ELEMENTIS LOGICA

(1)

D. D.

DISSERTATIO

EXHIBENS

SPECIM1NA LOGICA

EX

ELEMENTIS EUCL1DJS

ERUTA QUAM

CONSENT. AMPL.PAC. PHIL. IN REG. ACAD.UPS.

PUBLICE VENTILsiNDAM

DAN· HALLENCRE,

Phil. Mag. Astronomie Docens

Et RESPONDENS

STIPENDIAT REG.

BENEDICTUS ]OH. BERGMAN.

Vermlandus.

IN AUDIT. GUST. D. XXII JUN. MDCCLXVHI.

Η. A, M. 51

UPSALljE,

Apud^Johan. Edman, Reg, Acad. Typogi.

(2)

Geometria igitur hahenda efl tanquam fpecies quaedam

fcientiuniverfalis,

^qua ingenium acui-

tur _y attentum redditurt & eo tndußria qdducitur^

ut imaginationern temperet³ & ex ea

auxilium ß-

bi neceffarium mutuetur; namque Geometrin ope

mens irnaginationis motum temperat, cr imagina*

i/o moderata vifum& applicationem mentis

fußinet.

Maklranche de lnquir, Veritate L. VI.ρ.ρ.οι.

(3)

5. ι.

is mille jam intercefleruntanni,

& quod excurrit, poftquam in

lucem prodierunt egregia illa

Euclidis Elementa, quas hodi-

erno etjamnum temporeufum

fuum late diffundunt. Contigic Euclidi,quodnefcio ^an uili alii,

tradidifle pofteritati id opus,

quod

a

variis dum

^tot

feculorum ingeniis

excellentisfimis & maxime

ex-

cultis le&um examinatumque

fuit:

quod iimul dum

alia tum majoris tum

fuae setatis fcripta,

ne

di-

cam plurima quae

multis praecedit annis, ob levi-

tatem partim momentorum quae continent, penitus

abolica funt, partim ob

vel langvidam vel

a

refta

via aberrantem expofitionem

abfoluerunt, forte

^u-

nicum ^setatem tulit, confpicuum femper utrlitate, praeftantia, au&oritate.

Penitius

in rem ii

intro-

fpexerimus, in cauifas inquirentes ob quas tot

cir-

A cum

(4)

«#t ) 2 ( !<&*

cumagentibas annis

fuum Elementis hifce conilare

potuit pretium; eas

inde foium pecendas eiie vide»

bimus, quod in

hoc

opere

eniteae ubique ingenii

acumen maximum, pulcherrimus ordo, rerum expiicandarum fele&us & admirandus nexus; ve- ritaces autem traditse fmt, non falfa fpecie fallen¬

tes, fed nudae ab evidentisfimis principiis deduftae juftas fecundum

regulas. Ha?c enim in elementis

fuis Euclides dum confpicienda praebuit, fe qui-

dem celebrem docuit eife Mathematicum, traden-

tem ea, qua?

Mathematicis femper ufui

forent

&

aceepta, at Logicum

iimul profe&o iniignem

^,

in

tradendo diligenter

obfervantem

ea qua?

Logicis

praeceptis

conveniunt:

quo

fa£tum eil

ut

Philofo;

phia Rationalis,

unde

non pauca

petita func,

qua

exiftimarum nonnulli tanquam menda objici poiTe

Elementis Euclideis, his ipfa plerumque fuppedita-

ret arma fat valida ad objeöiones iilas repellendas, Equidem nen nego

Mathematicis

quoque

vifa fu-

ifTe

qusedam in Eucliden animadvertenda,

qua? ve-

ro Geometris potius argutint incrementa ^, & de

fide Elementis Euclideis habenda ^nen detrahunc.

Ha?c jam adferre &

explicare valde quidem

mihi

arrideret, meum vero quum vetet propofitum, ad

illa memet accingo, in hac differtatione exponen- da 3

fpecimina

nempe

Logka

quae

in Elementis Eu-

clidis occurrunc. Quod ii ergo, L. B. five Lo- gices

qusdåm

argumenta,

five animadverfiones in

Eucliden fa&as, ad Logicam quodammodo referen¬

das inveneris a me filentio

efie

^prsterita, attendas

velim

(5)

) 3 ( !#*

velim ea plures iibi prarilruere

difcurfus Mathe«

maticos, intellellu quidem faciles, a

Logica

vero

longius recedentes, eamque

ob cauifam in hocce

opufculo non potuiffe locum obtinere,

§. IL

Quem in communicandis eogitatis iuis Eucli-

des fecutus eil ordo ii in afpe&um venerk, tam

certe is pulcher atque aptus

apparebit,

quam

qui

pulcherrimus aptisiimusque.

