Dissertatio de memorabiliori quodam loco geometrico quarti ordinis, quam, consent. ampl. ord. philos. censuræ modeste offerunt mag. Andreas Bratt ... et Elias Christoph. Grenander, Vestrogothi. In audit. Gust. maj. d. XIII. Junii MDCCXCIV. h. c

DISSERTATIO, DE

MEMORABILIORI

_QÜODAM

LOGO

GEOMETRICO

QUARTI

ORDINIS,

QUAM,

CONSENT. AMPL. ORD. PHILOS.

CINSURJE MODESTE OFFJERUNT

MAG.

ANDREAS

,

ET

ELIAS

CHRISTOPH.

VäSTROGOTHI,

IN AUDXT. GUST. MAJ. D. XIII. JUNII MDCCXCIV.

H. C.

UPSALIAE,

SACRA M REGI AM

MAXIMM

FIDEl

VIRO,

DIOECESEOS SCAKENS1S

EM IN ENTIS SIMO,

EEGII ORDINIS DE STELLA POLARI

S. S.

THEOV DOCTORU

REVERENDISSIMO-MMC

ENAT

I

MAXIMO,

SÅCRUM

VOtUERUNT fEiESES et RESPONDEN& N

DE

MEMORABILIORI QUODAM

LOGO GEÖMETRICO QUARTI

ORDim

§. I.

Quamvis

tes, cvidentia, certirudine Sc concinnitate

idoneis judicibus fingulae fe

Mathefeos

commcn«

par¬

dent; habet tarnen Do&rina Curvarum incitament» quas«

dam fibi _{propria, quibus ingenia allicit, derinetque.}

Pri-mum enim eft hujus _{argumenti non fumma ranturn} Sc in-telle&u _confequenda,

_Ted

_{etiam ipfis ocuiis percipienda}

varietasj deinde ejus ufus per roram Mathefin latisfime paténsj ipfa denique traöandi methodus ita fagax, ut

ingenium, quam fperare fas esfet, Sc acutius Sc longius

ccrnere ßbi videatur. Inrendirur _{quafi mentis acies}

cal-culis _{Analyticis, quorum ope acriori vifu pun&a}

_Curva¬

rum _{multiplicia diftinguere, harumque in infinitum} ex-currentia crura _{perfequi licet, quam posfet oculus}

micro-fcopio Leuvenhcekiano, vel Herfcheliano telefcopio,

in-Prudis imus. Non _{amplisfimis rerum geftarum monu¬} mentis tam accurate _{alicujus fata recenfentur, quam}

bre-vi _{aequatione continetur curvae cujusque natura; cujus}

o-mnes res arcanae ex _{paucis, quibus illa conftat, terminis}

eruuntur, modo _{linguam illam Algebraicam, qua}

invo-hitae _{funt, re£le tenueris.}

Sed, quemadmodum non iine Mathematica

volupta-te, ex data Curvae _{aequatione, hujus naturam Sc proprie¬} täres, _{pun&a multiplicia, nodos, Afymptotos, ramos}

in-finitos, cetera, _{inveftigamus; ita} nec minus jucunditatis habet, « dato motu _{quodam, quo curva defcribitur, vel}

e dads _{quibusdam proprietatibus chara&erifticis, ipfam}

curvae _{aequationena eruere. Hanc Doftrinae Curvarum}

par-4 Be Mentorabiliori quodum

partem in primis cxcoluisfe cenfendus eß

Celeberrimus

ille _{Maclaurinus, qui in Geometrin Ria Ovganica,} Defcri-ptionem maxime Curvarum Gaometricarum

Newtonia-nam, rotatione _{angulorum darorum} re£larumque

fe

inter-fecantium ope perficiendam, eximiis proiTus inventis

am-plificavit, Sed quoniam eft hoc argumentum

vaftisfimi

ambitus, fieri non _{potuit, quin permulta} huc fpe£ka? tia

perleviter tantum _{perßrinxerit, pluriumque Curvarum}

Ordinem tantummodo _{generåtim, non item aequationem}

indicaverit. _{Exempli ioco fit Prop. 2. Part. II. Lib. cit.}

pag. 83, ubi oftenditur: fi nnguli clati EBK FCH circa

pun&a data B Zf C rotentur, crurumque BE & CF

interfe-Bio G _{percurrnt SeBionem Conicam AGD, per nnitrum Polo¬} rum B vet C _{iranseuntem; reliquorum crurum BK Cfi} concurfnm L defcriptarum esfe lineam ovdinis quarti. Perele¬

