Index och portföljkonstruktion

Den grundportfölj som konstrueras innehåller 40 stycken aktier. Anledningen till detta är att vi vill uppnå en god diversifieringsgrad. Vilket antal aktier som ger tillräckligt bra diversifieringsnivå kan diskuteras länge och det finns inget generellt svar. En allmän uppfattning gällande

diversifiering är att effekten avtar ju större antalet aktier blir och ju fler aktier som adderas till tillgångsportföljen. Effekten av att gå från 1 till 20 aktier i en portfölj är alltså större än att gå från 80 till 100 aktier. Minns Figur 3.2.1 i teoriavsnittet över den avtagande effekten för diversifiering. Det har redogjorts för det optimala antalet aktier för god diversifieringsgrad i flertalet studier. Exempelvis redogör Statman (1987) för att en väldiversifierad portfölj ska innehålla 30 aktier. Efter att även ha tagit del av några andra studier på området, däribland och Evans och Archer

(1968), Campbell m.fl. (2001) och Benjelloun (2010) ansåg vi att 40 aktier verkade vara ett lämpligt antal aktier att inkludera i våra portföljer.

Då en del av den portföljstrategi vi avser testa innebär att portföljerna ska vara likaviktade, bland annat med stöd ifrån de uppvisade resultaten från Velvadapu (2011) och Plyakha, Uppal och Vilkovs (2012) forskning, kommer därför varje innehav i våra portföljer att utgöra 2,5 procent vardera. Oberoende av hur respektive innehav utvecklas kommer denna andel att inför varje ny månad återställas till just de ursprungliga 2,5 procenten. Genom denna likaviktningsmetod som följer formeln 1/N, låter vi därför inte en enskild tillgång påverka portföljernas utveckling i alltför stor utsträckning. Istället blir den ackumulerade månadsavkastningen fördelad på de ingående bolagen i lika stor proportion.

Med anledning av att tidigare forskning kunnat påvisa att just likaviktade portföljer över tid tenderar att överprestera marknaden och mer frekvent förekommande indexeringsmetoder med ungefär 1-2 procent per år (Ang, 2014) vill vi även implementera denna effekt i studien. Detta får dock vissa konsekvenser praktiskt sett. Denna alternativa indexering resulterar i en ökad

rebalanseringstakt för portföljerna, något som bidrar till ökade transaktionskostnader då antalet affärer och avslut växer. Då vi testar strategier på ett fiktivt sätt väljer vi dock att bortse från sådana kostnader. Detta är vanlig praxis vid denna och andra liknande typer av finansiella studier (Arnott m.fl., 2005). För denna studie där omallokering av innehaven sker, byts innehaven ut till följd även av detta och inte enbart till följd av rebalanseringen.

De aktier som för varje månad väljs ut för att ingå i de volatilitetsportföljer som testas, är de 40 aktier med lägst uppvisad volatilitet, av de 150 mest handlade och omsatta bolagen på

Stockholmsbörsens samtliga listor. Anledningen till att urvalsramen för respektive år utgörs av 150 stycken aktier, och inte samtliga aktier som handlas på Stockholmsbörsen, är för att kunna hantera eventuellt förekommande likviditetsrisk. Denna risk kan uppstå i och med den allokering- och rebalanseringsteknik vi använder oss av. Då de bolag som inför varje ny månad står inför in- eller utträde ur portföljen, eller de innehav som ska rebalanseras till ursprungsvikter, kan visa sig vara bolag som handlas och omsätts på börsen i alltför liten utsträckning. Det kan i så fall göra det praktiskt svårt att få avslut på de affärer och transaktioner som behöver ske. Det andra steget efter den inledande likviditetssorteringen är att ordna aktierna i urvalsramen i enlighet med deras historiskt uppvisade volatilitet. Vi väljer att estimera den historiska volatiliteten för respektive aktie baserat på deras dagsvisa kursförändringar under närmast föregående tre månader. De 40 aktier med lägst uppvisad volatilitet, baserad på samtliga förevarande börshandelsdagar under

oktober, november och december 2005, väljs därmed ut för att ingå i portföljen under januari 2006 exempelvis.

