Kursansvarig: Staffan Lundberg

Tentamen i Differentialkalkyl Kurskod M0029M M0036M MAM141 MAM221 MAM281 Tentamensdatum 2009-10-27

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Kursansvarig: Staffan Lundberg

Jourhavande l¨ arare: Staffan Lundberg Tel: 0920-491869

Resultatet meddelas: Via studentportalen https://portal.student.ltu.se/.

F¨or att se n¨ar den r¨attade skrivningen kan

h¨amtas ut, bes¨ok http://www.ltu.se/studentwebben/.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Inga

Till alla uppgifter skall fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, ekvationsl¨ osningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Betygsgr¨ anser: 0–13=U, 14–19=3, 20–25=4, 26–30=5.

Institutionen f¨or matematik

1 (3)

1. Visa med induktion att

1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2

= 2

− 1 f¨or alla positiva heltal n.

Show by induction that

1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2

= 2

− 1 for all positive integers n.

(5 p) (5 p)

2. Best¨am f¨oljande gr¨ansv¨arden (a) lim

x→2

1 x − 2

 1 x −

1 2



(2 p) (b) lim

x→−∞

x(x + √

x

+ 4) (2 p)

(c) lim

x→0

tan 3x

2x

+ 5x (2 p)

Find the following limits (a) lim

x→2

1 x − 2

 1 x −

1 2



(2 p) (b) lim

x→−∞

x(x + √

x

+ 4) (2 p)

(c) lim

x→0

tan 3x

2x

+ 5x (2 p)

3. Betrakta funktionen

f(x) = 4x

+ 2x − 1 2x + 2 .

(a) Best¨am eventuella lokala maxima och

minima. (2 p)

(b) Best¨am eventuella asymptoter. (2 p) (c) Rita grafen till funktionen f . (1 p)

Consider the function

f (x) = 4x

+ 2x − 1 2x + 2 .

(a) Determine any local maxima and mini-

ma. (2 p)

(b) Determine any asymptotes. (2 p) (c) Sketch the graph of f . (1 p)

4. Best¨am ekvationen f¨or normalen till kurvan y = ln(4x + 3y)

i punkten ( 1

4 , 0). (4 p)

Find the equation for the normal line to the curve

y = ln(4x + 3y) at the point ( 1

4 , 0). (4 p)

5. Ett parallelltrapets ¨ar inskrivet i en halvcir- kel med radie 2 s˚ a att en sida ligger l¨angs diametern. Best¨am parallelltrapetsets st¨orsta m¨ojliga area.

2 θ

(5 p)

A trapezoid is inscribed in a semicircle of ra- dius 2 so that one side is along the diameter.

Find the maximum possible area for the tra- pezoid.

2 θ

(5 p)

2 (3)

6 L¨ os en och endast en av de tre f¨ oljande uppgifterna

Solve one and only one of the following problems

6.1 Best¨am den konstanta termen i binomialut- vecklingen av

 1 x

− 2x

2



Determine the constant term in the expansion of

 1 x

− 2x

2



(5 p) (5 p)

6.2 Visa produktregeln f¨or derivator, dvs d

dx f(x)g(x)
= f

(x)g(x) + f (x)g

(x)

Show the rule for differentiating a product of functions, i.e.

d

dx f (x)g(x)
= f

(x)g(x) + f (x)g

(x)

(5 p) (5 p)

6.3 Visa att om en funktion f (x) ¨ar deriverbar f¨or x = x

s˚ a ¨ar funktionen ¨aven kontinuerlig f¨or x = x

. G¨aller omv¨andningen till detta p˚ ast˚ aende? Ge bevis eller motexempel. (5 p)

Show that if a function f (x) is differentiable at x = x

, then f is continous at x = x

. Is the converse proposal true? Give a proof or a

counterexample. (5 p)

3 (3)