E h u r u den lättare läsning, som eljest representeras af läseboken, icke fått någon plats v i d u n d e r v i s n i n g e n i mate- m a t i k , har det dock synts författaren af dessa rader, s o m o m den icke vore u t a n a l l betydelse äfven p

E h u r u den lättare läsning, som eljest representeras af läseboken, icke fått någon plats v i d u n d e r v i s n i n g e n i mate- m a t i k , har det dock synts författaren af dessa rader, s o m o m den icke vore u t a n a l l betydelse äfven på detta område.

Särskildt i fråga o m premieböcker har m a n behof af en l e k t y r , som å ena sidan ansluter sig t i l l det genomgångna skolpensum, u n d e r det den å den andra v i d g a r v y e r n a och eggar intresset genom n y a s y n p u n k t e r och tillämpningar.

Förevarande l i l l a uppsats v i l l vara ett försök, o m m a n icke m e d användande af den h i s t o r i s k a s y n p u n k t e n v i d framställningen samt genom a t t h e m t a hjälp från det o m - råde, som plägar betecknas m e d n a m n e t »matematiska tids- fördrif» s k u l l e k u n n a locka t i l l sig en och a n n a n läsares uppmärksamhet, h v i l k e n måhända eljest s k u l l e skrämmas b o r t af ämnets abstrakta t o r r h e t .

D e c i m a l e r n a s framträdande.

M a n f a n n t i d i g t n o g behof af a t t dela en enhet i l i k a delar och a t t räkna m e d bråk. M e n den som vet, h v i l k e t arbete redan a d d i t i o n i bråk innebär m e d den därvid be- höfliga räkningen för a t t b r i n g a delarna t i l l s a m m a slag eller göra bråken liknämniga, h a n förstår, a t t m a n icke i onödan ger sig i färd m e d h v i l k a delar som helst. När ett h e m m a n delas m e l l a n flere arfvingar, så u p p k o m m a , a l l t efter dessas o l i k a a n t a l , o l i k a slag af hemmansdelar, och dessa h e m m a n s t a l skola sedan ligga t i l l g r u n d för t a x e r i n g och skattläggning. För några få år sedan var ännu lag, a t t v i d prestval rösterna s k u l l e räknas efter hemmans- talet. V i d rösternas s u m m e r i n g k u n d e då kräfvas stort arbete, och ofta nödgades m a n röra sig m e d kolossala bråk- t a l , af h v i l k a den tidens prestvalsförrättare hade en m i n d r e angenäm erfarenhet.

På o l i k a håll har därför visat sig en böjelse a t t be- gränsa delarnas o l i k h e t . Så har m a n s t u n d o m ådagalagt förkärlek för tolftedelar och därmed sammanhängande delar;

s t u n d o m har m a n föredragit den upprepade t u d e l n i n g e n .

B a b y l o n i e r n a , som i n d e l a t cirkelns o m k r e t s i 6 gånger 60 grader, graderna i 60 m i n u t e r , m i n u t e r n a i 60 sekunder och dessa i 60 t e r t i e r o. s. v . , införde n u dessa sextiondelar i a r i t m e t i k e n , och. räkningen m e d ett d y l i k t bråksystem h a r k a l l a t s sexagesimalräkning. E n h e t e r n a betecknades s o m grader (°), sextiondelar s o m m i n u t e r (') och sextion delarnas sextiondelar eller 3600-delar som sekunder ("). När m a n på detta sätt inskränkte sig t i l l l i k a r t a d e delar, så blefvo förvandlingarna från det ena slaget t i l l det andra tämligen e n k l a och beräkningarna lätta. 25° 4 8 ' 3 0 " b e t y d e r m e d

48 3 0

detta beteckningssätt 25 + — -f-

, och sammanlägg- ol) obOO

n i n g t i l l s a m m a n s m e d vederbörlig r e d u k t i o n utföres lätt:

25° 4 8 ' 3 0 " - f 70° 20' 4 5 " = 95° 68' 7 5 " == 9 6 ° 9' 15".

V i d m u l t i p l i k a t i o n och d i v i s i o n gaf m a n regler för räk- n i n g e n m e d de o l i k a talenheterna, såsom då m a n sade, a t t grader gånger m i n u t e r ger m i n u t e r , m e n m i n u t e r gånger m i n u t e r ger sekunder. — D e n n a räkning, s o m ännu u n d e r 1600-talet ofta i n t o g en betydande plats i läroböckerna u n d e r n a m n af den astronomiska räkningen (logistica astro- n o m i c a ) , h a r flera gånger sökt tränga sig f r a m och k o m m a t i l l vidsträcktare användning, a l l d e n s t u n d den h a r omedelbar tillämpning och a n k n y t n i n g i mätning och beräkning af v i n k l a r och bågar, därvid ännu i dag motsvarande mått- system äro de vedertagna.

