ALLMÄNNA VEKTORRUM
VEKTORRUM
Definition
Mängden V sägs vara ett reellt vektorrum om det finns
i) en additionsoperation som till varje 𝒖𝒖 ∈ 𝑉𝑉 och 𝒗𝒗 ∈ 𝑉𝑉 ordnar 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 ∈ 𝑉𝑉
ii) en operation kallad multiplikation med skalär som till 𝒖𝒖 ∈ 𝑉𝑉 och 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 ordnar 𝑎𝑎𝒖𝒖 ∈ 𝑉𝑉 som uppfyller följande villkor (axiom) för alla 𝒖𝒖, 𝒗𝒗, 𝒘𝒘 ∈ 𝑉𝑉 och alla 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 :
1. Om u∈V och v∈V så gäller u+v∈V ( slutenhet under addition)
2. Om ∈a R och u∈V så gäller au∈V ( slutenhet under skalärmultiplikation) 3. u+v = v+u
4. (u+v)+w = (u+v)+w
5. Mängden V innehåller ett nollelement ( nollvektor) 0 som för alla 𝒖𝒖 ∈ 𝑉𝑉 uppfyller 𝒖𝒖 + 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 + 𝒖𝒖 = 𝒖𝒖
6. För varje u∈V existerar det ett element – u∈V så att u+(– u)=0
7. a( u+v)= au+av 8. (a+b)u= au+bu
9. (𝑎𝑎𝑏𝑏)𝒖𝒖 = 𝑎𝑎(𝑏𝑏𝒖𝒖) = a(bu) 10 1u= u
Några exempel på vektorrum:
1. Låt 𝑽𝑽 = 𝑹𝑹𝒏𝒏 där 𝑹𝑹𝒏𝒏 är mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs
𝑹𝑹𝒏𝒏 = {(𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛) 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑎𝑎1, … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∈ 𝑹𝑹}
med addition och skalär multiplikation definierad som vanligt
(𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛) + (𝑏𝑏1, 𝑏𝑏2, … . , 𝑏𝑏𝑛𝑛) = (𝑎𝑎1+ 𝑏𝑏1, 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2, … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛+ 𝑏𝑏𝑛𝑛) ∈ 𝑹𝑹𝒏𝒏 𝜆𝜆(𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛) = (𝜆𝜆𝑎𝑎1, 𝜆𝜆𝑎𝑎2, … . , 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑛𝑛) ∈ 𝑹𝑹𝒏𝒏
Nollvektorn i rummet är (0,0, … . ,0).
Det är enkelt att alla villkor ( axiom ) 1-10 är uppfyllda och 𝑽𝑽 = 𝑹𝑹𝒏𝒏 är ett vektorrum.
2. Om V innehåller exakt ett element som vi betecknar med 0, med räkneoperationer 𝟎𝟎 + 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 och = 𝟎𝟎.
då är V ={0}ett vektorrum.
3. Låt M22 vara mängden av alla 2 × 2 matriser med matrisaddition och multiplikation med skalär definierade som vanligt. Då är M22 ett vektorrum.
Nollvektorn i rummet är nollmatrisen �0 00 0�. ( Kontrollera att alla axiom 1-10 är uppfyllda.)
4. Låt Mmn vara mängden av alla 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 matriser med matrisaddition och multiplikation med skalär definierade som vanligt. Då är Mmn ett vektorrum.
Nollvektorn i rummet är nollmatrisen 𝑂𝑂𝑚𝑚×𝑛𝑛.
5. Låt Pn vara mängden av alla polynom av grad ≤ 𝑛𝑛. Summan av två polynom av grad
≤ 𝑛𝑛 är ett polynom grad ≤ 𝑛𝑛 och multiplikation av ett sådant polynom med ett konstant tal är igen ett polynom av grad ≤ 𝑛𝑛.
Nollvektorn i rummet är polynomet 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ≡ 0 (P(x) är identiskt 0, dvs 0 för alla x).
Det är enkelt att kolla att alla axiom 1-10 är uppfyllda, alltså är Pn ett vektorrum.
6. Låt 𝐹𝐹(−∞, ∞) vara mängden av alla reella funktioner med addition och multiplikation med skalär definierade på vanligt sätt.
(f+g)(x) =f(x)+g(x) och (λf)(x)= λ(f(x)) för alla x Då är 𝐹𝐹(−∞, ∞) ett vektorrum.
Nollvektorn i rummet är funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≡ 0.
7. F[a,b] . Mängden av alla reella funktioner definierade på [a,b] är ett vektorrum.
8. 𝐶𝐶(−∞, ∞)Mängden av alla reella kontinuerliga funktioner definierade på (−∞, ∞)är ett vektorrum.