EvitaiTe videbimus

^e-

um omnia contemplationum obje&a, qux non a*

podiftice

demonftrari poffunt, euminmodum,

^ut

a fimplicioribus &

facilioribus ad compoiita & dif-

ficiliora progrediendo, primo ante

oculos pofue*

rit veritates generalisiimas cuique

obvias,

quas

fua

fponte ^mens

affirmat, deinde

ex

his immediate

confequentes

adtulerit,

atque

fic

^porro

quafi

^per

fcalam ad veritates magis implicitas argumentatus (it. Nulla quoque patebic

adhibnifle

^eum

vocabula,

quorum vel vagns eil figniiicatus,

vel

non

perfe&e

notus, nec praspofitae rei

imifcuiiTe aliqna,

quae

ad

indagandam veritatem non

fpe£lent; verbo obier-

vafle _{omnia qus}

fecundum Logicos juilae&

^natura¬

lis methodi notam ingrediuntur. Rerum nempe ä

fe confiderandarum definitiones juftas fuis definitis

nec anguitiores nec latiores primas exhibet, ita ut

a pun£lo & lineis re£lis incipiendo ad figuras pla¬

nas & hinc _ad folidas progrediatur.

Secundum

regulas divifionis lineas re&as pro (itu fuo auc pa- rallelo aut perpendiculari confiderat, figuras

pla¬

nas dividit in trilateras, quadrilateras,

&c. trila-

A 2 teras

(6)

«g ) 4 ί §&■

teras vero tanquam genus

infenas

in

fäas fpecies

arqudateras, Ifoicelias, Scalenas, Re&angJas ^, Am- blygonias, Oxygonias, eum in modnrn, ut di^vi-

fum nec plus nec minus comple&acur, quam mern«

bra dividencia fimul fumta, in quavis vero fpecie

inveniaeur nota generis cum differentia fpecifica.

Nec non aeque diligenter eum obfervafie regulas

definitionum & divifionum in figuris folidis defini·

cndis dividendisque patetj, pro obtinenda ^{vero ma-} jori perfpicuitate ^, fphxrarum, cylindrorum Sc

conorum definitionen geneticas dedidiffe. Definitio·

nes fubfequuntur pofhilata & ^communes ^{quas vo-}

cat notiones feu axiomata, quae ut propofitiones

efle debent vel pra&icae vel chroreticae indemon- ftrabiles, ita ab Euclide traditae funt tales, ut ve·

ritas, quam pra fe ferunt, omnibus ftatim pateat

& demonftratione non egeat. Atque hifce pra.

misfis progreditur ad propofitiones demonftrabiles,

Problemata vel Theoremata, _{quae eo} ordine fe in·

vicem excipiunt, ut unumquodque illorum eum

plerumque occupec locum, ubi & ^ex antecedenti-

bus probatur & fequentibus demonilrandis inier·

vit, _eumque in modum omnia, quo fieri potuit

aräisfimo

demonftrationis nexu concatenata fint.

$. III.

Videbimur vero forte plus jufto Eucliden lau- dafie, dicentes eum non adhibuiile terminos nifi fixos, & definidones dedifie juftas, quum, quaede

rebus hifce exortae funt difceptationes aliud teilen·

tur. Quod fi vero de terminorum fignificatu qu*- dam

(7)

·$$ ) )* ( $&·

dam fuetint dubia , hxc non Euclidi fed mala* ^in*

terpretadoni textus

Graeci adlcribenda effe cente¬

rnus. Quod enim e. g. oföoyuviov ιπο AB. Βf.

Scaliger interpretatur Refitanguium fub

AB. BC.

Meibomius vero Reffunguium ab AB. BC. ea qui-

dem hoc in cafu pari pailu ambulant, dum ^nem«

pe reöangulum

fimul

enuntiacur;

quod

vero

Mei¬

bomius το ιπο & το απο indifferenter explicat per Lacinorum a vei ab _atque fic reddit

fenlum

ambi«

guurn, non certe

Euclidi adfcribendum. Ut enim

monent Savilius a) & Vallifius b) in eo fibi ^co*n-

ftans eft Euelides, uc dum dicat fimpliciter το απο Αθ το ιπο Böfin priori cafu intelJigat quadratum ab

AÖ _taquam radice oriundum, in poiteriori auteni indicet re&angulnm

fublineisBÖ, öfcontentum

ficuc

&Euclides diitingvens vocem

άπτεσαι ab εφάπτε¬

σαι, crimen obicuri fenfus a te derivavit in Com- mandinum, qui hanc diftin&ionem in veriione fua

non obfervat. Alias hujus furfuris

animadverfio-

nes in terminos , quibus utitur

Euclides adfere

non e re efie arbitramur; ipfa ^namque clementa

fuam evidentiam fatis tueri videntur, quamobrem

nos accingimus ad conftderandamdefinitionein τ&

>oyx rctionis _quam Euclides condidit

iequentem:

ληοσ εςιδυο μεγε$ων ομογενών Yj κατα π%λικοτ%τα

πςος αλ?7]λα^ποια _σχεσι*. Nota generis in

hac de-

finitione eil δύο peyeSuv ποια σχεσις; cui

vocabulo

vifa eit nulla reipondere notio.

Aliud

vero cre·

Α 3

dendum

a) Pra:le& in Eucl

b) Opera Mathm. T. 2.