S a m m a tanke, som t a g i t sig u t t r y c k i sexagesimal- bråken, ligger n u t i l l g r u n d för införandet af decimalerna eller användandet i räkningen af t i o n d e l a r och tiondelars t i o n d e l a r , och för d e m h a u t a n t v i f v e l de förra v a r i t före- b i l d e n , hvarför ock i g a m l a t i d e r dessa båda slag af bråk behandlas v i d sidan af h v a r a n d r a i räkneböckerna. Deci- malräkningen kallades ock landtmätarräkning (logistica geo- detica), t y d l i g e n på g r u n d af den lätthet den medförde v i d y t o r s beräkning. Dess s l u t l i g a seger öfver räkningen m e d sexagesimalbråk var e m e l l e r t i d gifven på g r u n d af tiotals- systemets införande v i d t a l b e t e c k n i n g e n samt i s a m m a mån som detta beteckningssätt blef allmännare kändt och b r u k a d t .

Användandet af decimaler plägar t i l l s k r i f v a s araberna,

h v i l k a j u för oss voro förmedlare v i d förvärfvandet af h i n -

duernas t a l s y s t e m . D e n som e m e l l e r t i d i E u r o p a h a r infört

decimalerna i den p r a k t i s k a räkningen är holländaren S i m o n

S t e v i n i en lärobok af år 1585, hvarjämte tysken J o h a n n

H a r t m a n n Beyer omnämnes m e d en uppsats i ämnet år

1603 och en lärobok af år 1 6 1 9 .

Georg- S t i e r n h i e l m o e h d e c i m a l e r n a i S v e r i g e . Det var n a t u r l i g t , att införandet af decimalerna skulle- gå h a n d i h a n d m e d förslagen t i l l förbättrade mått- och målsystem, grundade på t i o t a l s p r i n c i p e n ; t y först i o c h med ett sådant system får räkningen m e d decimaler s i n stora p r a k t i s k a betydelse. D e t v a r den på reformidéer r i k a t i d e n närmast före och efter Gustaf I I A d o l f s död, som bragte dessa frågor t i l l l i f , och Nordens i n t i m a beröring m e d H o l l a n d och T y s k l a n d , kärnan i den tidens protestan- t i s k a E u r o p a , förde äfven decimalräkningen t i l l vårt land;.

M o t m i d t e n af 1600-talet märker m a n således, att d e c i m a - l e r n a b l i uppmärksammade v i d våra u n i v e r s i t e t i Upsala och Å b o , m e n en jordmån, där dessa tankefrön särskildt synas hafva t a g i t r o t , är vårt af Johannes Rudbeckius nyss upprättade första g y m n a s i u m i Vesterås.

1625 utnämndes t i l l l e k t o r därstädes förre lärjungen v i d läroverket den lärde bergsmanssonen från Dalarne Göran Lilje, som på omfattande resor i E u r o p a v u n n i t en r i k . b i l d n i n g . Visserligen verkade h a n i c k e länge där, t y h a n kallades snart därefter af Gustaf A d o l f t i l l läsmästare v i d . det i S t o c k h o l m inrättade C o l l e g i u m i l l u s t r e , ett g y m n a s i u m för a d l i g u n g d o m ; m e n det finnes a n l e d n i n g a t t antaga, att hans i n f l y t a n d e i Vesterås i c k e begränsades af den k o r t a tjenstgöringstiden. I efterlemnade m a n u s k r i p t af hans h a n d finnas utförliga b e h a n d l i n g a r af räkning m e d decimaler, och detta får så m y c k e t större betydelse, då m a n vet, a t t det är samme m a n som under det adliga, i vår l i t t e r a t u r s häf- der så välbekanta n a m n e t Georg Stiernhielm fick K o n g l . Maj:ts u p p d r a g att närmare bestämma r i k e t s mått, mål och;

v i g t samt f r a m l a d e ett berömvärdt förslag t i l l tiotalssyste- mets tillämpande på detta område, ett förslag som ock v a n n vederbörlig k u n g l i g stadfästelse. Redan dessförinnan hade h a n af Gustaf A d o l f b l i f v i t adlad, samt erhållit i för- läning ett par gods i L i f i l a n d , och senare bekläddes h a n m e d höga ämbeten i detta oroliga gränsland. A f förlä- n i n g e n hade h a n dock i n g e n långvarig glädje, i det godsen härjades af ryssarna och h a n själf u t f a t t i g jagades öfver Östersjön.

S t i e r n h i e l m s intresse för naturvetenskapen och hans stora

m a t e m a t i s k a lärdom voro för den t i d e n ovanliga. H a n

säges hafva i Sverige infört solglaset och m i k r o s k o p e t . När

h a n m e d ett solglas tände på en liffländsk bondes skägg

och i m i k r o s k o p e t förevisade bekanta smådjur i häpnads-

väckande förstoring, råkade h a n i l l a u t för presterskapet i L i f f l a n d , som e x k o m m u n i c e r a d e h o n o m för h e x e r i och ateism.

