Det ä r n a t u r l i g t , om m a n v i d en diskus- sion k r i n g denna f r å g a k o m m e r i n p å metodiska problem i s t ö r s t a a l l m ä n h e t . Syftet med en enhetligare undervisning m å s t e y t t e r s t v a r a a t t n

(1)

Enhetlighet i matematik- undervisningen

Enhetlighet n ö d v ä n d i g

O l i k a metoder och v ä x l a n d e terminolo- g i i matematikundervisningen b l i r ofta s t ö t e s t e n a r f ö r de elever som f l y t t a r f r å n en skola t i l l en annan, eller — v i l k e t n u - mera sker oftare ä n f ö r r — f ö r dem som d å och d å f å r n y a l ä r a r e i sin klassavdel- ning. E n med o l i k a l ä r a r e v ä x l a n d e l ä r o - g å n g s t ä l l e r y t t e r l i g a r e s v å r i g h e t e r i v ä - gen.

L i k a r t a d e f ö r h å l l a n d e n r å d e r självfallet inom andra o m r å d e n , inte minst inom mo- d e r s m å l s u n d e r v i s n i n g e n . M e n f r å g a n ä r o m v i inte j u s t i n o m matematikundervis- ningen mera p å t a g l i g t ä n i undervisning- en i ö v r i g t har anledning a t t t a upp t i l l behandling problemet om en viss enhet- lighet.

Det ä r n a t u r l i g t , om m a n v i d en diskus- sion k r i n g denna f r å g a k o m m e r i n p å metodiska problem i s t ö r s t a a l l m ä n h e t . Syftet med en enhetligare undervisning m å s t e y t t e r s t v a r a a t t n å ett g o t t re- sultat av undervisningen. D ä r f ö r ä r en diskussion i denna f r å g a fruktbringande, ä v e n om f u l l s t ä n d i g enhetlighet ä r o m ö j - l i g a t t g e n o m f ö r a .

E n s t r ä v a n t i l l enhetlighet i n n e b ä r g i - vetvis vissa faror. Den k a n klavbinda oss och v e r k a h ä m m a n d e p å en f ö r d o m s f r i och sund u t v e c k l i n g p å det metodiska och pedagogiska o m r å d e t .

Det har f a k t i s k t r å t t enhetlighet i ma- tematikundervisningen, och den har med all s ä k e r h e t s t ä l l t t i l l med m y c k e t o h ä g n . I n t e minst har f ö r e s t ä l l n i n g e n om de f y r a r ä k n e s ä t t e n l å s t fast undervisningen och h i n d r a t de n y a i d é e r n a a t t t r ä n g a ige- nom.

M e n ett ö v e r b e t o n a n d e av r i s k e r n a k a n inte v a r a nog s t a r k a s k ä l f ö r a t t ingen- t i n g g ö r a å t saken. F ö r u t s ä t t n i n g a r n a för enhetlighet i viss u t s t r ä c k n i n g ä r numera s t ö r r e ä n tidigare. V i har b l . a. ett b ä t t r e u t g å n g s l ä g e f r å n rent pedagogisk syn- p u n k t . Intresset f ö r pedagogiska f r å g o r och den a l l m ä n n a l y h ö r d h e t e n f ö r under- visningsproblemen ä r s t ö r r e n u ä n t i d i - gare. H ä r i b ö r finnas en g a r a n t i f ö r a t t undervisningen inte b l i r traditionell p å samma s ä t t som tidigare.

De problem som n ä r m a s t b ö r tas upp t i l l diskussion ä r l ä r o g å n g e n , terminolo- gin, den s p r å k l i g a behandlingen och vissa metodiska f r å g o r .