gantem hunc locum Au£lor indire&a tantum

demonftra-tione _{munivir, generatim tantum oftendendo, oriundam}

curvam re&ae occurrere non posfe, _in pluribus, _quam quatuor, puncUs; unde esfe illam quarti Ordinis debere

eolligitur. Cum igirur adhuc ipfi* sequatio plane

defide-retur, eaque fit complicatior, & ordinem, quam re ipfa

tenet _{Curva, multo alnorem facile mentiatur, nifi bre~} visiima ad illam via _{contendatur; veniam nos} impetratu-ros _{confidimus, fi quid huic defe£lui fupplendo, pro} in-gcnioli modulo & Speciminis Åcademici loco, meditati fuerimus, _{perbenigno oequi Le&oris judicio hisce pageL} Iis _{modefte fubmiferimus.}

§. IL

Sumta _{itaqtie BC pro radio feu = r, Sc demisfis} normalibus GN <k LM; fint _{Tang. EBK= /*, Tang. FCH}

= BM=.x, _{LM= y, MC =z r — x, BN~z, NG} = _{Ut NC= r— & Ob BM}

{x): ML (y) :; r ; Tang.

MBL^

Loco Geometrico Qyurti

Oväinis„

$

erit _Tang.

_MBL

₌

12!

_—■

Similiter

habentur

T.

MCL

ss

jr

rtt ru

——, T. GBN=2 —y T.

GCN

= •

Sed

ex

Tngo«

fmom-X Si t' Ä

(7

nometricis conftit,esfe Tang. [A—

B)

— _ß-^j-

j-ß-fit _{itaque T. GBN=z ~~ =}

₍

_{— =} st

<-?)

(ax—ry) *u —r2 = ry & T, GCN sss ; /7^-5/ rx 4- ay

r

—

z

r2 _{4- —} ^ _(br —bx—ry) T-

_WH-MCL)

_{= —} y2 _{.+ ——} y—x

Ut brevitarl _{fcriptionis per}

_aliquam

calculi

_parrem

con-fulatur, (nam ultimo

coordinatas

x

&

y

refumturi

fumus)}

fit ax — _{ry = nty rx} -h ny _—ff, _—

bx

— yjy

=/>>

&

y« rw r«

f2 —fAf + _^

_habebiturque

_{— =s —, atque}

y—-s

vp m%

ss _{; ex quibus} orientur

duo

valöres

_{u z= —,}

&

u es

q 7t

pr —pz m% pv —pz

quibus acquatis fit — sr , arque

£ n q

€ Dt Memrabiliori _quodam nrp

*

Haec omnia univerfe vaient, _{qux demum»}

mq4- np

cunque fir Curva AGD/ _{quippe cujus aequationem ia ca!»}

culum noodum _{inrroduximus.^}

§. III.

Ur _{jam impiearur conditio Problemaris,}

qua interfe&io

G in Seviione _{Conica, per neutrum Polorum B vel C} rrans-eunte, incedere _{poftulabatur, fumenda eft hujus aequario}

generalisfima, quae, refipeftu ad coordinatas u åc z habito,

fit u2 4- _{(cz -q- d) u 4- ez1}

4-fz 4- g = o; habebirurquc,

per methodum _{vulgarem aequationis quadraticae afFe£lses}

j-[cz->rd)zhV(s1

— 4') *9 -4-(icd—4f)% 4-{J*—4g).

2

. . m%

Si _{jam ammadvertatur, mventaqa etiam fuisfe u =}

—, n

hicque valör nuper invento aequetur, orietur

wä _{—{cz+d)A-Vic2*—4t)z2}

4- {2cd*~-_{4/")&4-(</3—4g)}

n 2

2 mz

(e% 4—-—h_d)2 zzz(c2 .— 4<)z2 4- {icd>—4/) _{z 4-} A«—

4cm 4w2\ 4wA (4* 4- — 4 — 1 z2 4- (4/ ₊

U

_{+ 4f = 0} n n* J ny {fo1 4- dmn)% gn% *a _{+ rrr~——— +} f;;2 4~ r 7» * _4- m2 en2 4^ cmn m2 -[fn2~4-dmn) -f-ai/(/2-4gc)«4+{2df~4cg)mn-4r{d2~4g)m2 % zzl —— —8 2{tn1 4- m» 4- f*a) Sed