H a n måste, för a t t b l i befriad från bannet, i en o r a t i o n v i d Dorpats u n i v e r s i t e t redogöra för s i n t r o på G u d och hans u n d e r i n a t u r e n . »Stiernhielm var», säger H u l t m a n * ) , »lång och reslig, b r u k a d e eget hår ( i allongeperukens t i d e h v a r f ) , k o r t pipskägg och b e k y m r a d e sig ej m y c k e t , h u r u h a n g i c k klädd, hade a l l t i d ett g l a d t sinne, försatte h e l l r e sina ange- lägnaste sysslor, än h a n försummade ett r o l i g t sällskap; v a r arbetsam och hade ganska m y c k e t för sig, h v i l k e t merendels stannade i b l o t t a förslag.» D e t v a r icke b l o t t i religiösa saker som hans frispråkighet bragte h o n o m m o t i g h e t e r ; v i d hofvet föll h a n i onåd och förvisades därifrån' af d r o t t n i n g K r i - stina. H a n dog såsom r i k s a n t i k v a r i e år 1672, sedan h a n u n d e r senare delen af s i n l e f n a d egnat sig åt språkforskning och ett v i t t e r t författarskap, som b l e f epokgörande för Sveriges l i t t e r a t u r .

Det finnes flere skäl som göra det antagligt," a t t det var denne mångsidigt lärde och idérike mans väckande i n - v e r k a n , s o m hade g j o r t sig gällande, när år 1643 i Vesterås af t r y c k e t utgafs den första svenska lärobok, i h v i l k e n deci- malräkningen är b e h a n d l a d , en b e h a n d l i n g s o m på det närmaste ansluter sig t i l l S t i e r n h i e l m s . Författare t i l l det förtjenstfulla arbetet var läraren i Vesterås, k a p e l l a n e n v i d d o m k y r k a n därstädes, M a t t i a s Biörk, och b o k e n är t i l l e g n a d b i s k o p e n , k y r k o h e r d e n , läsmästaren, borgmästaren, befall- ningsmännen, rådmännen, köpmännen, handelsmännen och borgerskapet i Vesterås. — »Somliga hafva», säger förf.,

»delt s i n mätestång u t i alnar, skor, grader o. s. v . E n p a r t h a f v a sönderdelt h v a r sin a l n eller annat grundmått i 60 delar l i k s o m u t i logistica sexagenaria. D e r m e d h a f v a de k o m m i t både u t i ledsam räkning, såsom ock stor v i l l f a r e l s e i s i n räkning. D e t t a h a f v a några behjertade m a t h e m a t i c i låtit gå sig t i l l sinnes och uppsökt beqvämliga m e d e l detta besväret t i l l a t t l i n d r a . U t i h v i l k e n k a m p J o h a n n H a r t - m a n Beyer hafver sig m a n l i g e n bevisat m e d s i n logistica d e c i m a l i . M e d l e t t i l l a t t l i n d r a m e d hafver h a n t a g i t e t t beqvämligt o c h högt öfver andra p r i v i l e g i e r a d t t a l , näm- l i g e n 1 0 . »

S t i e r n h i e l m och Biörk beteckna d e c i m a l e r n a något an-

n o r l u n d a , än h v a d n u m e r a är b r u k l i g t . I a n s l u t n i n g t i l l

beteckningen v i d sexagesimalräkningen anges de h e l a m e d

0

(graden) i n o m en l i t e n c i r k e l , och på l i k n a n d e sätt anges g e n o m ett tecken den sista siffrans betydelse i andra f a l l . Sålunda äro a t t märka följande sätt a t t skrifva, h v i l k a s betydelse v i angifva m e d n u v a r a n d e d e c i m a l b e t e c k n i n g :

5 2 3 ® = 523 5 7 0 3 4 ® = 5,7034

5 6 © =

3 4 5 © = 0,0345.

D e c i m a l k o m m a t hade nämligen då ännu ej k o m m i t t i l l an- vändning. A d d i t i o n e n går så t i l l , a t t siffror, s o m s k u l l e hafva s a m m a tecken, sättas under h v a r a n d r a . V i d subtrak- t i o n e n förvandlas t a l e n i t i l l s a m m a tecken, därigenom a t t m a n tillsätter n o l l o r och ökar tecknet m e d l i k a många enheter. V i d m u l t i p l i k a t i o n e n får m a n den regeln, a t t m a n s k a l l addera faktorernas tecken. När d i v i s i o n s k a l l ske, böra tecknen subtraheras, m e n därvid har m a n a t t se t i l l , a t t dividendens tecken i c k e är m i n d r e än divisorns, i h v i l k e t f a l l m a n måste öka tecknet l i k s o m v i d s u b t r a k t i o n . På s a m m a sätt som S t i e r n h i e l m s u p p s l a g t i l l n y a mått föll i glömska och vanhäfd*), så försvann ock decimalräk- n i n g e n u r de v i d a obetydligare läroböcker, som u n d e r de följande t i d e r n a blefvo de herskande v i d skolorna, och m a n k a n säga, a t t räkningen m e d decimaler v a r i t v i d skolunder- v i s n i n g e n bortglömd, ända t i l l s den u n d e r 1800-talet åter bragtes å bane genom den då å n y o u p p d y k a n d e frågan o m måttsystemets r e f o r m e r i n g .