(8)

•*ff ) Μ, »

dendum ed ίϊ faltem fides habenda Svids, qui

fH σχεσισ, inquit,

επί

ιών

Zfdtrri λέγεται

^{^}

οΐον itgb®

TTOCTSfot νιος φιλον φίλος.Ύαντα yotq

xod i

χει χαι εχεται οπΐ αλλήλων,

διό

χαι

σχέσεκτ

πξορείξψται ,

ΐίξός δε τ( εισιν χμ τet χατα σνγχζίσιν

λεγόμενα:

οίον

μιχ^όν μέιζον\, διπλασιον

χκί

επιςήμη

χαί άι&ησις

^c

)

Communis ed & Caeis opinor nota formula ioquen- di: hcec vel illa res ita fe habet ad alteram; quid-

ni etjam ex verbo formantes.nomen fubdantivum

dicere poiTumus ha?c efl hujus vel illius rei ad al¬

teram habitudo vel _σχεσισ? Propoiitis nempe dua-

bus magnitudinibus, omne

id

quod iis competit

& efficit ut eas comparare queam ^, vel videam quomodo fe habeat altera ad alteram ^, dicitur il-

larum habitudo, feu ut ait Domin: de la Caiile ^.·

La maniere dont Γ une de deux quantites ed å

Γ egard de I' autre d )

cujus

de notio

ulterius

de-

terminari nequit, quum pro varia obje&orum in-

dole varier. Magnitudines autem dcuti funt vel homogenes

vel

heterogenes,

ita

σχεσισ

μεγε&ων

ομογενών

determinat

^genus

inferius: differentiam

vero fpecificam exprimitjj χατα ιιηλιχοτητα σχεσισ\

adeo ^ut de ratio dt id quod duabus magnitudi¬

nibus homogeneis competit, & efficit ut videam

quomodo fe habeat

una

ad alterain,

quo

ad

quantitatem; cui

Euclides dednicioni

confentanea quoque

videtur hsc Dni. Thom. Simpfonis: e) Ra¬

anotker

c) Svidae Lex. Graec. T. III· p. 420.

d) Lecons de Mathem. §. 2fp.

g) Elem: of Geom. β. IV. p, 63.

(9)

•*8 ) 7 ( itå"

tio is tbe proportion

wbicb

one magnituds bears to anotber magnitude of fhe

fame

kind, witb refpett

to quantity. Sicut autem in

duärbus

magnitudini-

bus habitudo quoad quantitatem diftingvi poteft,

aut inquirendo in quantum una excedat alteram,

aut ab altera differat, aut in quantum una åkeri¬

ns (it multiplex vel pars, ita hinc oritur difcri-

men inter rationem arithmecicam & geometricam.

Examinando iic definitionem hane nullum me fal-

tem judice poteft eiTe dubinm, quin EucÜdes ad-

tulerit iufficientia ad dignofcendam rationem ab

omni alia _re; quam ob cauffam neque aliis nos arbitramur egere armis ad repellendas obje£Hones

contra hane definitionem ; pradertim quum adver-

farii ilii animadvertant tantum in ea qux corrigen- da ipfis videantur, modum autem quo melior

reddatur definitio asfignare ^non valeant. Neque

vero definitionem linearum parallelarum ab Eucli-

de datam meliorem reddere videntur Coetius &

Taquetus, adjicientes eam conditionem, ^ut fit Ii-

^nearum illarum a fe invicem diftantia ab omni parte aequalis, Definitio narnque redundat hac

adie&a conditione, quse non poteft non

confequi

ex ea proprietate quam

adfert Euclides,

^ut lineae

i\\x in infinitum produ&ae non fibi invicem oc-

currant. Forent jam fub examen quoque revo*

csndae quaedam albe definitiones, _quas D:ni.

Thom Simpfon/)

& Rob. Simfon g ) corrigunt, ratio-

nes

/) El. ^ot. Geom. Notes _geom» and crit*

g) Notas in Elem. Eccl.

(10)

·*§£ ) 8 ( i8r

nes vero ob quas ab hoc examine nobis abftinen*

dum (ic jam antea attulimus, cui accedit quod

definitiones illas Theoni adfcribendas affirmant viri nominaci. §. IUI.

Quod ad ipfas propoiitiones attinet, eas Eu-

clides plerumque exhibet vel hypotheticas vel ca-

tegoricas, aliam

faltem

fibi nori praeftruentes hy*

pothefin nifi ex definitione

defumtam.

Aliarum

yero fimul propofitionum funt exempla plurima,

quae enumerare fupervacaneum eiTe arbitramur,

quum hinc ^argumenta Logices nifi levia peti ne- queunt. Res enim arbitraria eil: utrum haec vel

illa propofitio hanc an illam induat

formam,

dummodo idem fit propofitionis fenfus ^, eadem

veritas demonftratur, & pro theoremate, proble-

mate, axiomate, poftulato, vel alia propofitionum ipecie, non venditentur, nifi quae harum propo¬

fitionum definitionibus congruant; id vero non obfervafie videbitur Euclides hanc exhibens _pro-

pofitionem:

β

in duas

re&as lineas

recia incidens angulos inferiores £/ ad eafdem partes, duobus ^re-

£iis minores fecerit: dua retta in infinitum pro- duttce, ßbi invice?n occurrent ex ea parte, ad quam funt anguli duobus reäis minores. Plerique

Elementorum Editores hanc propofitionem in nu- merum axiomatum referunt, quidam autem po- ftulatis adnumerant, _quo in utroque cafu error idem eft, _quum propofitio illa demonftrabilis fit

& a nonnuliis _quoque

demonftrata.

Haud enim multa ad demonflrationem inveniendam

indagatio-

ne

(11)

-tf! ) 9 ( Ife¬

ns opus eil nobis, quibus

fuppetuntElementaEucli-

dis in vernaculam linguam

tranilata

^a Reg.