Loco Geometrico _{Quarti Orditiis. 7}

nrp Sed in antec. habuimus valörens _ipfius % = — —»

mq 4- np

qui fi jam jam eruro acquerur, & utrimque divifio per n inftituatur, obtinebirur

rp -(fntdm) +V(f2-4ge)nat(2df-^cg)mnt(d2 -4g)m1

mq\np 2(f«a 4~ £7724- *»a)

quae aequatio redu&ione primum migrat _{in hane ivp (en2} 4- cmn -h m2) 4- _(ntq -h np) (fn dm) ren ztz (mq 4- np)

X _{Vif2 —*4%e) »2 4- (2df— 4cg) mn 4- (d2 — 4g) m2;}

de-inde in _{fcquentem 4r%p1 (en2 4- cmn 4- m2)2 4- 4vp}

_(niq

4- _{np) (fn} 4-_{dm) (en2} 4-cmn 4- m2 ) 4-(mq 4- np)2 (fn

4- dm)2 — _{ymq 4- np)2} ((f2 _{— 4g*) #2 4- (2df— qcg) mn}

4-(d2 — _{4g) m2) — o; tum} in hane Form

am 4r2p2 (en2

4- cmn 4- _{m2)2 4- 4.7? (7/27 4- np) (fn 4- 2/«?) (<r&2 4- cmn +'}

m2) -4- 4g (mq4~ *?/>)* (<?»2 4- cmn 4- ni2) er: 03 öc, diviflö¬ sse _{demum per 4 (en3}

4- emu 4- m2) inftiruta, tandem in

hane ulrimain

r2p2(en24-cmn 4-m2)4-rp(mq-bnp)

_{(fn-4-dm)>+g(mq-4-np)2}

= o:

quam quia neque zy neque u _{ingredirur, fed, praeter}

con-ftanres, folse _{inccgnitae p & q abfolvunt, quarum valöres}

in _{fimplicisfimis Fun£lionibus ipfarum x & y}

(§ 2.) exhi-bentur; liquet\ bis valoribus pro p & q fuffe&is,

obren-tum iri _{relationens coordinatarurrc x &}

y mutuam, h. &

curvae OLP _{aequationero quacfitam.}

§".

IV,

Antequam autem illa fubftiturio _{reapfe inßituarur,}

ob-fervare _{convenit, arquationern ültimam}

dignof endo

ordi-ni curvar iuffieere. Curn enim _{ipfarum p Se q valöres}

{§' 2.) unas tanium coordinatarum x & _{y dimenfionef} CO»'

f Di

MemorMiori

quo

äam

contineant4 patet, nunquam

altius

adfcendere

posfe

x

Sc

y, fi

fubftitutio

fiat,

quam

p

Sc

q

eve&ae

reperiantur.

Quare, cum fumma

dignitatum

ipfarum

p

Sc

q

in

nulio

termino _aequationis

_poftremae

_(§.

_3.)

_numerum

quaterna-rium _{excedar; liquer, neque}

fumrrram

Exponentium

ipPa¬

rum x Sc _y, in aequatione

inde

oriunda,

hoc

numero

fis-ri _{posfe majorem.}

Quod fi autccn

ipfam

fubflitutionem

exfequamur,

prodir primo

r2 _{Cyiyz -+~}

_ibryx

_4-

b2

_{x2 —}

ibr2y

_{— 2}

£

2

_r.**

_4-

r2

r2)

X _(äze —aer 4- r2. y2 •4-2 aer 4~ a2c—

cr2

— 2ar. yx

4~

er- 4- ner r. a 4-4- a2, x2)4~r(—ry~

bx

4-

fr) (—■

r.tf-f-

b.

y2

1. r# _ r*. j4- ,-4 x)

(<7/—dr,

j 4- 4-fr. Jt") 4~ g Q— r. a -h

b.y2

r. a

4-

b.

x2

4-f. —r3.y-f- r2. *-+• b. a*)2 =r o;

quam deinde,

operariones

imperstas

peragendo,

facile

abfoivimus; atque hac ratione nos

quidem

primam,

quam

inveniebamus, folutionem tra£avimus.

Sed

quoniam

tan-tum abeft, ut commodiori coefficientium

datarum

expres-lione _{aliquid patiatur}

_sequatio,

_ut

_plerumque

_eo

ipfo fiat

folum _{expeditior; posfumus}

_brevitati

Typographicse

con-fulére, _ponendo a21 — acr -4- v2 cr

b,

2aer -4-

a2c

—

cr*

— _{tar cr:} k,

er2-y- aer a* znl, a -4-

b

rr s,

ab

— r~ =_t, tf/_{—- r v,} W4- r/_{= Aj}

quibus

adhibitis in

fcri-bendo _{compendiis, & divifione per r2}

pera&a,

obtinebi-tur _{(>2jy2 4-}

ibryx

_4-

b2x2

_—

sfr2^

_—

2barx

4-

^2ra)

