias, obtinentur dimidia ambarum axium,, quae aimirum _fequuntur:

A z=. _^ VCD_{q -f- 2CD . CG Sin. q -f- CGq}

,

<+ iVCDq;

_-yCDXGSin.q

₊

_CGqr

JS zzz _{*5*\/CDq —J— zCD .CG, Sin. q —f— CGq}

—

^yCPq.-~ iCD.CG

.

Sm~qi~\~~CGq

— ;

^*15 I* '

Quoniam q angulus eA fenuredus, etit Sin. qz=z- , CD vero

% . JA)

V2

fcimus _b, & CG a\/2fTi igiiur Iii debiti v aiores fubAi-tuantur, novi & ultimi emergunt valöres axium A & _{i?, per} axes EUipfis datas _{a di b} expresli, fciiicet:

A — \ (o-H ^')2 ~+- ß2 •+ ^\/— &)2

+ ß2, & B = _{£ v^ßHh}

%

_{-f-«2 — IV «*—£)2 -bß2.}

Ex bis datis _{_vnjotibus„ iongitujo axium Gebmetrice etb}

m

deferminari

_poteÄ.

_{Gmnpleto pardeltogramo' AV,}

& jundis

GE & _GD, eiit [n -f

i)2r=

_{GS$r, & _(« — b)2'— E>Vq,} quare,

debitå^£ubAirunoneemergat

iiecesfe' eA

GJE-+- GD *»> . GE-—GZ)

A1— - ~ 7~* & J5' —tt—•

2

axium iterum fummi\ A -+• B.z=z GE, axium vero diAerentia

A — B— GD. ' ■

EA, ut fupra _{diximus, A.B = CD GG. Sin DCG\ A}

: . ■ * 't *. w '* "

valöres _{refpedivi a\f2, loco C£), CG, & 5/'«. OCG} V2

ponuntur, lvabemus A. B ^2 a.C,_^uiide paret _redangulum axium

novas _{Eilipfis, åsquaie esfe redangu'cf«-axium darrende}

quo etiun convincimur, valöres pro A & B _fupra inveatos _{multiplicando.}

tflfi K i . g. IV. _{• •}

Longitudine axium jun data, per

défcripfiQiiem

earum

geometricam, ipfv poAtio quidem habetur,'

fed/prséltet

tarnen in. quirere,

qualis-Jlt

rqrgulus-,' quem *axfswnova ,cum data faeere

debet. Ut. höc _{Aat, At ab} axis _{i$gjor, & cd axis minor5} pro-

du-'

) 7 C

. • -* Svi *i

ducatur axis_{major Ca, usqne dum occurrat}

_{Tangenti AG}

_produ¬

cta, in _puncto quodam m, &. ex G in Cm

demittatur

perpendiculus

Gh. V-ocetur _{angulusACh, quem invenire oportet}

_angulus

AC ~r_{p & angulus ACG~ GCD. zzzq.} Quoniam CmG_zzz

DCh

zzGCD- ' Chrr ACG_{-GChzzzq -p, enr}Sin.CmG_~Sin.

(q-p);

oc _{quum Sin. CG'm dbSin. AGC~} Sin

ACG

_— Sin. _q,

habe¬

tur in _{trianguio CGM, Sin. CmG : Sin. CGm —}

_{Sin. (q—p):}

CG. Sin,q

Sin q —:1 CG: Cm ss - —- —c-ft vero , e natura Ellipfis,

Sin _.{q—p)

_t*

Caq Caq .'Sin. (q-p)

Ch = ——, unde Chzzz1——— > ex. proprietate vero

Cm' CG. Sin._q.

trianguli CGh, tA i :Cofp —

CG

:

Chzzz

CG:

Caq. Sin.(q-p)

CG,. Sin. q. Si exirfde _Caq. Sin. (q —pj zzz CGq. Sin. q . Cof.p ; quum

vero Sin. (q _— pj

— Sin. q . Cof. p — Sin. p« C

of.

q,

ha-bemus, hoc valöre fubftituto, Caq. Sin. q. Cofp — Caq Sin. p . Cof q = CGq . Sin q . Cofp, & deinde

(Caq

sCGq ).

