Digitala Spel VT11
Kandidatarbete/slutreflektion
Matematik f¨or spelutveckling
En vidgad syn p˚ a hur man l¨ar ut matematik p˚ a h¨ogskoleniv˚ a
Henrik Fredriksson hefb05@student.bth.se Handledare: Peter Giger Texthandledare: Pella Sahlin Examinator: Peter Giger
Examinationsdatum: 2011-05-25
F¨ orord
Jag skulle vilja tacka Jonas Svegland och Fredrik Gullbrandson, Blekinge Tekniska H¨ogskola f¨or att ha givit mig m¨ojlighet att undervisa i matematik f¨or studenterna p˚a Digitala Spel.
Vidare vill jag tacka mina handledare Peter Giger och Pella Sahlin f¨or konstruktiv kritik under arbetets g˚ang.
Tack till Alf Gummesson och Thomas Ahlqvist, Blekinge Tekniska H¨ogskola samt Mikael Hindgren, H¨ogskolan i Halmstad f¨or de matematiska kunskaper de givit mig.
Ett extra stort tack till Robert Nyqvist, Blekinge Tekniska H¨ogskola f¨or st¨andig inspiration inom matematiken och hj¨alp med LATEX
Abstract
Matematiska kunskaper ¨ar en central del inom digital spelutveckling. Meto- derna hur man l¨ar ut matematik och dess inneh˚all har dock inte utvecklats i samma takt som hur l¨ar ut hur man utvecklar spel. Jag vill med den h¨ar upp- satsen och mitt kandidatarbete utveckla ett unikt kursuppl¨agg av till¨ampad matematik f¨or spelutveckling i 2-D. Detta uppl¨agg baseras p˚a analys av tidi- gare erfarenheter av matematikstudier och samtal med ¨ovriga kursansvariga.
Den befintliga kurslitteraturen som anv¨ands p˚a tekniska h¨ogskolor ¨ar v¨aldigt avancerad i sin f¨orklaring av teori. Problemframst¨allningarna i denna litte- ratur relaterar aldrig till hur man kan anv¨anda den f¨or att utveckla spel.
Baserat p˚a detta problem har jag arbetat fram ett kompendium som direkt riktar sig mot hur man kan anv¨anda matematik f¨or att utveckla spel i 2-D.
Kompendiet ska dessutom vara f¨orberande f¨or fortsatta studier inom mate- matik.
Nyckelord
matematik, spelutveckling, kursuppl¨agg
Abstract
Mathematical knowledge is a central part of digital game development. The methods of how to teach mathematics and its content have not grown at the same pace as how to teach how to develop games. What I want with this thesis and my graduate project is to develop a unique syllabus of ap- plied mathematics for game development in 2-D. The syllabus is based on analysis of previous experience with study of mathematics and dialogs with course managers. The existing courselitterature used in technical Universiti- es is advanced in its description of theory. The approach of the problem in the courselitterature is never related to how to use it for game development.
Based on this problem I have created a compendium for applied mathematics in game development. The compendium also serves the purpose for future education in mathematics.
Keywords
mathematics, game development, syllabus
Inneh˚ all
1 Inledning 5
1.1 Arbetsbeskrivning. . . 5
2 Projektplan 6 2.1 Bakgrund . . . 6
2.2 Syfte . . . 6
2.3 M˚al. . . 6
2.4 Metoder . . . 7
2.5 Tidsplan . . . 7
2.6 Risker . . . 7
3 Processbeskrivning 9 3.1 Research och tidigare erfarenheter . . . 9
3.2 F¨orel¨asningsanteckningar . . . 11
3.2.1 F¨or- och nackdelar . . . 13
3.3 F¨orel¨asningar och r¨akne¨ovningar. . . 14
3.4 Skrivande av f¨orel¨asningsanteckningar . . . 14
3.5 Utf¨orande av f¨orel¨asningar och r¨akne¨ovningar . . . 15
3.6 Kommentarer fr˚an studenter . . . 17
3.7 Pedagogik . . . 17
4 Reflektion 19 4.1 Hur v¨al uppfylldes projektets syfte . . . 19
4.2 Hur v¨al uppfylldes projektets m˚al . . . 19
4.3 Diskussion och framtid . . . 20
Referenser 22
Bilaga 1: Tidsplan 24
Bilaga 2: Ordlista 1
1 Inledning
Det h¨ar dokumentet ¨ar en slutreflektion av mitt kandidatarbete f¨or Digitala Spel, Blekinge Tekniska H¨ogskola under v˚arterminen 2011. Kandidatarbetet best˚ar av tv˚a delar, en produktionsdel samt denna reflektionsdel. Denna slut- reflektion kommer att behandla skapandeprocessen av kandidatarbetet och kr¨aver inga matematiska f¨orkunskaper f¨or att f¨olja.
1.1 Arbetsbeskrivning
Matematik ¨ar f¨or de flesta bara r¨akning med siffror, men matematik har stor betydelse i all form av teknik. Ett omr˚ade d¨ar matematikens till¨ampningar f¨orekommer flitigt ¨ar spelprogrammering. Det kr¨avs t.ex. kunskaper inom linj¨ar algebra f¨or att f¨orst˚a hur objekt beter sig i ett 3-dimensionellt rum. Men f¨or att f¨orst˚a linj¨ar algebra s˚a kr¨avs det kunskaper inom mer grundl¨aggande omr˚aden s˚asom ekvationer och trigonometri. Tankes¨attet p˚a hur man l¨oser matematiska problem ¨ar ofta v¨aldigt lika de problem man l¨oser i program- mering.
Jag har under mitt kandidatarbete f˚att m¨ojlighet att undervisa studenter i matematik i kursen ME1178 Spelutveckling i 2-D och som icke-utbildad l¨arare f˚att f¨ortroendet att l¨ara ut ett ¨amne som ligger mig varmt om hj¨artat p˚a ett mer vidgat s¨att.