Prof. Co¬

leb. Dom. M. Stromer _{in qua} editione propofitio-

ni huic memoratae locus fuus datus eil inter Pro- pofitiones

XXVIII

&

XXIX Libri Elem. imi. &

demonilratio (imul illi adjunfla brevis & facilis,

qux alii Axiomati a

veteribus afiiimto innititur.

Demonilrationes _quoque

hujus propofitionis de-

deruntNafiridinus Tufinus £)&Clavius i) ^{eas ve~}

ro prolixas admodum & minus

necefiarias,

quum prior illa detur

facilior. Poitea

enim quam

demon-

ilrationem Nafiridini ex arabico fermone verfam

a Reg.Prof. Celeb. Dno.C,

Aurivillio roihique be¬

nigne impertitam perlegi, eam reperi

fuperilru-

£lam effe tribus propofitionibus praemiflis^axioma¬

ti nempe uni & duobus Lemmatibus

ipfam

vero deinde abfolvi tribus cafihus _quorum primus ite-

rum in quatuor fubdividitur, Nec minore

amba-

ge Clavius pervenit ad

huius

propofitionis

demon-

ilrationem ab illa Nafiridini haud mulcum difcre- pantem, ut ex loco citato colligi potefl, Propo-

fitionem hane fe tantum explicare affirmat. D. Rob.

Simfon, eumque in finem duo adhibet axiomata,

quorum unum aflumit _quoque D. Thom.

Simp-

fon alterum vero demonftrat. Vellern quidem haec plenius exponere, at vereor ne nimts a fcopo di- grederer, id folum ex hifce ideo concludens, propofitionem hane ut demonftratam ita veram es«

B fe

h ) In arabica fua Eucl. editione

i ) Comment, in Elem. Eue),

(12)

Μ ) ιο ( $&■

fe, adeoque nihil detrahere de veritate propofLio-

num quas ah illa Euclides deducit.

§. v.

Varia _vero, quibas utitur

Eaclides,

argumentandi genera , ii confideraverimus ^, ^ea certe toti-

dem inveniemus exempla regularum argumencan- di logicarum. Syllogifmi etjamfi cryptici vel po·

tius entymemata fint, a crypfi tamen fiacile libe-

rantar ita ut forma & figura ftatim adpareac. Sic

demonilraturus Prop. I. Lib. irni. ait AB. & B G efie iequales, quoniam func radii ejusdem circuli,

in quo iyllogismo, deficit major prsemifTarum haec:

omnes radii ejusdem circuli funt sequales, quae fi praemittatur, invenietur fyllogiimus efie figurae

ima?, modi autem tertii; in majori enim propofi-

tione affirmacur univerfaliter prsdicatum tequali-

tatis de fubje&o, quod in minore ed: praedicatum particulariter affirmatum de lineis AB, BC. Cry- pfis ^vero in primis propofitionibus facile detegitur,

vel ^ex definitionibus axiomatibns aut poiluiatis ^, cognitis vero primis propofitionibus, ^ex his (yl- logifmi fequentes demonilrationes ingredientes as- que facili negotio forrnantur. Re vero id poftu·

lante fyllogifmum adhibet disjun&ivum, ut e. g.

in demonflratione* Prop. X. Lib. XII. ubi evin-

catur Conum efie tertiam _partem cylindri qui

eandem habet bafin & äqualem altitudinem. De·

monfiratiortem vero abfolvic hoc

fyllogifmo,

Co¬

nus erit aut tertia _pars cylindri aut major aut minor tertia parte neque vero major neque minor

eft

(13)

* ) ** ( S#-

eil perdemonftrationesergoerit tercia ^pars. Affirma*

tur heic ex tribus pradicatis unum tribuendum efic fubje&o, & quum quartum nondetur, fofficienter

enumerata funt ilia praedicata vel membra disjun-

£ta, fibi vero fimul oppoiita quandoquidem uno

pofito tolluntur reliqua.

Hunc

argumentandi ^mo«

dum Euclides faepius adhibet. Generatim vero cir¬

ca omnes propofitiones obfervamus eas generali-

ter exhibitas, demonftrationes vero particulares pro hoc vel illo individuo per indu&ionem vale-

re de fpeciebus vel generibus. Adfiguras autem

attendendo, eas adeo conftru&as reperiemus, ut, ii propofitio enunciatur de

fpecie,

in figura nulla

alia attributa vel proprietates affumtas vei fuppo-

fitae fint, nifi _quae omnibus individuis illius fpeci»

ei competant, adeo ut indu£tio fic completa, &

argumentatio fic re&e ad fpeciem inferatur. Par-

ticulariter vero interdum indu&ione utitur, ut in

Prop. XVI. L. imi. ubi demonftrat angulos ex-

ternos in omni triangulo

majores

efie ^, utrolibet interiorum, atque id tantum pro angulo exteriori

ad C, ^verum conilru£fcionem & demonftrationem exhibec, quaj eacdem funt pro duobus reiiquis angulis exterioribus, _atque fic quum non fint plu-

res quam tres anguli exteriores, ex indu&ione eompieta infert ^omnern angulum exceriorem eiTe majorem utrolibet interiorum.