Sin. _{q . Cof.p zzz Caq . Sin. p.}

_Cof.

_q'..

_CIve,

_ope

divifo-Caq - CGq Sin. q Sin p

ris, _{Caq Cof.p. Cof} q, — &

ulti-Caq Loj q Loj.

p-Sin. q . Sin. p

nio valoribus, Tang.qzz: _{~ —,} Tang _{p zzz—p—,} in

fubfidium

Cof q Cof. p

vocatis, _{emergit Tang,} p

Caq —CGq Caq

. Tang. q. Eft vero

P' zzz GCh — ACh- ACG ~ y - q & Tang, p ~ Tang,(y-q)

Tang, y— Tang, q Caq—CGq ' '

= " = _p——

. Tang, q; Si hasc

Tolva-*—jL iang. y. Iang.q Laq

tur _{sequatio, modo vulgari elicifur; *}

(2Caq — CGq). Tang: q

Tang,y ~

Caq -f- (CGq-Caq), Tang3-, q.

, &, quoniam

8 _{

pra obfervavimus

Ca

zzz

A,

CG Tang. /7 = 1, habe»

mus ultimum reqaifitum _valorem:

A2—a2 _{(A a)}

. (A-f- ci)

Tang, y = — = — .

a2 a2

Sjmplicior vix ac ne vix quidem hic defideratur valör,

nifi,pr»

o^fu quodam ipecialij relatio in:er axes .a & i? fit data,

f

v-Ut fitus focorum _<pt <$ babeatur, obfervare fat erit, A & B dimidia axium denotantibus, e natura Eilipfis esfe C(p=

C(p'

—B* , &, v:ilocibus fnpra chitis,

infertis,

obtinttui:

OjJs± -h GD — GE— GD _

= ± y/GE.GD;

unde _{patet diftantiam focorum a centro aequalem}

_{esfe medias}

prqportionali inter GE & GD,, quas media

proportional«,

per

elementa, fine ullo negotio reperitur.

Quonlam fupra demonfirafum efi

esfe

redangula axium äsqualia, five A.Bzza.b, erunt

medias proportionales

iater

axes ambarum Ellipfium _äquales, ideoque _etiam

rpfae

_{area:, qua:} asquant circuios, radio his mediis

proportionalibus asquali,

de-fcriptos. Area Ellipfis data: efi idco asqualis area:

Eilipfis

novas, ex _quo deinde fequitur, _quattuor ifias

luuulas DaQ,

REbt

DBRd, AEcQy esfe aequales.

zzf—

\fa*—xz. dx -f-—,

ande

patef,

k »mbx

cnrvx a

i

M

CBM'

Quoaiam z s; — —x*-\- x, erit area

Eilipfis

fzdx

) 9

C

eamdem diametrum AB referahtur, areas eide-m

abfcisfe

refpot*

dentes, revera differre dimidio qua

d

rati

abfcisia*

, &

esfe igitur,

CX1 FT2

exempli

gratia, DI

T lunulam

_.2 zzz-_-2/ >

&

DMN

CK2 MN*

a .2,

§• vi.

Quales fint anguli Tangentium

ad

prxcipua

bujusmodi

cur-varum punda, hand

abs

_re erir

inquirere.

Condpiatur

_tångens

qusedam ad

pundum

T duda,

&

vocenfur

anguli,

quos tångens

cum lir.ea abfcisf-rum AB, & ordinata quadam XT

faciat,

zdx dz zdx

ß Sc T} habetur .z = i: Tang,

ß

zz. —, <5c .z : ——

dz dx dz

dx

zzz z : Tang.