Matematikundervisning p˚a detta s¨att ¨ar ett helt nytt inslag i programmet Digitala Spel och att f˚a vara med och utveckla utbildningen och framtidens spelutvecklare k¨anns som ett v¨aldigt inspirerande projekt.
2 Projektplan
I det h¨ar avsnittet kommer jag ge en beskrivning till varf¨or jag har valt att arbeta med just detta projekt samt hur jag ska genomf¨ora det.
2.1 Bakgrund
N¨ar jag b¨orjade studera p˚a Blekinge Tekniska H¨ogskola, h¨ostterminen 2005 hade jag d˚aliga erfarenheter av matematik b˚ade fr˚an grund- och gymnasie- skola. Att l¨ara sig till¨ampa matematik ¨oppnade ett helt nytt intresseomr˚ade f¨or mig och jag har de senaste ˚aren studerat matematik som man antingen kan anv¨anda f¨or att skapa spel eller som ligger bakom tekniken i dagens spel- och grafikmotorer. Efter att ha haft ansvaret f¨or undervisningen av linj¨ar al- gebra i kursen ME1234 Spelutveckling i 3-D under h¨ostterminen 2010 fick jag f¨orfr˚agan av Jonas Svegland, programansvarig p˚a Digitala Spel p˚a Ble- kinge Tekniska H¨ogskola, Campus Karlshamn att undervisa i matematik f¨or studenterna i ˚arskurs 1 p˚a Digitala Spel. Eftersom jag under denna tid ha- de planerat att g¨ora mitt kandidatarbete i Digital Spel, s˚a framf¨orde jag f¨orslaget att kombinera dessa till ett projekt.
2.2 Syfte
Syftet med kandidatarbetet ¨ar att ge en vidgad syn p˚a undervisning av ma- tematik. Jag har studerat matematik i olika former, p˚a olika h¨ogskolor, kom- vux och sj¨alvst¨andigt. De l¨arare och f¨orel¨asare som har l¨art mig matematik har dock inte haft n˚agon erfarenhet av spelutveckling. Jag hoppas med mi- na kunskaper inom b˚ada ¨amnena ge en n˚agot annorlunda syn p˚a hur man l¨ar ut matematik genom att beskriva den bakomliggande teorin p˚a ett mer vardagligt s¨att ¨an den annars “standardiserade” tunga kurslitteraturen.
2.3 M˚ al
Produktionsdelen av kandidatarbetet kommer att vara uppdelat i tv˚a delar.
Den ena delen kommer att vara traditionell salsundervisning f¨or de studenter
som g˚ar kursen ME1178 Spelutveckling i 2-D. Undervisningsdelen kommer att best˚a av f¨orel¨asningar d¨ar b˚ade teori och exempel av till¨ampningar av ma- tematik inom spelutveckling behandlas, samt r¨akne¨ovningar d¨ar studenterna sj¨alva f˚a arbeta med det som jag tagit upp under f¨orel¨asningarna.
Den andra delen kommer att vara ett dokument som jag valt att kal- la ”F¨orel¨asningsanteckningar”. Dessa f¨orel¨asninganteckningar kommer att inneh˚alla den teori och de exempel jag g˚ar igenom under f¨orel¨asningarna med kommentarer och fullst¨andiga l¨osningar av uppgifter. Tanken med des- sa f¨orel¨asninganteckningar ¨ar att ge ytterliggare st¨od f¨or studenterna under undervisningstiden samt att de kan ha dem till f¨orfogande ifall de vill g˚a tillbaka under kursens g˚ang och revidera sina kunskaper.
2.4 Metoder
Utifr˚an analys av tidigare erfarenheter och studier av matematik s˚a kommer jag tillsammans med de ¨ovriga kursansvariga f¨ors¨oka skapa ett kursuppl¨agg som ¨ar unikt f¨or spelutbildningar. Kursens inneh˚all kommer att baseras mer p˚a till¨ampningar av matematik f¨or spelutveckling, snarare ¨an att f¨olja befint- lig kurslitteraturs uppl¨agg. Undervisningsformen kommer att motiveras vad jag upplevde som bra och d˚aligt under mina egna studier.
2.5 Tidsplan
Se Bilaga 1: Tidsplan
2.6 Risker
Tid ¨ar alltid ett riskmoment n¨ar det g¨aller projektbaserat arbete, ¨aven i det
h¨ar fallet. Jag har en begr¨ansad tid p˚a mig att f¨ardigst¨alla mina f¨orel¨asningsanteckningar och ¨ovningar innan undervisningen p˚ab¨orjas. Vanligtvis l¨aser man inneh˚allet
p˚a det jag t¨ankte l¨ara ut under en halv l¨asperiod p˚a halvfart. Jag har 5 veckor till mitt f¨orfogande, dessutom l¨aser studenterna programmering parallellt p˚a helfart. Det blir en utmaning att motivera dem att l¨ara sig matematik med.
Att jag ¨ar sj¨alv i projektet har b˚ade sina f¨ordelar och nackdelar. F¨ordelarna
¨ar att jag kan sj¨alv kan disponera projekttiden enligt egna ¨onskem˚al. Nackde- larna ¨ar att om jag tappar motivationen s˚a stannar hela projektet, dessutom
¨ar andra beroende av vad jag presterar, med detta i ˚atanke s˚a k¨anner jag ett enormt ansvar.
En risk som diskuterades innan projektet men som visade sig f˚a mer be- tydande roll f¨or projektets sammanfattning, var studenternas motivation att deltaga i undervisning utan examination.
3 Processbeskrivning
I det h¨ar avsnittet kommer jag ge en inblick till hur uppl¨agget till under- visningen i kursen utformades, motivera de val jag gjort till inneh˚allet i mi- na f¨orel¨asningsanteckningar samt ge en rapport om hur arbetet i projeketet fortl¨opte.