9. C[a.b] Mängden av alla reella kontinuerliga funktioner definierade på[a.b] är ett vektorrum.
UNDERRUM
En delmängd W till ett vektorrum V kallas för ett underrum om W är ett vektorrum med den addition och den multiplikation med skalär som gäller i V.
Definition. Låt W vara en delmängd till vektorrummet V. Mängden W är ett underrum till V om och endast om följande tre villkor är uppfyllda:
Vilkor1: 𝟎𝟎 ∊ W ( nollvektorn tillhör W) Vilkor2: u, 𝒗𝒗 ∊ W ⇒ 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 ∊ W
( om u, v tillhör W då summan u+v tillhör också W , vi säger att W är sluten under addition )
Vilkor3: (𝒖𝒖 ∊ W , λ ∊ R) ⇒ λ𝒖𝒖 ∊ W
( om u tillhör W då λ u tillhör också W för varje skalär λ , vi säger att W är sluten under multiplikation med skalär)
Anmärkning1: Definitionen utesluter inte att W=V .
Exempel 1.
Bestäm om följande mängder är underrum i R4
a) W1 är mängden av alla vektorer i R4 som har första och tredje koordinaten =0, dvs
W1 = {(0, 𝑥𝑥, 0, 𝑦𝑦), 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅} (∗)
b) W2 är mängden av alla vektorer i R4 som har första och tredje koordinaten =1, dvs W2 = {(1, 𝑥𝑥, 1, 𝑦𝑦), 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅}
Lösning:
a) Om vi väljer x=0 och y= 0 i (*) får vi att ser vi att nollvektorn (0,0,0,0) ligger i W1 och därmed är Villkor1 ( i definitionen för underrum) uppfylld.
Vi testar Villkor2
Vi antar att 𝒖𝒖, 𝒗𝒗 ∊ W1 dvs 𝒖𝒖 = (0, 𝑥𝑥1, 0, 𝑦𝑦1) och 𝒗𝒗 = (0, 𝑥𝑥2, 0, 𝑦𝑦2)
Då gäller u+v = (0, 𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥2, 0, 𝑦𝑦1+ 𝑥𝑥2) ∈ W1 ( för första och tredje koord. är 0) och Villkor2 är uppfylld ( Vi säger att W1 är sluten under addition).
Nu kontrollerar vi Villkor3
Vi antar 𝒖𝒖 ∊ W dvs 𝒖𝒖 = (0, 𝑥𝑥, 0, 𝑦𝑦). Då, för ett tal λ ∊ R , vi har λ𝒖𝒖 = (0, λ𝑥𝑥, 0, λ𝑦𝑦) ∈ W1 ( för första och tredje koord. är 0)
och Villkor3 är uppfylld ( Vi säger att W är sluten under multiplikation med tal).
Eftersom Villkor1, Villkor2 och Villkor3 är uppfyllda är mängden W1 ett underrum till V.
Svar a) W1 är ett underrum till V.
b) Vi antar att 𝒖𝒖, 𝒗𝒗 ∊ W2 dvs 𝒖𝒖 = (1, 𝑥𝑥1, 1, 𝑦𝑦1) och 𝒗𝒗 = (1, 𝑥𝑥2, 1, 𝑦𝑦2)
Då gäller 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 = (2, 𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥2, 2, 𝑦𝑦1+ 𝑥𝑥2) ∉ W2 eftersom koordinater på första och tredje plats är 2 och inte 1 som i mängden W2. Med andra ord summan av två element i W2 hamnar utanför W2. Villkor2 är inte uppfylld och därför W2 är INTE ett
underrum till V. ( Lägg märke till att varken Villkor1 eller Villkor3 är uppfylld) Svar b) W2 är INTE ett underrum till V.
Exempel 2.
Bestäm om följande mängder är underrum i M23 där M23 betecknar vektorrummet av alla 2 × 3 matriser.
a) W1 är mängden av alla alla 2 × 3 matriser som har 0 på platsen i=2, j=3 dvs
W1 = ��𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3
𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 0 � 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑥𝑥𝑘𝑘 ∈ 𝑅𝑅�
b) W2 är mängden av alla alla 2 × 3 matriser som har 5 på platsen i=2, j=3 dvs
W2 = ��𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3
𝑥𝑥4 𝑥𝑥5 5 � 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑥𝑥𝑘𝑘∈ 𝑅𝑅�
Svar a) W1 är ett underrum till V.
Svar b) W2 är INTE ett underrum till V ( summan av två element i W2 har 10 och inte 5 på platsen i=2, j=3}.
Exempel 3.