$

_{zu —.} Si

difFerentietur

aequatio _curvse

derivatac,,

dz

bx

provenit dz zz

(i

Zp

). dx,

å

deinde

Tang,

ß

zz: a\ra''—

x-zzz i _{ip ~}

, & Tang.

$

zz

^

zzz i

-+*

.dx _{a\/a'1—-x* dz}

bx

. Harum formularum ope tangcntes

angu-a^I _'bx

lorum ß <Sc <£, od quodeunqun curvae pundum, (ine ullo nego¬

tio _{deteguntur. Oblervari tarnen oportet,}

_{fignum fuperius esfe}

adhibendum, II caJculus inftituatur in pundum cujus ordinata,

ad diametrum AB rclata, e pofitiva Eilipfis datse

ordinata

iit

orta, alias vero inferius, Ii fciiicet e negativa provenerit

ordina¬

ta, quod paucis _exponere

fas

eft exemplis.

-) ti C

DT 2DT

lotes

_Tangmtis

_ßzzz

i 4* ^ f -f ■> quemcümque pö-&S/

tius velimus, fi-ve per parfes iineaö DS, vel lint se BD expres-fum. Eisdeni abfeisfis CU, CU' duo alia _{refpondent punda}

q <Jfe r, pro qnibus, eadem via, duo

diverfi

obtinentur valöres1

DT 2DI

exprimentes Tmgmtem

ß

= i — ——r:='i _jg/"

ab

Quoniam deiede abfcisfse CK> CL jfuat sr:

-yte2 -|- b*

Baud disfimili modo habetur in _{pundis K St Ly Tang.}

_/3

_=r

fite o2 v DEq CDq

7-rr: i4- ■— r=i —_—== 1 -f -^r> ope vero valorum,

tpf" ß2 _{qö/if BCq}

per fimilitudinem trianguioiu-m nuperrime-didam, provenientium,

DT eoncinniores Ilabentur _{expresfiones Tangeniis ß m 1 4-}

—-45i

Dl

3-1 + ——. Erédem abfcisfse C7T, CL, duobus aliis etiam

refpondent pundis N, Ö, pro quibus fequentes habentür

valo-DT DI

res, feilicet _{Tang, ß ~ i — - — 1} — ——.

40 l JU

Quas in hac paragrapho exhibuimus Tangentes-, eorum

tan-fum _{hueusque fuere anguiorum, quos Tangentes curvas, cum}

linea abfcisiarum Bl B faciunt; ex vc-ro, _{quas oiliifnr.us, angu¬}

iorum fcilicet o, _{quos tangentes cum ordinatis facere debtnt,}

eodein modo

_{expeditislTmo,}

_{per alferam datam deducuntur} for-mulam. _{Unumquemque hunc inflituentem calculutn fugere} aequit, valöres, qtui pro eisdem pundis oriuntur, easdem

esfe

fra-) 12 ₍

fradiones, Ted converfas, vel quod eodem redir,

cotangentes

esfe _{angulorum ß, quod eti«m, fine ulteriori}

quodam calculo, patebit.

Ex hac _{tangenrium qusefitarum}

pro punrtis Q, i?, q, r%

K, L, N, O, & _{quotcunquc de cerero voiueiis}, ad uniratein

ratione, fat

_fuperque

_{liquet, anguios ipfos, quos horum}

pundio-rum _{fangenfes, cum linea abfciskrum}

vei ordiriatis _faciunt, de-teriuinationem _{pati Geometricam.}

Obfervationum noflrarum heic _{cogimur abrumpere}

filum,

éorum _{quse reftant, notmalium}

, curvdtura?, & qua? reliqua fint,

expofirioneui, benigoiori refervantes oceafioni. Corouidis ioco

obiter indicasfe _{fufficiat, curvam per fubtradlionem Cofinus} ab

Eilipfi orituram, eamdtm omniuo esle, fed _{pofitione tantum}