Räkning- m e d d e c i m a l e r .

Låter m a n det s. k . d e c i m a l k o m m a t i ett t a l bestämma de enheter, s o m de särskilda siffrorna beteckna, så a t t siffran t i l l venster o m k o m m a t anger g r u n d e n h e t e n samt siffrorna t i l l höger t i o n d e l a r , h u n d r a d e l a r , tusendelar o. s. v. i ord- n i n g , så har m a n det d e c i m a l a eller dekadiska talbeteck- ningssystemet u t v i d g a d t och fullständigadt, och därvid beteck- n a r h v a r j e siffra en enhet, som är t i o gånger så stor s o m den följande siffrans och t i o n d e l e n af den föregående siffrans enhet.

A t t n u a d d i t i o n och s u b t r a k t i o n försiggå på s a m m a sätt som v i d räkning m e d hela t a l , faller af sig sjelft, b l o t t att m a n låter motsvarande enheter stå öfver h v a r a n d r a , d .

*) Se uppsatsen »Om metersystemet och mätning» i förfcs

lilla bok: Populär matematik. Stockholm 1898.

v. s. låter d e e i m a l k o m m a t a stå öfver h v a r a n d r a . A f det förut sagda framgår ock, a t t m a n i resultatet förvandlar en sorts enheter t i l l närmast högre sorts genom öfverförande af m i n n e t från en k o l u m n t i l l den närmaste t i l l venster, och a t t m a n likaledes v i d fråndragning k a n låna en enhet från föregående siffra, h v i l k e n enhet då k o m m e r a t t gälla för t i o enheter i det närmast följande r u m m e t .

N u är a t t märka, a t t ett d e c i m a l t a l m u l t i p l i c e r a s m e d 10, b l o t t m a n f l y t t a r d e c i m a l k o m m a t ett steg t i l l höger, emedan då enheten för h v a r j e siffra i t a l e t b l i r 10 gånger så stor som förut. A f s a m m a g r u n d är k l a r t , a t t m a n erhåller t i o n d e l e n , h u n d r a d e l e n eller tusendelen af ett t a l genom a t t flytta k o m m a t ett, två eller tre steg t i l l venster.

I fråga o m m u l t i p l i k a t i o n är saken här l i k a e n k e l som v i d räkning m e d hela t a l , såvida > m u l t i p l i k a t o r n är ett h e l t t a l ; m a n h a r b l o t t a t t i a k t t a g a , a t t sista siffran i p r o d u k t e n s k a l l ange s a m m a slags enhet s o m sista siffran i m u l t i p l i k a n d e n , d. ä. a t t d e c i m a l k o m m a t s k a l l behålla s i n p l a t s . M e n o m äfven m u l t i p l i k a t o r n innehåller decimaler, så måste m a n först göra sig e t t begrepp o m a t t m u l t i p l i - cera m e d t i o n d e l a r , h u n d r a d e l a r o. s. v . D e t bör då v a r a t y d l i g t , a t t l i k s o m det a t t taga något 300 gånger k a n sägas v a r a d e t s a m m a som a t t af den saken eller af det t a l e t taga

• 3 h u n d r a t a l , likaså måste det a t t m u l t i p l i c e r a e t t t a l m e d 3 h u n d r a d e l a r v a r a a t t taga 3 h u n d r a d e l a r af det t a l e t . Priset på 5 m . efter 2 k r . p r m . är 5 X 2 k r . , och p r i s e t på 0,5 m . eller 0,5 X 2 k r . är 5 t i o n d e l a r af 2 k r . Fast- håller m a n detta samt e r i n r a r sig, a t t i af m u l t i p l i k a n d e n erhålles g e n o m a t t flytta dess k o m m a ett steg t i l l venster o. s. v . , så är det först och främst k l a r t , a t t m a n här l i k - som v i d h e l a t a l erhåller en d e l p r o d u k t för h v a r j e siffra i m u l t i p l i k a t o r n och a t t h v a r efter annan af dessa delpro- d u k t e r måste placeras ett steg längre och längre t i l l venster för a t t d e e i m a l k o m m a t a skola k o m m a u n d e r h v a r a n d r a v i d a d d i t i o n e n . Likaså inses, a t t antalet decimaler i slutpro- d u k t e n måste b l i l i k a stort s o m i den första d e l p r o d u k t e n , t y i n g e n följande d e l p r o d u k t h a r så många decimaler.