3.1 Research och tidigare erfarenheter
Jag har som n¨amnts tidigare, studerat matematik i olika former och genom detta f˚att erfara olika typer n¨ar det g¨aller b˚ade presentation, litteratur och utv¨ardering av inneh˚allet efter kursernas avslutning. Jag kommer att ge tre olika fall p˚a kurser och ge kommentarer till det som var bra eller mindre bra och genom detta motivera varf¨or jag har valt den undervisningsform som jag har gjort. Jag har valt att kalla kurserna (A), (B) och (C).
(A) Matematik, grundkurs H¨ogskoleniv˚a 7.5 ECTS (halvfart)
F¨orel¨asaren i denna kurs var av ¨aldre generation. Undervisningsformen byggde helt p˚a f¨orel¨asningar d¨ar f¨orel¨asaren skrev p˚a tavlan och vi fick skriva av och f¨olja med. Teorin och exemplen som antecknades byggde p˚a st¨odord mer ¨an utf¨orliga beskrivningar av fr˚agest¨allningen. N¨ar jag efter kursens avslutning tittat p˚a dessa anteckningar har jag haft sv˚art att greppa vad som egentligen menas eftersom det saknas utf¨orliga beskriv- ningar och definitioner. De mesta f¨orklarades muntligt vilket gjorde att mitt fokus l˚ag p˚a lyssnandet mer ¨an att skriva ner vad som sades. Tanken med detta s¨att ¨ar f¨orel¨asningarna ¨ar ett komplement till kurslitteratu- ren. Kursen i fr˚aga var ganska fattig p˚a ¨ovningar och inga r¨akne¨ovningar.
Jag kommer senare ˚aterkomma med kommentarer till kurslitteratur.
(B) Matematikkurs, grundkurs H¨ogskoleniv˚a 15 ECTS (halvfart)
F¨orel¨asaren i denna kurs var medel˚alders. Uppl¨agget denna kurs be- stod av f¨orel¨asningar, seminarier,b˚ade frivilliga och obligatoriska projekt samt r¨akne¨ovningar. Till skillnad mot kurs (A) s˚a var f¨orel¨asningarna mycket l¨angre, vilket gjorde att teorin och exemplen kunde skrivas upp mer v¨aldefinierat. Det gjorde att det blev v¨aldigt mycket skrivande innan
man kan kunde ge sig i kast med att l¨osa uppgiften. Som en motiverande faktor till att arbeta med angivna uppgifter var att aktivt deltagande p˚a seminarier samt korrekt l¨osta frivilliga projekt gav extrapo¨ang p˚a slutentamen. Dessutom fanns det alltid tid att st¨alla eventuella fr˚agor under f¨orel¨asningarna eller f˚a extrahj¨alp under r¨akne¨ovningarna.
(C) Matematikkurs, forts¨attningskurs H¨ogskoleniv˚a 7.5 ECTS (halvfart) F¨orel¨asaren i denna kurs var n˚agot yngre ¨an i kurs (A) och (B). Dess- utom hade f¨orel¨asaren valt att ist¨allet skriva p˚a tavlan presentera all in- formation genom powerpointpresentationer. Detta motiveras av att det skulle ta v¨aldigt l˚ang tid att skriva upp allt samt att med m˚anga liknan- de beteckningar skulle vara sv˚art att urskilja vad som faktiskt skrevs upp. F¨orel¨asningarna var i den h¨ar kursen kortast av de tre exemplen,
¨and˚a hann man med att g˚a igenom mycket teori. Dock k¨ande jag att man under f¨orel¨asningarna tog saker och ting f¨or givet och n¨ar man kom hem ins˚ag att man egentligen inte hade f¨orst˚att allt. I denna kurs fanns det m¨ojlighet till r¨akne¨ovning, dock s˚a gick en hel del av den tiden ˚at till mer f¨orel¨asningstid eftersom man inte hann g˚a igenom allt under ordinarie f¨orel¨asningstid. Ut¨over detta fanns det som ett komplement till kurslitteraturen ett matnyttigt kompendium tillg¨angligt med teori, exempel och ¨ovningar. Personligen hade jag mer nytta av kompendiet
¨an kurslitteraturen.
Alla tre kurserna slutexaminerades med en skriftlig tentamen.
Ett par veckor innan undervisningen p˚ab¨orjades s˚a gjorde jag en unders¨okning p˚a mina blivande studenter om deras matematiska f¨orkunskaper samt vilken form av undervisning de f¨oredrog. Som v¨antat var f¨orkunskaperna ganska spridda men huvudsyftet var att f˚a en bild av vilken undervisningsform stu- denterna f¨oredrog. Funderingarna innan undervisningen p˚ab¨orjades var att ha powerpoint-presentationer f¨or att spara tid. Personligen f¨oredrar jag mer traditionell undervisning av typ (A) och (B). Trots detta k¨ande jag att s¨attet som undervisningen presenterades p˚a i kurs (C) var v¨aldigt professionellt och genomarbetet och hade funderingar p˚a att g¨ora p˚a liknande s¨att. Det visade sig i unders¨okningen att 9 av 11 studenter f¨oredrog den mer klassiska formen
av undervisning. Grunden till detta ¨ar nog att flertalet studenter inte har haft n˚agon erfarenhet tidigare av undervisning av powerpointpresentioner utan kommer kanske direkt fr˚an gymnasiet och ¨ar vana vid den formen av undervisning. D¨arf¨or valde jag att h˚alla i en undervisningsform d¨ar jag sj¨alv skrev p˚a tavlan.