Bestäm om följande mängder är underrum i P4 där P4 betecknar vektorrummet av alla polynom av grad ≤ 4
a) Alla polynom 𝑎𝑎0+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2+ 𝑎𝑎3𝑥𝑥3 + 𝑎𝑎4𝑥𝑥4 med 𝑎𝑎2 = 0.
b) Alla polynom 𝑎𝑎0+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2+ 𝑎𝑎3𝑥𝑥3+ 𝑎𝑎4𝑥𝑥4 med 𝑎𝑎2= 1.
Svar a) Underrum Svar b) Ej underrum
LINJÄRT BEROENDE OCH OBEROENDE VEKTORER Definition
Låt V vara ett vektorrum. Vektorerna 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 är LINJÄRT OBEROENDE om 𝜆𝜆1𝒗𝒗1+ 𝜆𝜆2𝒗𝒗𝟐𝟐+ ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛𝒗𝒗𝒏𝒏 = 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 ⇒ 𝜆𝜆1 = 𝜆𝜆2 = 𝜆𝜆𝑛𝑛 = 0.
( dvs ekvationen har endast den triviala lösningen)
Därmed är vektorerna 𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2, … 𝑣𝑣𝑛𝑛 LINJÄRT BEROENDE om ekvationen 𝜆𝜆1𝒗𝒗1+ 𝜆𝜆2𝒗𝒗𝟐𝟐+ ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛𝒗𝒗𝒏𝒏 = 𝟎𝟎 (𝒆𝒆𝒆𝒆𝒗𝒗𝟏𝟏)
har icketriviala lösningar ( dvs om det finns en lösning där minst ett 𝜆𝜆𝑘𝑘 ≠ 0 ) och därmed minst en vektor bland 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 är en linjär kombination av andra vektorer.
Exempel 4.
Är följande tre vektorer linjärt oberoende?
=
2 0 0 1 0
u
=
1 1 1 0 0
v och
=
2 0 1 0 0
w .
Lösning:
Enligt definitionen, vektorerna u , v , w är oberoende om ( och endast om) ekvationen 0
+yv+zw= u
x (*)
har endast den triviala lösningen x=0, y=0, z=0.
⇒
=
+
+
0 0 0 0 0
2 0 1 0 0
1 1 1 0 0
2 0 0 1 0
z y x
⇒
=
=
=
=
=
+ +
= +
0 0 0 0 0
2 2
0 0
z y x
y z y
x
,
Alltså har ekvationen (*) endast den triviala lösningen x=0, y=0, z=0 och därför är vektorerna u , v , w oberoende.
Exempel 5.
a) Är följande tre vektorer linjärt oberoende?
b) Om vektorerna är beroende bestäm maximalt antal linjärtoberoende vektorer bland dem.
c) Om vektorerna är beroende skriv en vektor som en linjär kombination av andra vektorer
= 2 0 1 1 u
= 1 0 2 1
v och
= 5 0 4 3
w .
Lösning:
Vektorerna u , v , w är oberoende om ( och endast om) ekvationen 0
+yv+zw= u
x
har endast den triviala lösningen x=0, y=0, z=0.
⇒
= + +
=
= + +
= + +
⇒
=
+
+
0 5 2
0 0
0 4 2
0 3
0 0 0 0
5 0 4 3
1 0 2 1
2 0 1 1
z y x
z y x
z y x z
y x
( Vi byter plats på tredje och fjärde ekv.)
⇒
=
= + +
= + +
= + +
0 0
0 5 2
0 4 2
0 3
z y x
z y x
z y x
⇒
=
=
−
−
= +
= + +
0 0
0 0
0 3
z y
z y
z y x
=
=
= +
= + +
0 0
0 0
0 0 3 z y
z y x
Systemet är lösbart, med två ledande variabler x, y och en fri variabel, z=t.
Lösbart system och minst en fri variabel implicerar oändligt många lösningar.
( z = t , y = – t, x = – 2t )
I vårt fall betyder detta att vektorerna är beroende.
c) xu+ yv+zw =0 ⇒−2tu−tv+tw =0 för alla t. Vi förkortar med t eller t ex substituerar t=1och får en linjär kombination
0 ,
0 ,
0 = =
= y z
x
0 2−+ =
− u v w
Härav w =2u+v ( d v s w är en linjärkombination av u och v) Svar a) Vektorerna u , v , w är beroende.
b) Maximalt antal linjärt oberoende vektorer bland dem är 2 ( 2 ledade variabler) . c) w =2u+v
Exempel 6.
Låt u och v vara två linjärt oberoende vektorer i ett vektorrum V.