Följande e x e m p e l förtydligar d e t t a :

N u h a r första d e l p r o d u k t e n så många decimaler m e r än m u l t i p l i k a n d e n , som det finns decimaler i m u l t i p l i k a t o r n ; d å nämligen m u l t i p l i k a t o r n s sista siffra är 4 tusendelar, så måste m a n taga 4 gånger tusendelen af m u l t i p l i k a n d e n eller 4 gånger ett t a l , som har 3 d e c i m a l e r m e r än m u l t i p l i k a n - den. A n t a l e t decimaler i första d e l p r o d u k t e n , och således äfven i s l u t p r o d u k t e n , k o m m e r följaktligen a t t v a r a så s t o r t som antalet i m u l t i p l i k a n d e n ökadt m e d a n t a l e t decimaler i m u l t i p l i k a t o r n .

D i v i s i o n e n låter sig ock återföra t i l l reglerna för d i v i - sion i hela t a l . Ä r för det första d i v i s o r n ett h e l t t a l , så finnes i n t e t som s k i l j e r d i v i s i o n e n m e d d e c i m a l e r från hel- t a l s d i v i s i o n , b l o t t a t t m a n i a k t t a g e r att, när räkningen fort- s k r i d i t t i l l d e c i m a l k o m m a t i d i v i d e n d e n , m a n h a r fått k v o - tens h e l a d e l ; resten måste därpå förvandlas t i l l t i o n d e l a r , hvarefter kvotsiffran, som erhålles, anger t i o n d e l a r o. s. v . V o r e för det a n d r a äfven d i v i s o r n ett d e c i m a l t a l , så är det enklaste betraktelsesättet a t t b y t a o m grundenheter, så a t t enheterna för sista siffran i d i v i s o r n betraktas som g r u n d - enheter, h v a r i g e n o m d i v i s o r n b l i r ett h e l t t a l och k o m m a t i d i v i d e n d e n r y c k e r f r a m t i l l höger l i k a många steg, s o m det förut fanns decimaler i d i v i s o r n . Resultatet af d i v i - sionen k a n nämligen i c k e undergå någon förändring däri- g e n o m , a t t d i v i d e n d och divisor läsas i a n d r a grundenheter.

När d i v i s i o n e n afser a t t bestämma, h u r u många gånger ett t a l innehålles i ett annat, är lätt a t t inse, a t t denna för- ändring är tillåtlig: o m m a n bestämmer, h u r u många gånger 2,35 m . innehålles i 12,925 m . eller h u r u många gånger 2 3 5 c m . innehålles i 1292,5 c m . , k o m m e r j u på ett u t . M e n äfven då d i v i s i o n e n afser a t t åstadkomma någon slags d e l n i n g , k a n m a n lätt förstå, a t t ofvannämnda förändring får ske. Låt frågan t . ex. v a r a följande: O m 2,45 h l . väger 236,915 k g . , h v a d är v i g t e n af 1 h l . ? I f a l l m a n då i stället för d i v i s i o n e n 23 6,915 : 2,45 d i v i d e r a r 23691,5 m e d 2 4 5 , så får m a n j u v i g t e n af 1 1. u t t r y c k t i h u n d r a d e l a r af k g . , m e n t y d l i g e n är j u det s a m m a t a l s o m säger v i g t e n af 1 h l . i k g .

E t t m ä r k v ä r d i g t t a l .

Det .finnes en l i t e n a r i t m e t i s k gåta af följande lydelse.

T a g det sexsiffriga t a l e t 1 4 2 8 5 7 och m u l t i p l i c e r a m e d t a l e n

i n t i l l 6, så erhåller m a n :

D e n y a t a l e n innehålla s a m m a siffror i samma f ö l j d : det ä r som o m första o c h sista siffran i talet toge h v a r a n n i h a n d och siffrorna b i l d a d e en r i n g , hvarpå m a n börjar h v a r som helst och, alltjämt gående i s a m m a l e d , räknar f r a m e t t sexsiffrigt t a l . Därvid får m a n då ofvanstående 6 t a l . Det är t y d l i g t , a t t regeln i c k e k a n räcka längre än t i l l m u l t i p l i k a t i o n e n m e d 6, t y m a n h a r n u fått f r a m a l l a möjliga t a l af detta slag, o c h dessa k u n n a j u i c k e k o m m a t i l l b a k a , då p r o d u k t e r n a m e d högre t a l måste b l i större.

M e n v i d nästa steg möter en n y egendomlighet, m a n får :nu n i o r öfverallt.