3.2 F¨ orel¨ asningsanteckningar
V¨aldigt inspirerad av kurs (C) best¨amde jag tidigt i projektet att min un- dervisning skulle ha n˚agonting liknande som kompletterande material. Jag hade sj¨alv v¨aldigt stor nytta av detta n¨ar jag sj¨alv studerade. Tanken med dessa f¨orel¨asninganteckningar att p˚a ett mer vardagligt s¨att f¨orklara teorin och inte f¨ordjupa mig i uttryck som definitioner, satser och axiom. Ett utdrag ur kurslitteraturen Analys i en variabel av Persson och B¨oiers 2001 (s. 478)
¨ar
”DEFINITION 1. En funktion f definerad p˚a en delm¨angd av reella axeln s¨ags vara kontinuerlig i en punkt x0 i definitionsm¨angden om gr¨ansv¨ardet
lim
x→x0
f(x)
existerar (och d¨armed ¨ar lika med funktionsv¨ardet f (x0)). Om en funktion
¨ar kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsm¨angd kallas den kort och gott kontinuerlig.”
En text av liknande karakt¨ar kan vara v¨aldigt sv˚ar att tolka f¨or den som l¨aser den allra f¨orsta g˚angen. Ett enklare s¨att att beskriva ovanst˚aende definition
¨ar
”Om man kan rita en graf till en funktion, sammanh¨angande utan n˚agra utan avbrott och ”hack” s˚a ¨ar funktionen kontinuerlig”
Dock ¨ar en beskrivning av det h¨ar slaget inte tillr¨acklig inom matematiken, men tillr¨acklig f¨or att f¨orklara vad definitionen inneb¨ar.
Kurslitteraturen av Persson och B¨oiers 2001 ¨ar v¨aldigt f¨orekommande kurslitteratur p˚a m˚anga av ingenj¨orsutbildningar inom data, elektronik och spel runt om i Sverige och ¨ar v¨aldigt nyttig i m˚anga avseenden. Den ¨ar dock skriven p˚a ett spr˚ak som ¨ar v¨aldigt sv˚arf¨orst˚att ifall man inte ¨ar intresserad av ¨amnet och l¨agger mycket tid p˚a det matematiska stoffet. Dessutom finns
det inga exempel p˚a hur man kan till¨ampa detta inom spelutveckling utan
¨ar oftast kopplade till naturvetenskapliga fr˚agest¨allningar. Ifall man ist¨allet kollar i mer ¨amnesspecifik bok, t.ex. Mathematics for Game Programmers, Lengyel 2001, s˚a ges ingen motivering eller h¨arledning till varf¨or man ska anv¨anda de angivna formlerna.
Jag vill i mina f¨orel¨asningsanteckningar fylla i denna ”lucka” genom att d¨ar m¨ojlighet finns att relatera till hur man kan tolka matematiken geomet- riskt eller hur man kan med programmeringskod till¨ampa teorin.
De kapitel inom matematiken som mina f¨orel¨asninganteckningar inneh˚aller
¨ar
1. Introduktion
N¨ar jag undervisade i linj¨ar algebra m¨arkte jag att m˚anga av studen- terna inte hade studerat matematik sedan gymniasietiden och att de hade sv˚art med de grundl¨aggande begreppen och r¨aknereglerna. I den- na kurs s˚a har s˚a finns m¨ojligheten att repetera mycket utav det man l¨ar sig p˚a gymnasiet t.ex. ekvationsl¨osning och r¨ata linjens ekvation, samt introducera nya teman som olikheter.
2. Funktioner
I det h¨ar kapitlet ska det f¨orklaras att matematiska funktioner ¨ar lika de funktioner som man anv¨ander i programmering. Tyndpunkten kommer ligga p˚a att med geometriska tolkningar till¨ampa matematiken till att g¨ora spel, framf¨orallt inom trigonometri.
3. Komplexa tal
Introduktion till ett mer abstrakt t¨ankande och geometriska vektorer.
4. Gr¨ansv¨arden
Beh¨ovs f¨or derivata samt introducera ett mer analytiskt t¨ankande n¨ar det g¨aller matematisk probleml¨osning
5. Derivata
Till skillnad fr˚an den befintliga kurslitteraturen och den gymnasiella undervisningen vill ¨ar m˚alet fokusera p˚a den geometriska tolkningen
av derivata ist¨allet f¨or de naturvetenskapliga exemplen som oftas ges i den befintliga kurslitteraturen.
6. Integraler
Samma motivering som f¨or derivata
Ut¨over detta inneh˚all, kommer kursen ge en introduktion till linj¨ar algebra med
1. Linj¨ara ekvationssystem K¨arnan i linj¨ar algebra 2. Vektorer
Studenterna kommer i programmeringsdelen av kursen arbete med geo- metriska vektorer, s˚a ist¨allet f¨or att v¨anta p˚a att de l¨aser linj¨ar algebra s˚a fanns det ¨onskem˚al fr˚an kursansvariga att introducera temat redan h¨ar.
3. Skal¨arprodukt
Verktyg f¨or att ber¨akna vinklar och avst˚and i 2- och 3 dimensioner Valet av dessa teman grundar sig p˚a jag anser n¨odv¨andiga kunskaper f¨or att utveckla spel i tv˚a dimensioner samt att f¨orbereda studenterna rent mate- matiskt f¨or vidare studier i linj¨ar algebra.
3.2.1 F¨or- och nackdelar
Som n¨amnts tidigare ¨ar har f¨orel¨asningsanteckningar tv˚a syften. Dels att ge en n˚agot mer till¨ampad inriktning av matematik samt att bespara tid under f¨orel¨asningarna. Detta tycker jag i nul¨aget att mina anteckningar har upp- fyllt. Vad som inte uppfyllts med detta koncept ¨ar att m˚anga av studenterna inte l¨ast detta dokument. Anledningen till detta ¨ar att studenterna har prio- riterat programmeringsdelen av kursen. Det finns ¨aven en ekonomisk aspekt.
Att investera i kurslitteratur inom matematik ¨ar v¨aldigt kostsamt och har man investerat i en kurslitteratur ¨ar det oftast en tillr¨acklig motivation att l¨asa den.