X

4- _{kyx 4-lx2) 4-(— ry—}

bx

_4-

br) (—

_jrjy2

_—

sx2

4- ty4- rx*) (vjy 4- **) ■+• £

(— ry2

—

x#2

4-

ty 4-

rx*)2

= 0: _qu«, exfequendo

operationes

iudicata!, dat

tandem

Loco Geometrico _{Quiirti Ordinis.}

hr2ly4

_{-^lbbr^y^x -\-bzh}

_\y2A*2

-4-b2k

"^yx^

Hb

b2lj.x*

H-s\r > -+-kr1

i

*

I

-Jriblrl

H-£rA

4-fl2\ H-bsv i H--bSV \ -Hfj2

J^-sKr )

H-n^j||:

-HfAf

-#4.fA

il^br^^x—2b2 kr\yx2^

2b2lv'Jx^-Jbb2hr2J')[f

—tyr

(

—2Mfa

)

_—

**/>*

/

—ifoArC

4-^f

'

—bsvr ( —vsr2 I

—ibsw 1

—2gs2r\

-*-££2

—2gst

)

—btv

—shr2 tÅr

[

_—btÅ

hsKr

_\

_—2gst ■2gs2r/ 4-b2kr2

)yx-hb

2Ir 21x2 *^~bsvr2

i

-jrhÅr2

> Cu -IrbtKr f

n-gs2r2\

Hb_igstrj §. v.

Compleftitur haec aequario

valde

affiplatn inter

lineas

quarti ordinis clasfem;

valde

amplam

dicimus;

nam,

fi

t

lineis fecund! ordinis recesferis, nondum invenra eft al»

tiorum ordinum defcriptio quasdam organica ita

univerfa-lis, ut omnes lins exceptione lineas alicujus

ordinis

fub

fe _{comple&eretur,}

_quemadrnodum

_fua

_cuique

_ordini

com-petir aequatio

generalis.

Quod

autem

ad

curvas

illas

at<ti«

net, quae aequitione

noftra

repraefentantur,

posfunt ill«

metbodis _{vulgaribus, in}

_Analyfi

_curvarum

_explicaxi

_Coli¬

tis, in _{perrnukas diftribui}

_fpecies;

quas

fiogulae pendent

t

mutua coefficientium relatiqne, quas, prout haec ve! dit

eft, pro determinarae

Seélionis Conicae

AGB fpecie?

fitu

& _{magnitudine, ita mirum quantum curvae}

_OLP

_fpeciem

variet. _{Quae fingula adcurate}

_perfeqni3

_peene

immeufi

_es«

io De Memorabiliori _quodam

fet Sc _{operis & fumtus. Interim in transitu quafi monii»}

isfe _{juvabit, curvas has omnes tribus gaudere punctis}

du-plicibus, quo rum duo fuot ipfi Foli

B

Sc

Cy tertius

deni-, ßb \ r ' r

que in fummitate ordmats (y =) luper. ablcisls

br

(x _{=) - ere£iae confiituitur. Qiiod fi e.nrm primo fiat} a-+-b

in- _{sequatione curvce x = o, reflabunt folum terminl} br2 }

_{—ibbr^y* ~\-b2br2}

_{) y2~}

-svr > —tvr

(

-f-btvr _{v = o»}

+.gs*

Jy

—hsvr

?

s

—igst )

q-uae asquatio, quippe per y2 — oro divifibilis, oftendit c ur v am bis transire _{per pun£hirn B, originem abfeis} fa-rum , k. e. esfe B punctum duplex. Simiiicer fi fumariir

x = r r= BC, _{arque in sequatione curvce r pro ju} fubfti-tuatur, fxatque debita reduclio; roigrabk ilia in fequentem

br2l_{y^ -f-kr1 >y% 4-T*4 ly2}

-%-tvr > —-fvr

j>

_{—JAr2> ~ oj}

-f-gs*\

—2gst\

4-gt2

\

quae, utpote eti-am per y2 - oro

divifibilis,

demonffrat

Gurvam etiam bis transire _{per C. Tandem ii in}

amuatio-ne curvae,rloco coeffieientium fimplicium /?, k, /, s, f, v,

A refumantur compoficce illa _{a2e — aer -q- r2, Scq. (§. 4),}

br

Sc fumatur ju =r • , fiarque debita redti£lio * exfurget

se_quatio valde prolixa illa

quidem,

(qua

de

causfa brevitatis

ab V

ergo hic eam _omittimus), fed _{ramen per fy} ~ —— a _-{"bJ

= o divifibilis: unde tertium illud, quod indicavimus,

puncluoi duplex coafirmatur,

Loco Geometrico Quart_i Ordinis, 22

§. VF»

v •

Quod

ii

autern

Se£tio Conica,

quam

percurrit

pun¬

ctum G, per akerutrum

Polorum,

ex» gr.