L ä r o b ö c k e r n a

L ä r a r e n ä r b e r o e n d e a v l ä r o b o k e n

Eftersom det ä r s å a t t läroboken v i d matematikundervisningen i h ö g r e g r a d ä n i andra ä m n e n binder l ä r a r e n , har j a g an- sett det v a r a l ä m p l i g t a t t som inledning t i l l en eventuell diskussion bland l ä r a r e

(och l ä r o b o k s f ö r f a t t a r e ) u t g å f r å n h u r problemen t e r sej i v å r a l ä r o b ö c k e r . I re- gel ä r det den av s k o l d i s t r i k t e n b e s t ä m d a l ä r o b o k e n som b e s t ä m m e r metoden och u t g ö r ett b e s t ä m t hinder f ö r l ä r a r e n , om han ö n s k a r g å andra v ä g a r ä n de som l ä r o b o k s f ö r f a t t a r e n anger. Skulle en k l a s s l ä r a r e v i l j a g å sin egen v ä g , f o r d - ras det av honom ett alldeles speciellt i n - tresse f ö r ä m n e t och m y c k e n stor m ö d a . L ä r o g å n g e n

I v å r a r ä k n e l ä r o r b e s t ä m s l ä r o g å n g e n i stort sett av den t r a d i t i o n e l l a uppdel- ningen av r ä k n e s ä t t e n i addition, subtrak- tion, m u l t i p l i k a t i o n och division. Divisio- nen s ö n d e r f a l l e r mer eller m i n d r e k l a r t i de b å d a r ä k n e s ä t t e n i n n e h å l l s r ä k n i n g och likadelning. O r d n i n g s f ö l j d e n dessa t v å emellan ä r hos flertalet f ö r f a t t a r e likadel- n i n g f ö r e i n n e h å l l s r ä k n i n g , medan m å n g a f ö r e d r a r a t t t a r ä k n e s ä t t e n i o m v ä n d ord- ning. Ä v e n i n y u t k o m n a l ä r o b ö c k e r upp- t ä c k e r m a n den f ö r r a ordningsföljden.

T v å s l a g s d i v i s i o n

Ofta ä r skillnaden mellan de b å d a for- merna av division inte a l l t i d s å markerad.

Vissa f ö r f a t t a r e d ä r e m o t — inte minst av l ä r o b ö c k e r f ö r s m å s k o l a n har s t a r k t mar- kerat skillnaden. I ett par f a l l frapperas m a n av f ö r f a t t a r e n s bristande distinktio- ner. Belysande f ö r oklarheten p å o m r å d e t ä r följande c i t a t u r en l ä r o b o k . E n för- fattare s ä j e r u n g e f ä r f ö l j a n d e : "Dela 150 k r i 6 delar! I b l a n d s ä j e r m a n i n n e h å l l e s i eller g å r i . M a n k a n s å l e d e s s ä j a : '24 delat med 8 ä r 3.' eller '8 i n n e h å l l e s 3 g å n g e r i 24' eller '8 i 24 g å r 3 g å n g e r ' eller ' å t t o n d e l e n av 24 ä r 3'." I sammanfatt- ningen kommer inte det f ö r s t n ä m n d a u t - t r y c k e t med, och f ö r f a t t a r e n har helt u t e l ä m n a t de s p r å k l i g t r i k t i g a u t t r y c k e n : 24 delat i 8 l i k a stora delan ä r 3, resp. 24 i n n e h å l l e r 8 3 g å n g e r .

E n f ö r f a t t a r e u t t r y c k e r sin m o t i v e r i n g för a t t han inte g å t t i n p å en å t s k i l l n a d mellan de b å d a formerna för division med

a t t f r a m h å l l a a t t "de t v å r ä k n e s ä t t e n psy- kologiskt sett bygger p å samma process".

E n annan f ö r f a t t a r e t a l a r visserligen om likadelning men l å t e r exempel f ö r inne- h å l l s r ä k n i n g belysa r ä k n e s ä t t e t .

I a l l m ä n h e t a n v ä n d e r m a n inte skilda tecken f ö r i n n e h å l l s r ä k n i n g och likadel- ning. I n å g r a av v å r a n y a l ä r o b ö c k e r har man t i l l en b ö r j a n t v å o l i k a tecken, men l ä n g r e f r a m i kursen f r å n g å r m a n detta f ö r f a r i n g s s ä t t . Det f ö r r a r ä k n e s ä t t e t be- tecknas med det vedertagna tecknet för division, n ä m l i g e n : och senare med

" b r å k s t r e c k " . I en l ä r o b o k har f ö r f a t t a r e n redan f ö r o m k r i n g 30 å r sedan g e n o m f ö r t en konsekvent skillnad i detta h ä n s e e n d e . H ä l f t e n av t j u g o tecknas % 2 av 20 eller Vz . 20, och 25 ö r e i n n e h å l l e r 5 ö r e teck- nas 25 ö r e : 5 ö r e .