3.3 F¨ orel¨ asningar och r¨ akne¨ ovningar
K¨arnan i min undervisning ¨ar f¨orel¨asningarna, jag har studerat matematik p˚a egen hand genom distanskurser och av eget intresse och utan att n˚agon som faktiskt f¨orklarar och kommenterar teorin s˚a ¨ar detta ett ¨amne som ¨ar v¨aldigt sv˚art att f˚a f¨orst˚aelse f¨or (erfarenhet av detta fr˚an distansutbildning).
Dessutom ¨ar matematik ett ¨amne d¨ar ens kunskapsniv˚a oftast ligger i pari- tet med hur mycket man arbetar med det. Den st¨orsta utmaningen ¨ar att motivera studenterna att jobba p˚a egen hand. Enligt Skolverket 2008 blir svenska ungdomar allt s¨amre i matematik och jag tror att m˚anga studen- ter har en ganska negativ inst¨allning till ¨amnet redan innan man b¨orjar p˚a h¨ogskola. Kunskapsniv˚an av matematiska studier p˚a h¨ogskoleniv˚a ¨ar dess- utom avsev¨art mycket h¨ogre ¨an gymnasiella utbildningar. Jag hoppas med att visa studenterna till¨ampningarna inom spelutveckling f˚a dem mer intres- serade av matematik. H¨ar vill jag ˚aterkomma till mina reflektioner av kursena (A) och (B). Under mina f¨orel¨asningar ska det inte ¨agnas f¨or mycket tid ˚at att skriva upp information p˚a tavlan utan mer konkret g˚a in p˚a den rena probleml¨osningen. Jag kommer att ber¨atta om teorin men inte skriva upp den, eftersom den finns tillg¨anglig i f¨orel¨asningsanteckningarna.
Eftersom det inte kommer f¨orekomma n˚agon form av eximination av vad studenterna l¨art sig s˚a hoppas jag ¨and˚a kunna n˚a ut till dem och dela med mig av min kunskap inom ¨amnet genom att finnas tillg¨anglig n¨ar en hj¨alpande hand beh¨ovs, framf¨orallt genom r¨akne¨ovningrna men ¨aven uppmuntra stu- dentera att s¨oka upp mig ifall de beh¨over hj¨alp.
3.4 Skrivande av f¨ orel¨ asningsanteckningar
Innan jag p˚ab¨orjade skrivandet av f¨orel¨asningsanteckningarna tog jag mig tid att g˚a igenom material som jag sj¨alv samlat p˚a mig under mina matema- tikstudier samt att ha diskussion med de ¨ovriga kursansvariga vad som mina anteckningar skulle inneh˚alla, se 3.2. Jag hade en ganska klar bild av vilka teman mina f¨orel¨asningsanteckningar skulle inneh˚alla, ut¨over dessa s˚a fanns det ¨onskem˚al att ha undervisning i geometriska vektorer, vilket ledde till ett p˚ab¨orjat dokument i linj¨ar algebra.
Att skriva f¨orel¨asningsanteckningarna under de f¨orsta veckorna under pro- jetet var v¨aldigt inspirerande vilket jag sj¨alv var ganska ¨overraskad ¨over, jag hade farh˚agor om att detta skulle vara en enformig process, men ef- tersom denna del av projektet var ganska problemfritt s˚a v¨axte dokumen- tet hela tiden. Allteftersom tiden gick s˚a d¨ampades entusiasmen n¨ar det g¨allde skrivandet. Jag k¨ande att jag kommit s˚a l˚angt in arbetet att jag vil- le se ifall studenterna hade n˚agon nytta utav dem. F¨orutom den tillf¨alliga perioden d¨ar arbetsmotivatationen inte var s˚a h¨og, s˚a var skrivandeproces- sen ganska problemfri. Inledningsvis anv¨ande jag programmet Mathematica (Wolfram Research) f¨or att producera de grafer och illustrationer som mina f¨orel¨asningsanteckningar skulle anv¨anda. Jag har tidigare anv¨ant Mathema- tica i andra matematikprojekt, men i det h¨ar projektet var det inte det mest optimala programmet f¨or att skapa illustrationer, t.ex. hade jag pro- blem med att skapa illustrationer av tallinjen. Detta gjorde att jag fick s¨atta mig in LATEX-paketet PSTricks, som ¨ar ett till¨agg f¨or att skapa grafik i pdf- och postscriptdokument. Att s¨atta sig in i PSTricks genererade ingen st¨orre tidsf¨orlust, dessutom s˚ag det mer enhetligt ut.
M˚alet var att mina f¨orel¨asningsanteckningar skulle vara f¨ardiga innan un- dervisningen b¨orjade. Under skrivandets g˚ang att ins˚ag jag att detta skulle vara sv˚art att uppn˚a. Dels f¨or att jag varit f¨or optimistisk med tiden och att det tillkomna ¨onskem˚alet om genomg˚ang av geometriska vektorer. Att f¨orel¨asninganteckningarna inte blev fullst¨andiga ser jag inte som ett nederlag utan att det ¨ar projekt som jag kan vidareutveckla f¨or framtida syften.
3.5 Utf¨ orande av f¨ orel¨ asningar och r¨ akne¨ ovningar
N¨ar undervisningen p˚ab¨orjades vecka 13 var jag framf¨orallt nyfiken p˚a ifall studenterna skulle ha n˚agon nytta av mina f¨orel¨asningsanteckningar. ¨Aven fast det kanske inte m¨arktes under de inledande f¨orel¨asningarna var jag gans- ka nerv¨os eftersom jag inte h˚allt i n˚agon form av undervisning p˚a ett halv˚ar.
Mitt val att h˚alla ner skrivandet p˚a tavlan hade b˚ade f¨or- och nackdelar. Jag m¨arkte ganska tidigt att den t¨ankte planeringen inte skulle h˚alla tidsm¨assigt.
