Tentamen i Matematik 2. M0030M.
Datum: 2011-08-19 Skrivtid: 09:00–14:00
Antal uppgifter: 5 ( 30 po¨ang ).
Till alla uppgifterna skall fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas.
Resonemang och utr¨akningar ska vara tydligt presenterade.
Aven endast delvis l¨¨ osta problem kan ge po¨ang.
Enbart svar ger 0 po¨ang.
Uppgift 1: Betrakta ekvationssystemet
kx1+ x2+ 2x3 = 1 2x1+ x2+ kx3 = −k kx1+ x3 = 0
a) F¨or vilka v¨arden p˚a den reella konstanten k har ekvationssystemet precis en l¨osning resp. o¨andligt m˚anga l¨osningar och l¨os systemet i dessa fall.
b) F¨or vilka v¨arden p˚a den reella konstanten k har ekvationssystemet ingen l¨osning?
[6 po¨ang]
Uppgift 2:
a) Best¨am en ekvation f¨or det plan som ¨ar ortogonalt mot de b¨agge planen x− 5y = 14 och y + z − 3 = 0 samt inneh˚aller punkten (2,1,3).
b) Unders¨ok om punkterna (1, 1, 1), (0, 2, 1), (−1, 0, 1) och (2, 2, −3) ligger i samma plan.
[6 po¨ang]
Uppgift 3:
L˚at T : ℜ2 → ℜ2 vara en avbildning som utf¨or en ortogonal projektion p˚a den r¨ata linjen
y=√ 3 x.
Best¨am standardmatrisen A f¨or den linj¨ara avbildningen T och best¨am bilden av en godtycklig vektor
u = x1
x2
!
.
[6 po¨ang]
Uppgift 4:
Ber¨akna
a)
Z x3+ 2 x3− xdx.
b)
Z
e2x sin(3x) dx
[6 po¨ang]
Uppgift 5:
a) Best¨am arean av det plana omr˚adet som ¨ar begr¨ansat av kurvan y = ex, linjen x = 0 och tangenten till y = ex i tangeringspunkten med x-koordinaten 1.
b) Ber¨akna l¨angden av kurvan definerad av ekvationer y= (ex+ e−x)
2 , 0 ≤ x ≤ a.
[6 po¨ang]
