Tentamen i Differentialkalkyl / Analys 1 Kurskod M0029M MAM221 M0023M M0036M-0002 Tentamensdatum 2010-08-18

Tentamen i Differentialkalkyl / Analys 1 Kurskod M0029M MAM221 M0023M M0036M-0002 Tentamensdatum 2010-08-18

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgr¨ anser M0029M, MAM221: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30 Betygsgr¨ anser M0023M, M0036M-0002: U:0–13, G:14–22, VG:23–30

Resultatet meddelas p˚ a studentportalen. Via studentwebben kan man f˚ a infor- mation om n¨ ar skrivningen finns att h¨ amta ut p˚ a studenttorget.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Inga.

Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨ or matematik

1 (3)

Uppgift 1

Visa med induktion att f¨ oljande likhet g¨ aller f¨ or alla heltal n ≥ 1 1

2 ¹ + 2 2 ² + 3

2 ³ + . . . + n

2 ⁿ = 2 − 2 + n

2 ⁿ . (4 p)

Uppgift 2

Best¨ am (a)

x→2 lim

x ² − 6x + 8 x ² − 4

(2 p) (b)

x→0 lim

a − √

a ² − x ²

x ² (a > 0)

(2 p) (c)

x→∞ lim

x · 3 ^x + (ln x) ⁴ (1 + 4x)3 ^x + x ¹⁷

(2 p)

Uppgift 3

Givet funktionen

f (x) = x ³ (x + 1) ² .

(a) Unders¨ ok f (x) med avseende p˚ a eventuella asymptoter, eventuella lo-

kala extrempunkter samt eventuella inflexionspunkter. (4 p) (b) Rita funktionskurvan y = f (x) i stora drag. (1 p)

Uppgift 4

Best¨ am ekvationen f¨ or tangenten till kurvan tan(xy) = x i tangeringspunkten P ₀ : 

1, π 4

 .

Tips: y = y(x). (5 p)

2 (3)

Uppgift 5

Givet funktionen

y(x) = ln x x .

(a) Visa att y(x) ¨ ar en l¨ osning till differentialekvationen

x ² y ⁰⁰ + 3 x y ⁰ + y = 0. (2 p)

(b) Best¨ am Taylorpolynomet av grad 2 till y(x) = ln x

x kring punkten

x ₀ = 1. (2 p)

(c) Anv¨ and Lagranges restterm f¨ or att uppskatta det maximala felet, d˚ a

Taylorpolynomet fr˚ an (b) anv¨ ands till att approximera y(11/10). (1 p)

Uppgift 6

L¨ os en och endast en av de f¨ oljande uppgifterna.

Uppgift 6.1

H¨ arled cosinussatsen

c ² = a ² + b ² − 2 ab · cos θ.

Anv¨ and vidst˚ aende figur som del i h¨ arledningen.

y

(x-y)2 b

c y(x-y)

y(x-y)

a (a, 0) x θ

(5 p) Uppgift 6.2

Visa att

d

dx arcsin x = 1

√ 1 − x ²

(5 p)

3 (3)

M0029M, 100818 - Svar

F¨orbeh˚ all f¨or ev. fel.

Uppgift 2 (a) Svar: −1/2.

(b) Svar: 1/2a.

(c) Svar: 1/4.

Uppgift 3 y = x − 2 sned asymptot, x = −1 lodr¨at asymptot.

x = −3 lok. max., x = 0 inflexionspunkt.

(b) Graf, y = x ³ (x + 1) ²

Uppgift 4 Tangentens ekv: y = 2 − π 4 · x +

π − 1 2 Uppgift 5 (b) Taylorpolynomet P (x) = − 3

2 x ² + 4x − 5 2 (c) Felet

11 − 6 ln ξ ξ ⁴

 · (x − 1) ³

3! < 11 6000

1