De vanligaste s ä t t e n f ö r u p p s t ä l l n i n g av en division f ö r u t r ä k n i n g ä r denna:

35 709 24815 245

~~315 315

E n annan f o r m f ö r u p p s t ä l l n i n g e n ä r 24815 : 35 = 709

245 ~ 3 1 5 315

Y t t e r l i g a r e har p å sistone vissa f ö r e s p r å - kare bland l ä r o b o k s f ö r f a t t a r e f ö r en tred- je f o r m a n m ä l t sej, n ä m l i g e n den s. k.

00709 amerikanska u p p s t ä l l n i n g e n : 35! 24815

245 "~315 315 I ett f a l l har denna f o r m f å t t en v a r i a n t p å s å s ä t t a t t prepositionen " i " i n s k j u t i t s mellan divisorn och dividenden. Slutligen har v i den f r å n 20-talet k ä n d a "Falume- toden" _ 1 _

248lg

_

709

35 245

—

3 1 5 315

v i l k e n inte sy-

nes ha f å t t n å g o n efterföljare bland se- nare l ä r o b o k s f ö r f a t t a r e .

D å v i endast har ordet division a t t

h å l l a oss t i l l , ä r det n a t u r l i g t v i s inte s å

l ä t t a t t av detta f å svenska u t t r y c k , som

t ä c k e r t v å former av division. I de olika

l ä r o b ö c k e r n a finner m a n u t t r y c k e n inne-

h å l l s r ä k n i n g eller o c k s å i n n e h å l l s b e r ä k -

ning, innehållsdivision eller i n n e h å l l s u n -

d e r s ö k n i n g . M å n g a f ö r f a t t a r e f ö r e d r a r

(2)

uttrycket i n n e h å l l s b e r ä l a i i n g . De ö v r i g a beteckningarna f ö r e k o m m e r v a r f ö r sej ungefär h ä l f t e n s å m å n g a g å n g e r .

N ä r det g ä l l e r den andra divisionsfor- men, finner m a n u t t r y c k e t likadelning dubbelt s å m å n g a g å n g e r som delnings- division. Men ä v e n d e l b e r ä k n i n g och del- ning f ö r e k o m m e r i ett par f a l l .

Det ö v e r v ä l d i g a n d e flertalet f ö r f a t t a r e vidhåller det invanda s ä t t e t a t t l ä s a upp- giften b a k l ä n g e s , dvs. f r å n h ö g e r t i l l vänster. M a n s ä j e r i n t e "25 ö r e i n n e h å l - ler 5 öre 5 g å n g e r " u t a n " 5 ö r e i n n e h å l l s i 25 öre 5 g å n g e r " . I den m å n m a n i s m å - skolan resonerar " i n n e h å l l s m ä s s i g t " , tycks man g å i n f ö r a t t l ä s a uppgiften från v ä n s t e r t i l l h ö g e r .

D e ö v r i g a r ä k n e s ä t t e n I m u l t i p l i k a t i o n har f ö r f a t t a r n a ge- nomgående, s å n ä r som i ett p a r undan- tagsfall, p å v i s a t sambandet m e l l a n upp- repad addition och m u l t i p l i k a t i o n , D ä r - emot ä r det inte l i k a v a n l i g t a t t a n k n y t a innehållsräkningen t i l l den upprepade subtraktionen. Knappast h ä l f t e n av l ä r o - boksförfattarna har f ö r folkskolans del klargjort sambandet. D ä r e m o t synes fler- talet av f ö r f a t t a r e av l ä r o b ö c k e r f ö r s m å - skolan ha g j o r t detta. M e n i regel an- vänds sambandet m e l l a n m u l t i p l i k a t i o n och addition l i k s o m m e l l a n i n n e h å l l s r ä k - ning och subtraktion endast f ö r a t t be- visa riktigheten av det n y a r ä k n e s ä t t som barnen ska ö v e r g å t i l l , m u l t i p l i k a t i o n resp. i n n e h å U s r ä k m n g .