§. VL

Quando, _inquit Ridigerus, k) Mathernatici de-

B 2 mon*

k) de fenfu veri & falfi Lib. II. Cap. III. p. ij).

(14)

) ¹² ( S$*

rnonftrant tres trianguli angu

los

äquales ejje duo-

bus rectis, id quidem ideis haud

faciunt·,

^aut jyi- logißno, fedfiguris, </£//0 veritas aßer11

fundata

eft

in quibusdam

fenjualibus

circumfiantiis^> quas

fine

doclrina facile praeterii

inteüecius: has

dum ofien·

Mithematici demonßrare dicuntur. Noftrum

non jam eft difquirere de definitione demonftra·

tionis & ratiocinationis Mathematics, quas fenfua·

les efleRidigerus affirmat; utrum haec definitio va¬

ga & falfa fit, nec nei

id

tancum

obfervamus,

fe-

cundumRidigeram,

Eacliden

appellandurn eile non Mathemathicum Ted potius Logicum, fi falcem Lo«

gi'ci fit ideaiibus uci

ratiociniis. Qu

od ad demon·

ftrationes enim , eas fyllogifmis abiolvit, ut videri poteft apud Wolfium,

Clavium, Herlinum,

Dafy- podium, Henifcium, qui integras demonftrationes

ex Euclide erucas exhibent in fylogifmos fuos re- folutas : Quod ad figuras, non de iis Ted de no-

tionibus, _quas figurs

repraefencant,

aflerta fua Eu-

cliden demonftrare ex fequenti §. conftabit, & te- ftatur quoque ipfe

Logicus Zabarella

/) mentem Ariftotelis explicans bis verbis: Refpondet Ari·

ßoteles, geometram

nihil demonßrare

ex bis lineisy

qua intabelia

defcribuntur, fed

ex iis, quas animo concipit, if qua per

has Jenfiles

ßgmficantur, fup- poßtiones, enim ex

quibus demonfirat

funt illa,

quas in animo

habet,

^non

illa

qua cernuntur; has

enim definbit

facilioris dottrina

cauffa, ut fintfi*

gna /) vid. Zabarells Op. Log. p. 797. Commentar ni Lib. i. Anat. Arift.

(15)

■Φ2 ) '3 C

gna £? nota earutn quas

habet in animo,

qua

fem·

per funt veva, nunquåm

falfa\ & paulo infra

7//;

Mathefnathicus vero, inquit, fenßlibus exemplis u·

titur uon quatenus resJenfiles funt, fed quatenus fimt figna eorum,

abjuncia

a

fenßlibus

mente concipiuntur.

Quod

vero

ad fundamenta afferto-

rum, ve! leviter in elementa introfpicienti pate·

bitjEucliden demonitrationes iuas fuperftruere prin»

cipiis generalibus

evidentisfimis,

qua? non

funt cir·

cumilantisE fenfuales, _atque _ex iis principiis dedu-

cere alia, qua? deinde aeque vera

jure fupponit.

Non tantum igitur

affirmandum

eft

diicrimen in-

ter demonftrationes Euclideas & Logicas vel idea¬

les quantum efle

Ridigerus exiflimat.

Qui enim legtric Wolfium n)

Carteilum, 0)

Wallerium p) Scillingium q)

Jentzkenium

r)

vel

forte uHum alium harum rerum idoneum arbitrum,

demonftrationes Mathematicas, quoad veritatem principiorum vel

modum ratiocinandi

a

Logicis

quodam modo

differre

non

videbit. Ad hos igitur

Au&ores Lettorem relegamus, &

invenientur in

illorum fcriptis regulae vel oftenfive

vel apogogice

demonftrandi , quarum exempla dedit

Euclides.

Auftöres citati quos diximus

refolviffe demon-

B 3

itra-

m ) ibid. _{p. 797,} F.

») Loeica §. §. 552, ^3, 559 5^3· ^. ^_

o) Medit. V &refp^ad obj. Gaflendi conrraMed·Y.

ρ ) Comp. Log:

q ) Inftit. Phil. Rat. c. iJJ. §. 6.

s) Scient, Ratiocinandi c. 11,

(16)

) 14 (

ilrationes Eaclidis in fnös fyllogifmos, plura qoi-

dem addiderunt, praeter ea, qaae inveniuntar in de-

monilrationibus Euclidis, fenlu ^tarnen & vericate manentibus iisdem, res aatem ut manifeftior eva-

dat demonflrationem iilam a Ridigero definitam

ante oculos iiftemus talem _, qualem totidem ^ver-

bis exhibet Eaclides s) & ceteris manentibus iis·

dem eas tantum propofitiones parenthefibus difting-

vemus quae fyilogifmos conftituunt. Demonilratio

hsec eil.

Χπασα η ευ rai πχςχ&·ηλ8£ ευ§ειχς evSsiot ^εμπεπ-

major *>.Γ8σού rcccr τε ενναΑαζ γωνιατ ίσατ αλληλχυ ποιεί

1^ _^

Κ&{ επει

minor /πχςχ&ηλοο·η Α Βτη(Εκ^ευαυτχτεμπεπτωκεν » ΒΛ

eoncl. ίχι εννχΤλχζγωνιαι χι υπο BAf, AfE^υαι οοΤληλαυ εισί 7ΙΟθλΐΜ

minorf/επει ωχζχ/^ηλοτ εςιν η AB τ^ΓΕ ευ αντχτ εμπεπ-

\ τωκενν\ ΒΔ

COncl.Lrj ^εκτοσ γωνία η υπο εΓΔ ιση εςι τε εντοσ

\ [απεψντιοι τη υπο ABf

ώειγΡε h

8cy η υπω AfEτη υποΒΑΓ «τη

CoAfj _{ΧξΧ η} _υπο ΑΙΑ εχτοτ γων. χ γ η ε^ι^ucri ^τωνί min, < εντοσn&f απενχντιον των υπο BAf ΑΒΓ concl.