7 ggr 142857 = 9 9 9 9 9 9 . Går m a n vidare, så erhålles

8 ggr 142857 = 1 1 4 2 8 5 6 ,

s o m är ett sjusiffrigt t a l ; m e n o m m a n af s k i l j e r första siffran t i l l venster och adderar t i l l det återstående talet, så erhålles åter ett af de bekanta t a l e n :

1 4 2 8 5 6 -4- 1 = 1 4 2 8 5 7 . .

D e t s a m m a inträffar m e d a l l a följande m u l t i p l i k a t o r e r : O m m a n i p r o d u k t e n från höger räknadt afskiljer ett sex- -siffrigt t a l och därtill lägger det, som då b l i r öfver, så får m a n a l l t i d t i l l b a k a ett af de 7 t a l e n .

64 ggr 1 4 2 8 5 7 = 9 1 4 2 8 4 8 men 1 4 2 8 4 8 + 9 = 1 4 2 8 5 7

186 ggr 1 4 2 8 5 7 = 2 6 5 7 1 4 0 2 men 5 7 1 4 0 2 + 26 = 5 7 1 4 2 8 .

För h v a r gång som m a n använder en m u l t i p l i k a t o r , rsom är en m u l t i p e l af 7, så erhåller m a n genom nyssbe-

s k r i f n a förfarande samma resultat som erhölls v i d m u l t i - p l i k a t i o n m e d 7.

84 ggr 1 4 2 8 5 7 = 1 1 9 9 9 9 8 8 men 9 9 9 9 8 8 + 11 = 9 9 9 9 9 9 .

V i skola finna förklaringsgrunden t i l l dessa gåtfulla förhållanden, när v i g j o r t en u t r e d n i n g af ett och annat, som står i förbindelse m e d decimalbråken.

E t t bråks förvandling' t i l l decimalbråk.

M a n s k u l l e undgå de besvärliga bråkräkningarna, o m

m a n k u n d e förvandla h v a r j e förekommande bråk t i l l deci-

m a l b r å k . M e n n u är det u p p e n b a r t , a t t detta i allmänhet

i c k e låter sig göra, så v i d a m a n afser absolut l i k h e t . O m m a n nämligen förutsätter; h v i l k e t j u är tillåtet, a t t m a n b l o t t h a r a t t göra m e d oförkortliga eller fullständigt för- k o r t a d e bråk, så är förlängning den enda räkning, h v a r i - genom en d y l i k förvandling s k u l l e k u n n a ske. T y o m m a n medger, a t t bråk få förkortas o c h förlängas, d. ä. a t t bråket icke t i l l s i t t värde undergår någon förändring, när täljare och nämnare s a m t i d i g t divideras eller s a m t i d i g t m u l t i p l i - ceras m e d s a m m a t a l , så innebär j u detta äfven a t t h v a r j e a n n a n räkning, h v a r i g e n o m i täljare och nämnare faktorer s k u l l e införas eller borttagas, h v i l k a icke vore l i k a , måste- medföra en förändring af bråkets värde. — N u är ett deci- malbråk i n g e n t i n g annat än ett bråk, hvars nämnare är 10, 10 ggr 10 = 1 0

, 10 g g r . 1 0 ggr 10 = 1 0

o. s. v . , eller m e d andra o r d ett bråk, hvars nämnare innehåller såsom faktorer l i k a många tvåor och femmor. Oäraf f r a m - går, a t t i n t e t bråk, hvars nämnare innehåller någon a n n a n f a k t o r än 2 eller 5, k a n förvandlas t i l l ett decimalbråk, och likaså inser m a n , h u r u förvandlingen s k a l l ske, när den.

är möjlig, i det m a n inför de felande tvåorna eller f e m m o r n a såsom faktorer genom förlängning.

21 _ 2 1 _ _ 2 1 . 5

_ 5 2 5 _ 40 ~ 2 ^ 5 ~ 2*5* ~ 1ÖÖÖ ~~ '

'

O m ett bråk ej hör t i l l det slag, som k a n förvandlas t i l l ett decimalbråk af alldeles l i k a storlek, så k a n m a n dock angifva, h u r u många hela, tiondelar, h u n d r a d e l a r o., s. v . bråket innehåller, så a t t det, s o m lemnas å sido, är m i n d r e än en enhet af sista sorten, eller m . a. o. m a n k a n tillnärmelsevis u t t r y c k a bråkets värde i decimalbråk o c h det h u r u nära m a n någonsin v i l l . O m m a n på detta sätt

13

v i l l u t t r y c k a — m e d decimaler, så behöfver m a n b l o t t se t i l l , h u r u många gånger och t i l l h u r u många t i o n d e l a r ,