4.5.1 Beräkning av historisk volatilitet

Volatiliteten för en finansiell tillgång kan definieras som den osäkerhet som finns gällande de avkastningar som kan uppnås för en aktie. Denna osäkerhet mäts genom standardavvikelsen, 0, för de avkastningar en tillgång givit under en bestämd period, som den genomsnittliga avvikelsen från tillgångens medelavkastning. Generellt kan påstås att volatiliteten för de flesta aktier hamnar någonstans mellan 15 och 60 procent (Hull, 2014, 2015). För att få en rättvisande bild av en akties historiska volatilitet behöver denna estimeras utifrån aktiens periodvisa kursrörelser. Vi väljer här att använda dagsvisa kursförändringar som de observationer som utgör grund för estimeringen. Den historiskt uppvisade volatiliteten estimeras som standardavvikelsen för de logaritmerade procentuella dagskursförändringarna, som sedan årsnormeras genom att multiplicera med kvadratroten av tiden, vilket i denna undersökning utgör antalet börshandelsdagar på ett år.

Grunden för beräkning av volatiliteten på detta sätt härrör bland annat från Black och Scholes (1973) teorier och modeller för optionsvärdering. Ett av antagandena som dessa forskare gör gällande sina värderingsmodeller för optioner är att de procentuella förändringarna för aktiekurser anses vara normalfördelade samt att volatiliteten är konstant från tid till annan. Deras modeller tolkar därför den framtida volatiliteten och den historiska volatiliteten som samma konstant. Denna tolkning är dock inte verklighetstrogen eftersom volatilitet inte är en konstant och det har utvecklats ett antal modeller för beräkning och skattning av olika former av volatilitet, där kanske de så kallade GARCH-modellerna är några av de mest använda (Figlewski, 1997). I dessa

modeller, till skillnad från Black och Scholes modeller, antas den historiska volatiliteten inte vara konstant utan föränderlig. Vi väljer dock att beräkna den historiska volatiliteten i enlighet med hur den presenteras av Hull (2014, 2015). Se formel nedan.

När volatiliteten för en aktie beräknas på detta sätt är det vanligt att den uttrycks annualiserad, alltså som en årsvolatilitet. Beroende på tillgången till data kan denna årsvolatilitet baseras på olika antal dagar, bara hänsyn tas till detta vid årsnormeringen, då standardavvikelsen för de logaritmerade förändringarna multipliceras med roten ur tiden. Det är viktigt att göra skillnad på om det är vanliga kalenderdagar eller så kallade börshandelsdagar (trading days) som används som tidsreferens när volatiliteten skattas. Här används 252 stycken börshandelsdagar per år då det är genomsnittet för vår undersökningsperiod, detta går även i linje med praxis för studier där antalet börshandelsdagar på ett år används i någon utsträckning (Hull, 2014, 2015).

Genom detta tillvägagångssätt beräknas alltså årsvolatiliteten som en annuitet, men denna är baserad på det antal dagar av tillgänglig data som ligger till grund för beräkningen. Det kan förslagsvis röra sig om 10, 30, 60 eller 200 dagars volatilitet som omvandlas till årstakt. Utgår beräkningar exempelvis från dagskurser definieras tiden som de 252 börshandelsdagar som i genomsnitt finns under ett år (Hull, 2014, 2015). Det är detta tillvägagångssätt som används i denna studie.

Formel för beräkning av de enskilda aktiernas volatilitet:

4 = 0 56 7-

7_-89 , … ∗ <

V = Historisk volatilitet

0 = Standardavvikelse

Ln = Den naturliga logaritmen, med basen e Kt = Aktiens stängningskurs för tiden t

Kt – 1 = Aktiens stängningskurs för tidpunkten innan t N = Antal börshandelsdagar på ett år

Volatiliteten för respektive bolag beräknas enligt ovanstående formel. Den uppvisade utvecklingen med avseende på respektive akties procentuella kursförändring på daglig basis logaritmeras. Sedan beräknas standardavvikelsen under de föregående tre månadernas samtliga börshandelsdagar för de logaritmerade kursförändringarna. När de kvartalsvisa standardavvikelserna beräknats, baserade på tre månaders handelsdagar, årsnormeras sedan dessa genom att multiplicera dem med roten ur tiden, mätt i antal börsdagar. Till följd av att de beräknade standardavvikelserna baseras på den dagliga förändringen för respektive aktiekurs, definieras tiden alltså som 252 börshandelsdagar per år. Att vi väljer att beräkna den uppvisade volatiliteten på detta sätt ligger i linje med bland annat Figlewski (1997) samt Hull (2014, 2015). När varje akties historiska volatilitet beräknats sorteras de sedan i ordning från lägst till högst uppvisad historisk volatilitet. De 40 aktier som varje månad uppvisat lägst volatilitet väljs ut och får ingå i portföljen under nästkommande månad. Detta återupprepas sedan månadsvis för samtliga 120 månader under studiens testperiod.