Detta gjorde att jag fick prioritera bort vissa delar av det t¨ankta undervis-
ningmaterialet. Hade f¨orel¨asningarna fokuserat mer tid ˚at att skriva defini- tioner och satser hade det beh¨ovts ta bort ¨annu ytterliggare material.
Det fanns tillf¨allen d¨ar jag v¨ande mig om och kollade vad jag hade skri- vit upp, ofta s˚ag det ostrukturerat ut och troligtvis s˚ag det ¨aven ut s˚a i studenternas egna anteckningar. F¨orhoppningsvis f˚ar jag mer tid tillg¨angligt ifall denna del ska vara kvar i programmet och kan d˚a g¨ora mer utf¨orlig beskrivning av vad jag vill f¨ormedla.
Allteftersom undervisningen p˚agick var det p˚atagligt att n¨arvaron under mina f¨orel¨asningar minskade och minskade. Sj¨alvklart funderade jag p˚a varf¨or detta var fallet och hade ¨aven diskussion med ¨ovriga kursansvariga. N¨arvaron var inget specifikt problem f¨or min egen undervisning utan f¨or hela kursen.
Att kursansvarig uppmanade studenterna att n¨arvaron var en obligatorisk
¨okade dock inte n¨arvaron.
Denna iaktagelse ¨ar intressant ut ett personligt perspektiv. Att f˚a under- visning utan n˚agra som helst krav att prestera ¨ar, enligt mig, ett privilegium.
Mitt intresse f¨or matematik b¨orjade just med att jag deltog i en kurs som jag inte var beh¨orig till men k¨ande ¨and˚a att kursens inneh˚all var relevant f¨or spel- utveckling. Att liknande utfall inte skedde i samband med detta kurstillf¨alle sammanfattas i avsnittet 3.6.
En iakttagelse under f¨orel¨asningarna att studenterna oftast direkt ville ha anknytning till vad de skulle kunna ha f¨or till¨ampningar inom spelutveckling, oftast g˚ar det att ge n˚agot eller n˚agra exempel till vad man skulle kunna ha det till. Dock s˚a finns det omr˚aden inom matematik som man vid vidare studier ˚aterkommer till och jag tror inte jag lyckades f¨ormedla detta till studenterna, ¨aven om det ibland ledde till diskussioner.
N¨ar det g¨aller r¨akne¨ovningarna s˚a ¨ar det att f¨oredra att en annan person ansvarar f¨or dem, eftersom man kan f˚a olika synvinklar p˚a probleml¨osningen.
Men i det h¨ar fallet s˚a blev det jag som fick n¨arvara under r¨akne¨ovningarna.
Under r¨akne¨ovningarna f¨oredrog flera av studenterna att arbeta med sina programmeringslaborationer eftersom de hade utsatta deadlines f¨or dem. Att inf¨ora n˚agon form av delexamation, s˚asom projekt eller seminarie ¨ar n˚agot att t¨anka p˚a i framtiden f¨or att ¨oka motivationen f¨or matematikdelen.
3.6 Kommentarer fr˚ an studenter
F¨oljande kommentarar ¨ar h¨amtade fr˚an den obligatiska kursutv¨arderingen av ME1178 Spelutveckling i 2-D.
”Tyckte det var sv˚art att f˚a tid att r¨akna matten under kursens g˚ang. Det var bra att det fanns matte d˚a det blev enklare att anv¨anda vektorer och r¨akna ut vinklar osv. Man kanske ska zippa ner matte delen s˚a det blir mer de viktigare till sj¨alva 2d utvecklingen och till linj¨ar algebra”
”En bra kurs i sin helhet. Introduktionen/repetitionen av matematiken var ett v¨alkommet inslag i kursen. Hur pass v¨ardefullt det var ¨ar sv˚art att s¨aga i det h¨ar l¨aget, men det visar sej s¨akert i den kursen den skulle f¨orebereda till.
Vad som var trevligt var att ha f¨orel¨asningar utan uppgifter som inte alltid var direkt i anknytning till kursen. Vad som var mindre bra var att vi endast fick en och en halv vecka p˚a till projektet. Det hade varit b¨attre om projektet g˚att genom hela kursen, och ist¨allet f¨or mindre uppgifter ha milstolpar inom projeketet att redovisa varje vecka. Att ha dessa mer eller mindre frivilliga f¨orel¨asningarna under planerade under projektveckan var ocks˚a en d˚alig id´e, det k¨andes som att man hade tillr¨ackligt att t¨anka p˚a utan dom under hela tiden.”
”Det var v¨aldigt jobbigt att ha s˚a mycket matte som vi hade, men hade kanske kunnat sprida ut det p˚a tv˚a kurser ist¨allet. Dels s˚a blev program- meringen lite lidande, och dessutom s˚a hann man inte tr¨ana s˚a mycket p˚a matten s˚a den gav nog inte s˚a mycket som den hade kunnat. I ¨ovrigt s˚a tyckte jag att det var en bra kurs, projektarbetet var v¨aldigt roligt.”
Ovanst˚aende kommentarer sammanfattar den bild b˚ade jag och ¨ovriga kursansvariga hade efter ha utv¨arderat och diskuterat kring hur utfallet av matematiken i denna kurs blev. Matematikdelen var f¨or i ˚ar ett helt nytt inslag f¨or kursen, ifall det blir en best˚aende del i framtiden ˚aterst˚ar att se.
Om s˚a blir fallet s˚a ¨ar f¨orslaget att dela upp matematiken ¨over tv˚a kurser en bra id´e. Men som kommentarerna antyder s˚a har den h¨ar delen
f¨orhoppningsvis givit n˚agra studenterna det som syftet med det h¨ar projektet, att ge dem en inblick hur man kan anv¨anda matematik till att utveckla spel i 2-D samt en f¨orberedelse f¨or vidare studier. ¨Aven om
kommentarerna kanske inte ¨ar representativ f¨or alla deltagare tyder de ¨and˚a p˚a att matematikundervisningen tillf¨orde n˚agra av studenterna kunskap.