7 13 h u n d r a d e l a r o. s. v . enheten eller — innehålles i — , det

v i l l säga: m a n s k a l l utföra d i v i s i o n e n 1 3 : 7 ; t y a t t talens-

enheter äro sjundedelar i n v e r k a r ej det ringaste på d i v i s i o -

nen. Därvid erhåller m a n :

N u är v i d denna räkning a t t märka, att, så snart kvotens h e l t a l s d e l är bestämd, de rester som u p p k o m m a v i d sökandet af d e c i m a l e r n a äro inskränkta t i l l de- hela t a l , s o m äro m i n d r e än d i v i s i o r n , här 6, 5, 4, 3, 2 och 1. 0 k a n i c k e förekomma, då j u d i v i s i o n e n ej k a n gå j ä m n t u p p . M a n måste följaktligen återkomma t i l l s a m m a rest, h v i l k e t i förevarande e x e m p e l , där d i v i s o m är 7, a l l r a sist måste inträffa i sjunde resten, och därefter framträda precis s a m m a siffror i k v o t e n på n y t t , på g r u n d af a t t resterna u p p r e p a sig i s a m m a o r d n i n g , i h v i l k e n de förut framträdt.

Resultatet b l i r då h v a d m a n k a l l a r ett p e r i o d i s k t deeimal- 13

bråk. På det sättet finner m a n - y = 1,857142857142 , ett p e r i o d i s k t decimalbråk, i h v i l k e t p e r i o d e n är 8 5 7 1 4 2 . Det k a n e m e l l e r t i d hända, a t t den första resten åter- k o m m e r t i d i g a r e , och då b l i r p e r i o d e n m i n d r e , än h v a d m a n k u n d e antaga på g r a n d af nämnarens storlek. Så är

g

— = 0,272727 , där perioden 27 är tvåsiffrig, e h u r u nämnaren är 1 1 . Äfven ensiffrig k a n p e r i o d e n vara, t . ex.

2

- = 0,6660

o

Det är t y d l i g t , a t t n u beskrifna räkning k a n användas,,

äfven då m a n v i l l t i l l decimalbråk förvandla ett sådant

bråk, s o m n o g g r a n n t k a n u t t r y c k a s m e d decimaler, b l o t t a t t

m a n då k o m m e r t i l l en rest 0 och räkningen afslutas.

E t t p e r i o d i s k t decimalbråks förvandling

t i l l allmänt bråk.

Periodiska decimalbråk, sådana de n u b l i f v i t beskrifna, k u n n a vara dels rena, h v i l k a b l o t t bestå af den upprepade p e r i o d e n , t . ex. 0,272727 , dels blandade, i h v i l k a perio-

dens framträdande föregås af några icke p e r i o d i s k a siffror, t. ex. 0,2151515 och 1,857142857142 M a n plägar för korthetens s k u l l u t s k r i f v a perioden b l o t t en gång m e n ange dess egenskap af p e r i o d genom ett streck öfver den- samma. Sålunda skrifver m a n : 0,27; 0,7; 0,277; 1,877777.

Beträffande de rena p e r i o d i s k a decimalbråken är det t y d l i g t , a t t h v a r j e sådant k a n uppdelas i faktorer, af h v i l k a den ena är p e r i o d e n sjelf. 0,77 = 0,272727 . . . = 27 . 0 , 0 1 0 1 0 1 . . .

= 27.0,77. D e n a n d r a f a k t o r n är ett enklare p e r i o d i s k t decimalbråk, i h v i l k e t p e r i o d e n utgöres af en etta m e d eller u t a n föregående n o l l o r . N u är det e m e l l e r t i d lätt a t t taga reda på, h v a d d y l i k a - p e r i o d i s k a decimalbråk motsvara, t y i = 0,7; ~ = 0,77; -Å^ = 0,777 o. s. v . V i d sådana bråks y y y y y y

förvandling t i l l decimalbråk b l i r nämligen resten a l l t i d e n etta, och när den b l i f v i t försedd m e d vederbörliga antalet n o l l o r , går d i v i s o r n a l l t i d u p p däri 1 gång. Däraf följer

1 27 3

n u a t t 0,77 = 2 7 . 0 , o i = 2 7 . ^ = — = — . Likaså är 1 3 5 1 13

0,777 = 351.0,777 =

- 9 9 9 = 999 = 37-

S

e n k e l regel för a t t finna, h v i l k e t bråk som motsvarar ett u p p g i f v e t r e n t p e r i o d i s k t decimalbråk.

V i d de blandade p e r i o d i s k a decimalbråken k a n m a n finna det motsvarande bråket medels följande förfaringssätt.