{νωινη πξοσκείσ&ω η υπο ΑΓΒ

sXI 0ίξΧ Τξεισ υπο ABf, BfA, fAB ταυ duov AfA7 Cond, iAfB υαι ευtv

y min

aA $υο coSaiv^q του υπο AfAAfB ^uat

εισιν\

αια,ξχυποAfB,fßA, fAB8υσινοξ§χυ^isxtejaiv\ concl Ordo

min

s) vide Eucl._quaefuperiunc OmniaGrece 6c Latineex recenCGreg· Ox, 1703,

(17)

-tf-ξ ) 15 C fä»

Ordo hujus demonftrationis plane idem eft,

quem obfervac Euclides, ulcimo ^tancum entyme-

inate excepto, in quo & propoiitione minori $vo c^Änngrediunturpraedicatum,anobisvero loco fub- jefti pofiti funt: verum res indiferens eft utrum duo refti dicantur äquales angulis ΑΓΛ,ΑΓΒ an ΑΓΔ, AΓΒ äquales doobus re&is. Coriftat igitur demon-

ilratio qninque entymematibus in quibus _nempe o*

mnibus deficit major propofitio, prima _namque _a

nobis adje&a eil, in fecundo autem entymemate

major propofitio eft hxc: ιτασοί η εις τäs πα^αλλη·

λας ευθείας ευθεία εμπεπτucru την έκτος γωνιαντη εντός

και ατεναντιον ισην ποιεί, quae fi addatnr, erit _quo-

que hic fyüogifmüs integer, atque fic in ceteris.

Non vero adeo obvia eft fyllogifmorum concate- natio in omnibus demonftrationibus, accidit enim

faepenurnero ^, ^ut loco trium non inveniatur nifi

una iyllogiimi propofitio, id quod brevitas demon-

ilrationum poftulat. Taediofe narnque prolixa es-

fet demonftratio, quae foiis fyliogifmis integris con-

ftaret, quum fic intervenientes \\\x ideae, quarum ope nexus inter fubje&um propofitionis & praedi-

catum oftendendus eft, adeo multiplicarentur, ^ut qui ejusmodi demonftrationes iegerent, neceife for¬

te haberent dicere quod Lacedemonii legatis ex Samo : Primorum obliti fimus ergo poßeriora ne~

gleximus. Luclidi ^vero id videtur maxime fuifTe cura?, ut nullibi demonftrationibus plura eifernin- gefta, quam quae neceflaria effent, nec pauciora quam quae fufficerent. Neque vero inyenietur ⁱⁿ

eo

(18)

4iS ) *6 C Ht-

co

peccafTe

quod

demonftrationes conditurus vel

veritates ailumat non fufncienter probatas, vel per

μεταβασιν ^εισ &λλο γενοσ rem

demonitrandam

ex

he-

terogeneo principio

deducat. In

unoquoque

enim

Elementorum libro premiiTae funt, pro varia rerum coniiderandarum indole, definitiones varia;, ex qui-

bus aeque ac principiis generalisfimis,

quibus

non

poteft non

dari aflenfus, deducic alias veritates,

quae iterum

fequentes demonftrationes

tanquam principia ingrediuntur.

§. VII.

Specimen vero Philofophiae Rationalis non ex-

iguum in eo

dediife videtur Evclides, quod

quan·

titates vel quantitatum

affe£tiones

confiderans, ens tradit generaies

Sc

in

abftra£to fepofita ipfa confide-

ratione corporum, quibus quantitates

illa; iniunt

vel inefle poflunt. Non adeo ar&i ipii fueruntin- genii limites

ahftrahendi,

quam

quibus eircumfcri-

bendos eile Mathematicos cenfet Srniglecius, qui ^t)

ut abfonnm Mathefi objicit, ^eam agere de entibus

quae in rerum natura non

exiftunt, quandoquidem

non dentur lineas, fuperficies, figurae, folidae, tales quales in

Mathefi definiuntur. Maluifiet forte

isEucliden e.g.loco Problematis i:mi propofuifife triangulum

sequilaterum in

area

terreftri conftituen*

dum, vel in carta delineandum, atque de illa (ic defcripta

figura demonftrare laterum aequalitatem,

Noftrum vero non

fugiebat, tribuendas

fic

fore

perepherise,

radiis,

^& ^centro circuli latitudines,

&

i) Logica DiC 14. Q. 14.

(19)

) 17 ( §§*·

& demonftrationem ab adcurata

mecanica operatio·

ne

dependentem fore vacillantem &

nec

geome-

trice nec logice veram.