Beträffande de ö v r i g a r ä k n e s ä t t e n finns inte s å m å n g a v ä g a r a t t v ä l j a p å , och därför ger f ö r f a t t a r n a i s t o r t sett samma u1 tryck för t a n k e g å n g a r och f ö r f a r i n g s - sätt.

Multiplikation, som f ö r folkskolans del i allmänhet betecknas med d e t t a ord, har fått olika svenska motsvarigheter, v i l k a används s j ä l v s t ä n d i g t eller i regel som förklaring t i l l ordet m u l t i p l i k a t i o n . G å n g - ertagning, m å n g d u b b l i n g , m å n g f a l d i g a n - de m å n g f a l d s r ä l m i n g och g å n g e r ä r de ord som a n v ä n d s . M a n t a r e t t t a l g å n g e r ett annat, m a n m u l t i p l i c e r a r det senare med det f ö r r a , och enligt n å g o n f ö r f a t - tare " g å n g r a r " man.

Subtraktion ö v e r s ä t t s p å a l l m ä n t veder- taget s ä t t med f r å n d r a g n i n g och addition med s a m m a n l ä g g n i n g eller i e t t f a l l med hopläggning. V i d addition f ö r e k o m m e r

"plus" och "ger" i en och annan s m å - skola. Man l ä g g e r samman, m a n l ä g g e r ihop, man adderar, m a n ö k a r osv. M a n läser "plus" och m a n l ä s e r "och". I sub- traktion a n v ä n d s u t t r y c k e n " m i n u s " och

"ta bort", man t a r 5 f r å n 10, m a n mins- kar med, man l ä s e r "minus'', och m a n subtraherar med. M a n l å n a r och v ä x l a r , man tar och v ä x l a r eller " v ä x l a r ut", och ibland varken t a r eller l å n a r m a n u t a n bara växlar. F ö r v a n d l a r g ö r m a n t y d l i g e n numera aldrig.

B r å k r ä k n i n g

E t t avsnitt inom den e l e m e n t ä r a mate- matikundervisningen, som s t ä l l e r oss i n - för m å n g a s v å r i g h e t e r , ä r r ä k n i n g med

b r å k t a l . Dessa s v å r i g h e t e r avspeglas inte m i n s t i v å r a l ä r o b ö c k e r , d ä r metoderna k a n v ä x l a a v s e v ä r t . D e t t a o m r å d e f o r d r a r en s ä r s k i l d behandling och k a n i n t e h ä r tas upp s å i n g å e n d e som ö n s k v ä r t vore, v a r f ö r j a g n ö j e r mej med f ö l j a n d e exem- pel, v i l k a antyder de metoder b e t r ä f f a n d e

"division" som k a n å t e r f i n n a s i v å r a l ä r o - b ö c k e r .

V i u t g å r f r å n f ö l j a n d e problem: s/

⁵

av ett band kostar 12 ö r e . H u r m y c k e t kos- t a r hela bandet? Vanligaste s ä t t e t a t t l ö s a uppgiften ä r denna: 12 ö r e :

3

/

5

=

k ^ -.o ••

⁵

X

³

5 X 12 ö r e

5 X 12 ore : — = — = =

o ö 60 ö r e : 3 = 20 ö r e . Regeln b l i r d å den a t t m a n " v ä n d e r upp och ned" p å

3

/5 och f å r

^B

/3, eller med andra ord, man inverterar. Samma metod a n v ä n d s u t a n å t s k i l l n a d m e l l a n likadelning och inne- h å l l s r ä k n i n g och u t a n a t t i f r å g a s ä t t a om det v e r k l i g e n ä r division v i r ä k n a r .

I s t ä l l e t f ö r a t t med denna f ö r l ä n g - ningsmetod bevisa en regel s ö k e r andra f ö r f a t t a r e u t g å f r å n det f ö r h å l l a n d e t a t t det h ä r i n t e g ä l l e r enbart division u t a n b å d e division och m u l t i p l i k a t i o n . M a n t e c k n a r t a l e t s å h ä r : 12 ö r e :

^s

/

⁵

= x men f o r t s ä t t e r p å f ö l j a n d e s ä t t : i /

⁵

kostar 12 ö r e 5 . 12 ö r e

— - — . D å m å s t e

⁵

/

⁵

kosta =

o 3 20 ö r e . M a n k a n o c k s å i anslutning t i l l

ovan n ä m n d a divisionsmetod i l i k h e t med en l ä r o b o k s f ö r f a t t a r e s ä j a : i/s k o s t a r i/a av 12 ö r e = 1/3 •

¹²

ö r e . D e t hela k o s t a r d å 5 X V3 . 12 ö r e =

6

/

3

. 12 ö r e .