J _ _ 2,77. _ 2 0,77 2 15.0,77 2_ 15_

'

10 10 10 10 ^ 10 10 990

1 9 8 + 15 _ 213 _ 7 1 ' 99Ö~ ~ 99Ö ~ 3 3 0 '

Förklaring a f d e t gåtfulla t a l e t s e g e n s k a p e r . N u äro v i rustade t i l l a t t u t r e d a g r u n d e n t i l l de egen-

•domliga förhållanden, s o m visade sig v i d t a l e t 1 4 2 8 5 7 . O m

d e t t a nämligen fattas s o m p e r i o d e n i ett decimalbråk u t a n

..ända, så finner m a n :

E f t e r s o m p e r i o d e n innehåller 6 siffror och bråkets näm- nare är 7, så hafva således a l l a de 6 möjliga resterna före- k o m m i t . M e n då är det t y d l i g t , a t t s a m m a rester måste, förekomma och i s a m m a o r d n i n g , o m m a n förvandlar ett : a n n a t bråk m e d s a m m a nämnare t i l l p e r i o d i s k t decimalbråk,

5

t . ex. n a t u r l i g t v i s dock m e d u n d a n t a g för d e m , h v i l k a s täljare är 7 eller en m u l t i p e l af 7. D i v i s o r n v i d räkningen är j u nämligen a l l t i d densamma, m e n begynnelseresten, från h v i l k e n decimalernas bestämmande utgår, k a n vara en annan, och således äfven första siffran i perioden, m e n från de f r a m k o m n a l i k a resterna fortgår räkningen i de o l i k a f a l l e n

5

absolut l i k a . — måste således, förvandladt t i l l decimalbråk, förete en p e r i o d af s a m m a siffror i s a m m a följd som — >

b l o t t a t t början sker m e d s k i l d a siffror. — M e n n u bör

5 i m a n få — äfven genom m u l t i p l i k a t i o n e n 5. — = 5. Q , u g 8 « 7 -

Pöljaktligen bör 5.142857 gifva t i l l p r o d u k t ett t a l m e d s a m m a siffror i s a m m a följd, e h u r u m e d o l i k a begynnelse- siffra — eller j u s t det förhållande, som v i förut f u n n i t ega r u m och n u s k u l l e förklara.

S k u l l e e m e l l e r t i d den använda m u l t i p l i k a t o r n n v a r a så stor, a t t p r o d u k t e n b l i r m e r än sexsiffrig, h v i l k e t i n - träffar när n är större än 7, så k o m m e r v i d m u l t i p l i k a t i o n e n n X

h v a r j e p e r i o d a t t i n v e r k a på den föregående g e n o m ett m i n n e , som t i l l s i n storlek angifves af de siffror, h v a r m e d p r o d u k t e n n X 1 4 2 8 5 7 öfverstiger ett sexsiffrigt t a l . D e n n y a p e r i o d e n bör således erhålles genom a t t af- s k i l j a dessa öfverskjutande siffror t i l l venster och addera det af d e m b i l d a d e t a l e t t i l l det så återstående sexsiffriga.

M e n denna n y a p e r i o d i det d e c i m a l t a l , s o m m o t s v a r a r bråket y , s k u l l e j u s t , e n l i g t h v a d of van är visadt, vara ett t a l af

•ofvannämnda slag, bestående af s a m m a siffror i s a m m a följd.

Beträffande det f a l l a t t m u l t i p l i k a t o r n är 7 eller en m u l t i p e l af 7, så är först ,att märka, a t t 7. 0 , 1 4 2 8 5 7 = ' 7 . - 5

1 .

= 1. M e n o m m a n sätter — = 0,142857 u t a n u p p r e p n i n g af

perioden, så begår m a n ett f e l , t y den sista resten v i d d i v i s i o n e n , s o m är = 1 , h a r m a n k a s t a t b o r t . V i l l m a n således stanna v i d dessa decimaler, så s k u l l e m a n egent- l i g e n hafva t i l l a g t en k o r r e k t i o n så stor som ~ af den v i d d i v i s i o n e n resterande m i l l i o n d e l e n . O m m a n då m u l t i p l i - cerar 0,142857 m e d 7, så bör m a n på en m i l l i o n d e l när få t— == 1 eller 0,999999. D e t är således k l a r t , a t t m a n v i d m u l t i p l i k a t i o n e n af 142857 m e d 7 bör få e t t t a l af i d e l n i o r . Är åter m u l t i p l i k a t o r n m . 7 och m a n i stället för m . 7 . sätter p r o d u k t e n m . 7 X 0,142857, så b l i r resul- tåtet -

.

m . m i n d r e än hela t a l e t m eller ett d e c i m a l t a l ,

1 0 0 0 0 0 0 ^ hvars h e l t a l s d e l är m — 1 och d e c i m a l d e l 0,999999—lOOOOOO'

A f s k i l j e s således heltalsdelen m — 1 och adderas såsom

m i l l i o n d e l a r , så måste a l l t i d resultatet b l i ett t a l af 6 n i o r ,

h v i l k e t visar a t t den u p p g i f n a regeln äfven i detta f a l l

måste vara sann.