Bestäm om a och b är linjärt oberoende där i) a = u + v och b = u – v
ii) a = u + v och b = 2u +2 v
i) Lösning: xa +yb=0 ⇒ x(u+v) +y(u–v) =0 ⇒ (x+y)u +(x–y) v =0 (*) Eftersom 𝒖𝒖 och 𝒗𝒗 är enligt antagande oberoende (*) är möjligt endast om
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 0 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 0 Systemet har endast den triviala lösningen x=0 och y=0.
Därför är a och b linjärt oberoende vektorer.
ii) Lösning: xa +yb=0 ⇒ x(u+v) +y(2u+2v) =0 ⇒ (x+2y)u +(x+2y) v =0 (*) Eftersom 𝒖𝒖 och 𝒗𝒗 är enligt antagande oberoende (*) är möjligt endast om
𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0 Systemet har oändligt många lösningar (x=–2t och y=t) Därför är a och b linjärt beroende vektorer.
Anmärkning: Det är uppenbart att a och 2b Exempel 7.
Vi betraktar M23 , vektorrummet som består av alla 2 × 3 matriser.
a) Är följande tre ”vektorer” linjärt oberoende?
b) Om vektorerna är beroende bestäm maximalt antal linjärtoberoende vektorer bland dem.
c) Om vektorerna är beroende skriv en vektor som en linjär kombination av andra vektorer
u = �1 1 12 2 2� , v = �4 3 22 2 2� och w= �5 4 34 4 4�. Lösning:
𝑥𝑥𝒖𝒖 + 𝑦𝑦𝒗𝒗 + 𝑧𝑧𝒘𝒘 = 𝟎𝟎 ⇒ 𝑥𝑥 �1 1 12 2 2� + 𝑦𝑦 �4 3 2
2 2 2� + 𝑧𝑧 �5 4 3
4 4 4� = �0 0 0 0 0 0� ⇒ Vi förenklar och identifierar element i matriserna på båda sidor:
𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 5𝑧𝑧 = 0 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = 0 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 0 2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = 0 2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = 0 2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = 0 Gausselimination ger
𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 5𝑧𝑧 = 0 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = 0 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 0 𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 5𝑧𝑧 = 0
𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = 0 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 0
================
𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 5𝑧𝑧 = 0 −𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 0 −2𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 0
0 = 0 −𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 0 −2𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 0 ================
𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 5𝑧𝑧 = 0 −𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 0
0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0
a) Alltså har homogena systemet oändligt många lösningar ( z=t, y=–t, x=–t ) och därmed är
”vektorerna” ( dvs matriser betraktade som element i vektorrummet ) LINJÄRT BEROENDE.
b) Maximalt antal linjärt oberoende vektorer bland dem är 2 ( 2 ledande variabler).
c) Vi har nu
𝑥𝑥𝒖𝒖 + 𝑦𝑦𝒗𝒗 + 𝑧𝑧𝒘𝒘 = 𝟎𝟎 ⇒
−𝑡𝑡𝒖𝒖 − t𝒗𝒗 + 𝑡𝑡𝒘𝒘 = 𝟎𝟎 ( för alla reella tal t ) ⇒ Om vi t ex tar t=1 har vi
−𝒖𝒖 − 𝒗𝒗 + 𝒘𝒘 = 𝟎𝟎
och vi kan uttrycka t ex w som en linjär kombination av u och v
𝒘𝒘 = 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 Exempel 8.
Låt P4 vara vektorrummet av alla polynom av grad ≤ 4. Bestäm om följande
”vektorer” (polynom) är linjärt oberoende.
𝑖𝑖) 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 2, 𝑞𝑞(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥, 𝑟𝑟(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 2, 𝑞𝑞(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥, 𝑟𝑟(𝑥𝑥) = 4 + 3𝑥𝑥 a) Lösning:
𝑎𝑎𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 𝑏𝑏𝑞𝑞(𝑥𝑥) + 𝑐𝑐𝑟𝑟(𝑥𝑥) ≡ 0 ⇒ 2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐(𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2) ≡ 0
⇒ 2𝑎𝑎 + (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑥𝑥2 ≡ 0
Polynom är 0 för alla x (identiskt lika med 0) endast om alla koefficienter är 0 och därför har vi 𝑎𝑎 = 0,
𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 𝑜𝑜𝑐𝑐ℎ 𝑐𝑐 = 0
Därmed 𝑎𝑎 = 0, b=0 och c=0 ( endast triviala lösningen).
Svar i) ”Vektorerna” dvs polynomen 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 2, 𝑞𝑞(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥, 𝑟𝑟(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 är linjärt oberoende
Svar ii) Beroende ( vi ser omedelbart att r(x) = 2p(x) +3q(x) ).
Tentamen 11 jan 2021 (Uppgift 6)