£>, transiret;

ex _cequarione

ipfuis in inirio

§.

_3,

exulare

debet

terminus

conftans g, quo,

exiftente

a = o,

posfit

sequatio

dividi

per it = o.

Sed

quandcquidem

jain in hac

hypothefi eft

g = o,

avanefcit terminus

g

{rnq -+•

npY in

aequatione

ul¬

tima _{§. g; quse deinde per p}

_dividi

poreft.

Sed

quoni-am hasc a?quario sequipollet eequatiöni curvae

ad

finem

§.

4, Sc _{p=zbr — bx — vy; erit, in}

_hoc

_{cafu Sectionis}

Co¬

rnea: _{per B transeunris,} xquatio _{curva per}

hr

_—

bx

_— ry o divifibilis, evaderque tertii ordinis-. Itaque

etiam

ex folurione noftra _{Propolitio I. Part. II.}

_Geom.

_Or

_{g. p. 75t.}

faciilimi inflar _{Corollarii, directe colligitur; quam}

quidem

indirekta demonflratione, nulla aequatione. eruta,

munivit

Maclaurinus, _generatim tantum hic etiam

ofiendens,

re-ctam in _{piano curvae duetarn huic ipfi ter}

folummodo,

non iteni feepius, _occurrere posfe.

'

J , N . ■ ' * '

Sed, quamvis per neutrum Polorum

B Sc C

träns-eat Sectio Conica, in _qua Punctum G fertur; datur tarnen

cafus _{quidam fpecialis aequationis noftrae}

_{(§. 4.),}

in

_quo haec _{ipfa nihilo minus ad tertium gradum}

deprimi

poteft.

Hic obtinet, quando snguli EBK Sc FCH ea

funt

magni-tudine, ut crura BK & CH fimul cum r®£ta

BC

coinci-dant; h. e. ut angulus G

BN eodem

momento

fiat

=

an-gulo EBK, quo evadit ang.

GCB

=

FCH;

adeoque

Tang.

GBN= T. EBK„

fimulqué

Tang. GCN_z=z T.

FCH. Hinc,

ut relatio coefficientium mutua in hoc cafu eruatur,

fiert

ru ru a z debet — = a (§. 2.), Sc = b; unde u = — ,

Sc

z y—% r br—bz az br—bz br u = ——, adeoque — = —— , atque a = B 2 *

ide©-12 De Mentorribilioriquo*!am

Loco

Geometr,

Quarti Ordin*

az\ ab

ideoque u (=

_{—j =}

Determinati

hoc

modo

_va¬

löres coordinatarum Seftionis Conicar, qui memoratum

nuper cafum indicant,

fuöftiruendi

funt in

locum

ipfarum

% Sc u in scquatione u2 _-+- (cz 4- d) _u4- ez% 4-

/>

4~£ = o;

azbz ( her ab ebzrz _fbr

unde oritur _,—777+ 7 4-d) —, 4- 7—7774 —7

(a+b)2 \a^-b a-Arh

(a+b)2

a+b

4-g= o, five

azhz

4-

abzcr

4-

abd

(a+b)

4-

ebzrz 4-fbr

(a

4

b)

4- g (4 4 /7)2 =0, vel (er* 4- acr 4-

a2)

4-

-f

rf)

X b {a4- b) 4- g (a 4- b)9 = o: quac quidem sequatio,

fi

as-fumta in _{§. 4. fcriptionis compendia}

_adhibeantur,

_fit

_b2i

4- bsK 4-gs2 = oj vel, fi per r*

multiplicetur,

b2lr2

4-bsKr2 4- _{gr2r2 = 0. Sed hsec expresfio}

eld coefficiens

_ter¬ minorum xz Sc x4 in _{aequatione §.} 4., atque per — 2

multiplicata dat coéfficientem terrnini x3 ; ergo

in

eo} quem examinamus,

cafu, evanefcunt

fimul

tres

hi terrni¬

ni, atque finguli, qui fuperfunt,

divifionem

per y

ad-mirtunt: _{qua peragenda ad tertium}

_grad

_{um aequatio}

deji-citur, exhibetque tertii ordin is curvam.

Sed omnibus, quas huc fpe&anr, examinandis