3.7 Pedagogik
Som en del av mitt kandidatarbete hade jag planer att l¨asa kursen PE2404 Higher education pedagogy. Dessv¨arre k¨ande jag att jag inte hade tillr¨ackligt
med tid att genomf¨ora detta samt att jag inte blev antagen eftersom jag saknar en kandidatexamen. Men jag har tagit del av stora delar av kursma- terialet och tyv¨arr m˚aste jag erk¨anna det inte tillf¨ort undervisningen n˚agot n¨amnv¨art. Det mesta av materialet bygger p˚a tidigare erfarenheter och ob- servationer och utifr˚an dem ge n˚agon analys p˚a mitt arbete s˚a har jag inte tillr¨acklig erfarenhet. Ett urdrag ur kursmaterialet, (Mazur 1997, s.2)
”For example, after a couple of months of physics instruction, all students will be able to recite Newton’s third law — ‘action is reaction’ — and most of them can apply this law in numerical problems. A little probing beneath the surface, however, quickly shows that many of these students lack fundamental understanding of the law.”
Fysik och matematik ¨ar v¨aldigt lika i m˚anga avseenden och denna iaktagelse gjordes av f¨orfattare efter ett par ˚ars undervisning av samma ¨amne. Att f¨or mig som inte har n˚agon didaktisk utbildning g¨ora liknande observationer ¨ar v¨aldigt sv˚art. Personligen har jag alltid varit intresserad av h¨arledningar och bevis av matematiska formler eftersom jag m¨arkt att den kunskapen oftast tillf¨or mer ¨an vad man anv¨ander dem till g¨or. Vad jag dock kan utl¨asa av mina f¨orel¨asningar var att studenternas syn p˚a matematik var att l¨ara sig anv¨anda den, inte teorin, vilket jag har f¨orst˚aelse f¨or. Egna erfarenheter ¨ar dock att s˚adana kunskaper ¨ar att man ganska omg˚aende gl¨ommer bort den.
Att ge denna undervisning redan i det h¨ar skedet av utbildningen ¨ar ett bra s¨att dock att f¨orebereda studenterna f¨or mer fundamentala matematiska kunskaper inom matematik f¨or spelutveckling.
4 Reflektion
I det h¨ar avsnittet ska jag beskriva hur kandidatarbetet i sin helhet utf¨orts.
Jag kommer att reflektera hur arbetet genomf¨orts i f¨orh˚allande till mitt upp- satta m˚al och hur v¨al jag uppfyllde syftet med projektet.
4.1 Hur v¨ al uppfylldes projektets syfte
Att ge en fullst¨andig utv¨ardering av hur v¨al projektets syfte uppfylldes ¨ar tyv¨arr om¨ojligt p˚a grund av otillr¨acklig information. Att ge en bild baserad p˚a kursutv¨arderingarna och studententernas kommentarer skulle inte vara en r¨attvis bild eftersom de kommer fr˚an av en br˚akdel av de deltagande studenterna. ¨Aven att ge en utv¨ardering kring f¨orel¨asningarna, d¨ar n¨arvaron inte var tillr¨acklig h¨og, skulle inte heller den vara r¨attvis.
Kommentarerna fr˚an kursutv¨arderingen uppfyller dock de tankar vi hade med inf¨ora matematikundervisning redan under det f¨orsta l¨as˚aret, att in- troducera till¨ampningar av matematik i spelutveckling samt f¨orbereda inf¨or kommande studier i linj¨ar algebra.
Tankarna kring att ge en vidgad syn p˚a matematikundervisning upplevde jag som relativt lyckat. Under f¨orel¨asningarna och r¨akne¨ovningarna uppstod med j¨amna mellanrum diskussioner om hur man skulle kunna anv¨anda ma- tematik inom spelutveckling och jag tror att om man ibland kan g˚a ifr˚an den traditionella presentationen av problemframst¨allningen, s˚a kan man f˚a fler icke-intresserade att motiveras att l¨ara sig matematik.
4.2 Hur v¨ al uppfylldes projektets m˚ al
Mina f¨orhoppningar var att jag skulle producera ett komplett kompendium med de teman som undervisningen skulle inneh˚alla. Mina f¨orel¨asninganteckningar
¨ar i dagsl¨aget inte helt f¨ardigst¨allda. Men jag ser dem som ett levande projekt eftersom jag efter undervisningen f˚att tankar om att revidera vis- sa delar av dem. Ut¨over detta s˚a har jag p˚ab¨orjat ett annat projekt med f¨orel¨asningsanteckningar i linj¨ar algebra, ifall dessa har en framtid f¨or vida- reutveckling beror p˚a ifall jag f˚ar fortsatt f¨ortroende f¨or den delen av utbild-
ningen under h¨ostterminen 2011.
4.3 Diskussion och framtid
Att arbeta med det kandidatarbetet har varit v¨aldigt omv¨axlande k¨anslom¨assigt.
Att det under skrivandeprocessen vara v¨aldigt inspirerad av arbetet till att uppleva en mer demoraliserande period under f¨orel¨asningarna d¨ar n¨arvaroniv˚an inte var s˚a h¨og som vi hoppats p˚a. Avslutningsvis ¨ar jag ganska n¨ojd med projektet med avseende p˚a de kommentarer som kursutv¨arderingarna gav.
Att ha undervisning av matematik p˚a det h¨ar s¨attet var nytt b˚ade f¨or Digitala Spel och f¨or mig s˚a det finns otroligt mycket att dra l¨ardom av. Att planera in undervisningen matematikundervisning samtidigt som program- meringslaborationer och projekt var mindre lyckat. N˚agra av de saker jag har tagit l¨ardom av ¨ar att vara mer strukterad under mina f¨orel¨asningar samt att l¨agga in material i mina f¨orel¨asninganteckningar, s˚asom ¨ovningar, f¨or att f˚a studenterna att anv¨anda dem.