A n d r a f ö r f a t t a r e u t g å r f r å n i n n e h å l l s - r ä k n i n g . 6 l i t e r m j ö l k h ä l l s i flaskor, som r y m m e r 2/3 l i t e r . H u r m å n g a flaskor be- h ö v s ? A n t i n g e n b l i r resonemanget föl- jande: 1) 6 i n n e h å l l e r 1 = 6 g å n g e r , 2) 6 i n n e h å l l e r 1/3 == 3 g å n g e r s å m å n g a som i 1), 3) 6 i n n e h å l l e r

²

/

³

= h ä l f t e n

3 X 6 s å m å n g a g å n g e r som i 2 ) , dvs. — - —

— 9 g å n g e r , eller 1 i n n e h å l l e r

¹

J3 3 g å n g - er, 6 i n n e h å l l e r !/s 6 g å n g e r mer och 6

g Y 3 i n n e h å l l e r

²

/

³

2 g å n g e r mindre, dvs. — - —

2 = : 9 g å n g e r . Den enklaste metoden ser u t s å h ä r : 6 l i t e r : */

^s

l i t e r = i s /

³

l i t e r :

2

/

³

1 = 18 (tredjedelsliter): 2 (tredjedels- l i t e r ) = 9 g å n g e r .

F e m olika r ä k n e s ä t t

T i l l denna kortfattade redogörelse f ö r hur läroboksförfattarna ser p å s å d a n a frågor som bör tas upp i en diskussion om enhetlighet i matematikrmdervisning- en ska här endast knytas n å g r a person- liga reflektioner.

Det vore intressant att t a upp till dis-

kussion, huruvida inte den traditionella

(3)

l ä r o g å n g

¹

som följer med den vedertag- na uppdelningen i de f y r a r ä k n e s ä t t e n b ö r brytas. Ä r det helt uteslutet a t t t ä n k a sej f ö l j a n d e disposition: A d d i t i o n , m u l t i p l i - kation, s u b t r a k t i o n , i n n e h å J i s r ä k n i n g och likadelning? Givetvis f ö r u t s ä t t e r j a g a t t m a n p å s m å s k o l s t a d i e t t i l l en b ö r j a n l å t e r addition och s u b t r a k t i o n följa p å varand- r a av det enkla s k ä l e t a t t m u l t i p l i k a t i o n och i n n e h å l l s r ä k n i n g senare tas upp i an- s l u t n i n g t i l l en u t v i d g n i n g av dessa r ä k - n e s ä t t . L i k a d e l n i n g byggs l i k a n a t u r l i g t som h i t t i l l s p å m u l t i p l i k a t i o n p å begyn- nelsestadiet.

A d d i t i o n och s u b t r a k t i o n borde i n t e en- b a r t u t g ö r a grunden f ö r bevisning a v för- farandet v i d m u l t i p l i k a t i o n respektive i n - n e h å l l s r ä k n i n g u t a n fastare f ö r a n k r a s v i d de senare r ä k n e s ä t t e n . I den a l l r a elemen- t ä r a s t e undervisningen b e h ö v e r m a n ö v e r - h u v u d i n t e t a l a s å m y c k e t o m v a d r ä k - n e s ä t t e n heter.

E f t e r s o m l i k a d e l n i n g och i n n e h å l l s r ä k - n i n g v i l a r p å o l i k a resonemang, b ö r det nog finnas en b e s t ä m d d i s t i n k t i o n dem emellan. Vissa av v å r a nyare l ä r o b o k s - f ö r f a t t a r e anger o c k s å en s å d a n . M e n d å b ö r o c k s å olika tecken f ö r de b å d a r ä k - n e s ä t t e n a n v ä n d a s .