Ponas enim

e. g.

pun&o

competere partes,

& orietur ftatim dubium de de-

finitione circuli,

quandoquidem (ic poftent daci

linea reibe a peripheria

ad

centrum,

fed diffcrt«

tes centri partes quo

fieret,

ut

linea illa

non es-

lent äquales, adeoque omnes

demonftrationes qua

nituntur principio

aqualitatis radiorum eflent fal*

fa. Euclidi vero difficiie vifum non

fuit abftraitu,

quantitates, a

corporibus, affeiüones quantiotum a

quantitatibus, eaque

ratione demonftrationes afTecu-

tus eft juftas & veras, qua

in dubium

^\

ocari ne-

queunc.

Ad juvandam imaginationem figuras tan-

tum exhibet, afferta vero fua

demonftrat

non

de

figuris

fed rebus definitis; quantitates vel magni-

tudines, inLibro ^v:co

reprafentat lineis, demonftra·

tiones vero exprimit

verbis,

qua

de quantitatibus

in genere aque

valent. Revera quidem, inquit

Barrov, u) dum

lineam concipimus

^,

i ^de

^am

for-

mamus alicujus

exilisßmi quafi fili inter duos

ex*

tremas apices

protenß faltem ab

uno

ad feipfum re·

currentis, utfit in

lineis

cur

vis figur

am

aliquant

ambientibus. Dum fuperficiem

cogitamus corporis

alicujus tenuisßmam

quafi cuticulam, aut laminam

anguftisfima margine circumfeptam imaginamur

^-

- * - Dum angulum concipimus,

fpatjum aliquod

interminatum

duabus

aut

phmbus lineis, vel fu-

öerficiebus

inclufumy vel aliquid tale concipimus,

C Hujus·

u) Legion. i> p. j.

(20)

*fét ) *8 ( Hl-

Hujufmodi idese fenfuales funt, & fi ab iis mnthe-

maticae demonftrationes depencjerent, fecundum Ri- digerum fenfuales _quoque eflent dicendse vel potius demonftrationum nomine non appellandse. Undefi-

mul liquet Geometricas operationes pra&icas; de-

monftrari non pofte, fed veras affumi fecundum quod conveniant illae inftrumentorum ope du&ae lineae, circuli, vel anguli, cetera ut omittam, de-

finitionibus Evclideis. Hic enim, _{quo verse} obti-

neantur demonftrationes, ab hujufmodi fenlualibus

ideis abftrahit; &, ut ait Cartefius x) quemadtno-

dum non necejfe eß, ^me uUum triangulum unquam imaginari, fed quoties volofiguram rettilineam tres

tantum angulos habentem confiderare, necejje eft ut illi ea tribuam3 ex quibus rette infertur ejus tres

angulos non majores ejfe duobus rettis etiatnfi hoc

ipfum

tunc non adverta?n : ita Euclides abftrahens

longitudinem a latitudine, latitudinem & longitudi-

nem a profunditate ^, & hxc omnia a corpore, fi*

guris tribuit ea ex quibus certisfime derivantur pro-

prietates, quas iis figuris competere affirmat. Ni-

mirum de Evclide profe&o valent hxc Yalifii y)

Nonenim negatMathematicus Juas lineasfuperficies

cjffiguras corpori phyfico ineffe\ fed bas tantum per- pendit

d?

contemplatur, corpore interi?n phyßco non

confiderato. Aliud enim eft abftrahere aliud _negare:

Mathemathicus fuas quidem magnitudines ab(träbit

a corporephyfico, non tarnen de illo _negat. Nec ma¬

gis afferit Mathematicus quantitatem exiftere fine

cor-

χ) Medit. p. 33. y) Opera Mathm. P. _,x. C. 3,

(21)

corpore phyfico quam Phyßcus fubßantiam corpore*

am exiftere (ine quantitate: uterque tarnen alteram ab altera abflractam contetnplatur.

§. VIII.

Satis opinor ex antecedentibus conftat, in Eie-

mentisEucliden teftatam fecifTe judicii de vero vim

&excellentiam fane maximam, dum vidimus eum adhibuiffe definitiones juftas, propofitiones & axio-

mata (bis definitionibus logicis congruentia,

formam

fyl logismorum genuinam ^, & ordinem in demon-

ftrando juftum, quse fecundumVolfium (altem

funt

requifita

facultatis

difcernendi verum z)

Leviter

iimul adtendenti patebit eum eo procesiisfe

exa&i-

tudinis, in communicandis fuis propofitionibus, tanquam totidem veritatibus logicis, ^ut propoiitiones faepe demonftratae (int, non quia demonftratione

egerent, Ted quia demonftrari poflent ut e.' g. prop4 XXI. L. I. quam Epicurei dixerunt afino notam a)

Sic quoque

Cola

infpeäio Figurae Prop. 15. Libr. 3.

fufficit & multis fuffecit ad agnofcendum tanquam

verum, cordas diametro parallelas eiTe eo minores

quo magis a diametro diftantes ·, atque id

deiumta

cogitationum convenientia cum objecto b ) vel ii

mavis cum ienlione c) fola fenfuum externorum 0-

C 2 pe

s) Volfii Logica §. 545,

a) vid. Prodi Comment. in El. Eucl.

b) Volfii Logica §, ¹⁰⁵ Valier. Comp. Log.

c ) Ridig. de ienfu v. & f. L. ^1. C. 1. $. 42.

d) Ridig. L. ^1. C. ti. §. 21. Cart. Med. IV. tciue*

Phil. _{p. i.} Väller. Comp. §. ig6.