Ifall det finns n˚agon framtid av liknande undervisning ˚aterst˚ar att se och ligger utanf¨or mitt beslutsomr˚ade. Personligen anser jag att matematikun- dervisning p˚a programmet ¨ar n¨odv¨andigt. F¨or att dra paralleller med de
¨ovriga utbildningarna p˚a Blekinge Tekniska H¨ogskola, s˚a inneh˚aller utbild- ningsprogrammet Civilingenj¨or i spel- och programvaruteknik, BTH 2011a, kurser totalt inneh˚allandes matematik- och fysik 45 h¨ogskolepo¨ang, medans utbildningsprogrammet Spelprogrammering, BTH2011b, inneh˚aller motsva- rande 30 h¨ogskolepo¨ang, ut¨over detta finns det m¨ojlighet till valbara kurser inom matematik. Jag har sj¨alv l¨ast de flesta av dessa kurserna av eget intresse och det finns mycket kursens inneh˚all som ¨ar intressant ur en spelutveckla- res perspektiv. Dessutom ˚aterkommer de grundl¨aggande delarna i en mer avancerad framst¨allning.
Jag anser att p˚a Blekinge Tekniska H¨ogskola s˚a skiljer sig Campus Karls- hamn en hel del fr˚an Campus Gr¨asvik och ¨aven H¨ogskolan i Halmstad d¨ar jag ocks˚a studerat, n¨ar det g¨aller syn p˚a hur man genomf¨or projekt. P˚a Campus Karlshamn ¨ar det mer fokus p˚a resans v¨ag mellan id´e och f¨ardig produkt ¨an de andra tv˚a, som fokuserar mer p˚a teorin. Jag tror att f¨ors¨oka en blandning
mellan dessa tv˚a olika syns¨att skulle skapa ett intressant programuppl¨agg.
Att genomf¨ora det h¨ar projektet har varit en v¨aldigt ensamt projekt.
Jag har under projektets tid inte f˚att n˚agon utf¨orlig kritik eller feeedback kring mina f¨orel¨asningsanteckningar. Avsaknaden av kompentens inom det- ta omr˚ade p˚a campuset har gjort att jag har haft sv˚art att veta ifall det jag gjort har varit bra eller d˚aligt.
Referenser
BTH (2011a). Utbildningsplan f¨or Civilingenj¨or i spel- och programvarutek- nik, 300 h¨ogskolepo¨ang. url: http://edu.bth.se/utbildningsplaner/
PAACI_ht-11.pdf.
— (2011b). Utbildningsplan f¨or Spelprogrammering, 180 h¨ogskolepo¨ang. url:
http://edu.bth.se/utbildningsplaner/DVGSP_ht-11.pdf.
Lengyel, E (2001). Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics. Charles River Media.
Mazur, E (1997). Understanding or memorization: Are we teaching the right thing?
Nyqvist, R och M Andersson (1999). Om bevis. url: w3.msi.vxu.se/~bni/
bevis.pdf.
Persson, A och L.C B¨oiers (2001). Analys i en variabel. Studentlitteratur.
Skolverket (2008). TIMSS 2007: F¨ors¨amrade resultat i matematik f¨or svenska elever. url: http://www.skolverket.se/sb/d/2544/a/14285.
Bilaga 1: Tidsplan
Tidsplan
P˚a grund av diskussion kring mitt projekt s˚a p˚ab¨orjades mitt arbete vecka 6. Nedanst˚aende punkter ¨ar de delm˚al jag vill uppn˚a f¨or respektive vecka.
• Vecka 6
Kapitel 1 i f¨orel¨asningsanteckningarna f¨ardigst¨allda.
• Vecka 7
Kapitel 2 i f¨orel¨asningsanteckningarna f¨ardigst¨allda.
• Vecka 8
Kapitel 3 i f¨orel¨asningsanteckningarna f¨ardigst¨allda.
• Vecka 9
Kapitel 4 i f¨orel¨asningsanteckningarna f¨ardigst¨allda.
• Vecka 10
Kapitel 5 i f¨orel¨asningsanteckningarna f¨ardigst¨allda.
N¨ar undervisningen b¨orjar ser planeringen ut som f¨oljer
• Vecka 12
F¨orelasning 1: Algebra och ekvationslosning F¨orelasning 2: Algebra och ekvationslosning
• Vecka 13
F¨orelasning 3: Trigonometri F¨orelasning 4: Trigonometri
• Vecka 14
F¨orelasning 7: Komplexa tal F¨orelasning 8: Komplexa tal
• Vecka 15
F¨orelasning 7: Gr¨ansvarde och derivata F¨orelasning 8: Gr¨ansvarde och derivata
• Vecka 15
F¨orelasning 9: Integraler F¨orelasning 10: Integraler Min planering f¨or resterande tid ¨ar
• Vecka 17 P˚ab¨orja slutreflektion
• Vecka 19 Slutreflektion f¨ardigst¨alld
• Vecka 21 Opponering
• Vecka 22 Exmination
Bilaga 2: Ordlista
axiom P˚ast˚aende som antas vara sant, utan att det beh¨over bevisas. (Nyqvist och Andersson 1999)
ekvation Matematisk uttryck med en eller flera ok¨anda variabler definition Ett kortare uttryckss¨att f¨or ett begrepp. Till exempel
ben¨amns alla trianglar d¨ar en vinkel ¨ar 90◦, f¨or r¨atvinkliga.
(Nyqvist och Andersson 1999) linj¨ar algebra L¨aran om ekvationssystem
sats P˚ast˚aende som ¨ar en logisk f¨oljd av axiom och andra tidigare bevisade satser. M˚aste bevisas.
(Nyqvist och Andersson 1999) trigonometri L¨aran om vinklar och trianglar
