Kursansvarig: Thomas Gunnarsson

Tentamen i Differentialkalkyl / Analys 1 Kurskod M0029M M0023M Tentamensdatum 2011-05-17

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgr¨ anser M0029M: U:0–13, 3:14–18, 4:19–23, 25:24–30 Betygsgr¨ anser M0023M: U:0–13, G:14–21, VG:22–30

Kursansvarig: Thomas Gunnarsson

Jourhavande l¨ arare: Thomas Gunnarsson Tel: 1850

Resultatet meddelas p˚ a studentportalen. Via studentwebben kan man f˚ a infor- mation om n¨ ar skrivningen finns att h¨ amta ut p˚ a studenttorget.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Inga

Till alla uppgifterna ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨ or matematik

1 (3)

Uppgift 1

Visa att med induktion f¨ oljande likhet g¨ aller f¨ or alla heltal n ≥ 1

4

n

X

k=1

k

= n

(n + 1)

(5 p)

Uppgift 2

Best¨ am f¨ oljande gr¨ ansv¨ arden (a) lim

x→∞

√ x

+ 3x − √

x

+ 3x + 2

x

+ 4 (1 p)

(b) lim

x→0

sin(4 x) + sin(5 x)

9x (1 p)

(c) lim

x→1

x

+ 2 x − 3

x

− 1 (2 p)

Uppgift 3

Givet funktionen

f (x) = ln( x

+ 1

2 ) + arctan(x)

(a) Best¨ am f

(x) och visa att f (x) ¨ ar inverterbar f¨ or x > −

. (2 p) (b) Best¨ am funktionens st¨ orsta m¨ ojliga definitionsm¨ angd, och v¨ ardem¨ angd.

Ber¨ akna ocks˚ a f (1) och f

(1). (2 p)

(c) Best¨ am (f

)

(π/4). (1 p)

Uppgift 4

(a) Best¨ am nollst¨ allen, lokala extremv¨ arden och asymptoter till kurvan f (x) = x

+ 5

x

+ 3

Skissa kurvan och asymptoter samt ange var funktionen ¨ ar v¨ axande

respektive avtagande. (4 p)

(b) Kurvan har tre inflektionspunkter. Markera dessa ungef¨ arligt p˚ a din kurva (de beh¨ over inte r¨ aknas ut), samt ange var kurvan ¨ ar konkav

upp˚ at respektive konkav ned˚ at (utg˚ aende fr˚ an inflektionspunkterna). (1 p)

2 (3)

Uppgift 5

Best¨ am den punkt p˚ a kurvan

y = 2 + x

d¨ ar x ≥ 0 som ligger n¨ armast punkten (x, y) = (3, 2). (5 p)

Uppgift 6

L¨ os endast en av de f¨ oljande uppgifterna. Om du l¨ oser flera, f˚ ar du po¨ ang enligt den uppgift som gick s¨ amst.

Uppgift 6 A Visa att

d

dx arctan(x) = 1 1 + x

d¨ ar arctan ¨ ar den inversa funktionen till tan(y).

(5 p)

Uppgift 6 B

(a) Formulera medelv¨ ardessatsen. (2 p)

(b) Rita figur och ange en geometrisk tolkning av medelv¨ ardessatsen. (2 p) (c) Bevisa medelv¨ ardessatsen med hj¨ alp av Rolles sats. (1 p) Uppgift 6 C

f (x) ¨ ar en funktion som ¨ ar tv˚ a g˚ anger deriverbar f¨ or alla x. Visa att om

f

(a) = 0 och f

(a) > 0 s˚ a har f (x) ett lokalt minimum f¨ or x = a. (5 p)

3 (3)