B e t r ä f f a n d e de svenska u t t r y c k e n f ö r de b å d a divisionsformerna f ö r e f a l l e r det mej o l ä m p l i g t med t a u t o l o g i n delnings- division, och d å m a n i n o m m a t e m a t i k e n b ö r h a exakta begrepp, borde u t t r y c k e n d e l n i n g s b e r ä k n i n g och i n n e h å l l s b e r ä k n i n g k u n n a u t m ö n s t r a s . O m m a n b e r ä k n a r n å - got, avser m a n a t t f å e t t m e r a a p p r o x i - m a t i v t resultat.

V ä r d e f u l l t vore o m m a n kunde å s t a d - k o m m a en o r d e n t l i g u n d e r s ö k n i n g a v de o l i k a d i v i s i o n s u p p s t ä l l n i n g a r n a f ö r a t t f å u t r ö n t , h u r u v i d a n å g o n av dessa f r å n me- todisk synpunkt ä r a t t f ö r e d r a f r a m f ö r de ö v r i g a .

Slutligen har v i problemet b e t r ä f f a n d e b r å k l ä r a n . V i minns f r å n v å r egen skol- g å n g a t t v i l ä r d e oss r ä k n a a l l m ä n t b r å k p å e t t m y c k e t m e k a n i s k t s ä t t . D e t t a sked- de i stort sett i analogi med r ä k n i n g med hela t a l M e n erfarenheten h a r l ä r t oss a t t den som h a f t endast folkskola som bak- g r u n d i n t e l å n g t efter slutad s k o l g å n g g l ö m t det mesta. D e t v a r s å m y c k e t ho- kus-pokus med a l l m ä n t b r å k . M a n m u l - tiplicerade, n ä r m a n dividerade, m a n v ä n - de upp och n e d p å n å g o n t i n g och m u l t i - plicerade o v a n f ö r b r å k s t r e c k e t och under b r å k s t r e c k e t , dividerade det som v a r o v a n f ö r med det som fanns n e d a n f ö r och kallade proceduren division.

Den vedertagna uppdelningen i de f y r a r ä k n e s ä t t e n h a r onekligen k o m m i t a t t u t - g ö r a ett hinder o c k s å i den e l e m e n t ä r a undervisningen i b r å k l ä r a . M a n h a r inte r i k t i g t l y c k a t s med a t t ge barnen k l a r a begrepp. Under f e m å r h a r de f å t t l ä r a sej a t t n ä r m a n multiplicerar, b l i r produk- t e n s t ö r r e , och n ä r m a n dividerar, b l i r den mindre. V i d m u l t i p l i k a t i o n med e t t b r å k , vars v ä r d e understiger 1, b l i r det t v ä r t - om, v i l k e t barnen h a r s v å r t a t t f a t t a .

Ä r det s å a t t r ä k n i n g med a l l m ä n n a b r å k delvis l i g g e r ö v e r barnens n i v å , s å a t t m a n d ä r f ö r m å s t e n ö j a sej a t t s l å i n

vissa regler och " t r o l l f o r m l e r " , b ö r m a n ö v e r v ä g a en b e s k ä r n i n g av den egentliga folkskolans kurs.

Under alla f ö r h å l l a n d e n vore det v ä r d e - f u l l t , o m f r å g a n o m de metodiska proble- men togs upp t i l l a l l v a r l i g diskussion. I n - te m i n s t f å r m a n g l ö m m a a t t det i n t e ä r t i l l f y l l e s t a t t bevisa en regel. D å r i s k e r a r m a n a t t barnen lever i den v a n f ö r e s t ä l l - ningen a t t den ena eller den andra r ä k n e - operationen a l l t i d ä r samma sak, bara d ä r f ö r a t t det ser u t a t t v a r a det. J a g h ä n v i s a r t i l l exemplen p å division h ä r ovan. E l l e r v a r f ö r inte dessa enkla exem- pel: 25 X

²

/

⁵

= 15 och 3 /

5

. 25 = 15, d ä r det f ö r r a ä r m u l t i p l i k a t i o n och det senare b å d e en division och en m u l t i p l i k a t i o n .

Sammanfattningsvis m å f r a m h å l l a s a t t det inte bara ä r l ä r o g å n g e n , u p p s t ä l l n i n g - en av t a l e n och a n v ä n d a n d e t av enhetliga tecken som ä r betydelsefulla. A v m y c k e t stor v i k t ä r den språkliga behandlingen.