(22)

) 20 ( HS-

pc.

Ϊ(1

autem veritatis principium ut

fallere

poteft dj, ita ^nec ab Euclide aifumtum eft, qui fa-

tius duxit, indubiis fuis prasmrsfis veritatibus iidere

& legitimis ratiociniis, quibas mediantibus propofitionem ^veram eile probavic, Quas vero in duo-

decirno clernentorum Libro Eaciides demonftrac

propofitiones plerasque, fi adtentioni noftrae fub- jecerimus, forte nobis videbitur affirmandum quod

ex C-ardano adfert Gregorius e) adeo veritatis lu*

cem in ^eo refulgere, ut foli hi in ardnis qucefiio-

nibus videantur

pojje

^a Vero

falfum

difcernere^ qut Eucliden habentfamiliärem. Nimirum ακζίβεςα&ος

is erit de vero judex, qui in

hujusmodi

quas- ftionibus valeat non tantum difcernere quod ve¬

rum _, ied limul modum quo veritas eluceat as-

fignare; id quod Euclidi tribuere pofle

nobis

vi-

demur. Poftea enim quam demonftraverat

Eucli-

des, fimilia polygona circulis infcripta efle inter

fe ^ut quadrata ex diametris circulorum, (imul ^ve¬

ro, bifecando continuo arcus circulorum a late-

ribus iubtenfos & nova fic polygona infcribendo,

differentiam inter areas polygonum & areas circu¬

lorum tandem minorem fore quavis quantitate as-

fignabili; non ip(i harum veritatum inventori, quam

recentioribus, fuic difficilius concipere, areas po¬

lygonum cum areis

circulorum

tandem

fore

coinci- dentes, _atque fic his communicare eandem in¬

ter fe rationem qux perpetuo invariata iilis erat

/*

e) Greg. Elem. Eucl. Gra^ce & Lat Prsef.

i

(23)

) 21 (

/).Soli

vero huic arearum

fibi invicemapproximatio«

ni nixus Euclides non pocaic aiTumere propofitio«

nem ut veram. Demonftraverat enim, areas qui-

dem polygonum continuo

propius accedere ad®·

qualitatem cum areis

circulorum,

verum eo

ipfo fi-

mul probaverat

difFerentiam femper inter illas

a-

reas fore concipiendam. Quum vero a

proprietate

illa polygonum,

conclufio legitime inferri

non pos- fet, ad eandem proprietatem

circulorum niii

are-

arum perfecta eftet

ajqualitas,

ita.

Euclides

^aut pro»

pofitioni primae in

L.

^x:mo antea a

fe demonftrat®

contradiceret aut aiFumeret quantitates, quae per quantitatem quavis

asfignabili minorem inter fe difFe-

runt,efFe aequales. Id quidem

hoc

in

cafu & pluri-

bus aliis afFumere potuiiFet, nifi

omnimodae ftuduiile

veritatis certitudine,&propofitionem veram

exincer-

to principio deducere

noluiiFet. Videamus

ergo mo-

dum demonftr2ndi hanc propofitionem,

ab Éuclide

traditum talem,ut veritas propofitionisin dubium vo- cari nequeat. Si inquit^area

polygoni ΛΜ

non

fit ad

aream polygoni AN ^{ut area}

circularis. AB ad^

aream circularem AC, erit ut AB ad quantita¬

tem [Ad) vel (AD) minorem aut

majorem

illa AC Si Ad minor eil AC erit difFerentia

illa dC quantitas, & quum

infcribi pofiit poly¬

gonum quod ab AC difFerat per quantitatem quavis afignabile minorem, infcribatur

polygo¬

num (Ae) quod ab AC

difFerat

quantitate qua:

°

^ 3 minor

f ) Exemplum ^ut adejfet hanc propofitionem L. XIIfe-

cundam adtuhmus ut primamearnm quafimilem in modum üb Euclide demonftrantur.

δ»

.3

(24)

) 22 ( i|

minor eft illa dCgj quo fn&a demonftratio pera-

gitur methodo apogogica & jufta. Levis illa föret obje&io quod ponatur dC quavis aflignabili minor;

eat enim haec ficfcio quouique libueric, & Euclidi

faltem concedatur necefle eft dC & eC fore _sequa- les, quo in cafu demonftratio eadeni eft. Grande

fic fimul elucet artificium logicum, quo in adver-

farios foos (ii quos haberec qui priorem methodum

huicEuclideaj anceferrenc^) ^a ié aejecit ^onus proban¬

di aequalicatem inter fe quantitatum quarum ad-

modum parva vel evanefcens eft differentia: evica-

vic vero omnem confiderationern evanefcentium vel infinite _parvarum, qui termini funt vagi, ^non

nificonfufam generances ideam, & exa&am

demonftrationam ingredi ^non debent.

g ) Exhibemus jam breviter id tancum ex Evcli-

dis demonftratione, quod a veritate propoiicionis i:mae L. X. tanquam principii aflumtas dependet. Reliquum

demonftraiionis evidens eft fi concipiatur Am efle po-

lygonum fimile ipfi Ae Atque hac demonftrationisparte

abioluta, ex ea demonftratur altera quod AD nec mar

foj eile poteft. AC.